1.6利用三角函数测高 同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版九年级下册 1.6利用三角函数测高 同步练习 一．选择题（共6小题） 1．小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 2．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测角仪在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知点C，D，B在同一条直线上，测角仪离地面高度CE＝1m，CD＝2m，则AB高（　　） A．（2）m B．（1）m C．（3）m D．（2）m 3．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西30°方向上，在海岛B的北偏西60°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 4．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（　　） A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时 5．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　　） A．米 B．米 C．2a•tan32°米 D．2a•cos32°米 6．2023年8月31日，贵南高铁全线通车，其中有一隧道全线长2040m．如图，在隧道进口A处的正西方B处有一人，高铁从A处沿北偏西60°的方向穿过隧道，在出口C处鸣笛，出口C处在B处的正北方，已知声音在空气中的传播速度为340m/s，经过多少秒进口处的人能够听到鸣笛声？（不考虑其他因素）（　　） A．4s B．3s C．2s D．1s 二．填空题（共6小题） 7．东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为42°，则可估算出西塔AB的高度为 　 　米． （结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 8．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　 　米．（结果保留根号） 9．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 　 　nmile． 10．2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评，运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台，一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，则中餐台C到就餐区D（即CD）的距离是 　 　．（结果保留整数）（参考数值：sin73°，cos73°，tan73°，sin37°，cos37°，tan37°．） 11．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为 　 　千米．（用α的式子表示） 12．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离AC是 　 　海里．（用含三角函数的式子表示） 三．解答题（共4小题） 13．某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市A地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场N，如图，上午8时，直升机从A地出发，以200km/h的速度向正北方向飞行，9时到达B地，此时，机场的导航站传来信息：在C处有一座高山，因受天气影响，高山周围80km内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，问该直升机继续向机场N飞行有无危险？ 14．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝40m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（，结果保留一位小数） 15．综合与实践： 【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高． （1）【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离BC＝a米，即可得出塔高AB＝　 　米（请你用所给数据α和a表示）． （2）【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高AB．若测得的α＝45°，β＝60°，CD＝22米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C C C B 一．选择题（共6小题） 1．小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ACE中，已知了CE的长，可利用俯角∠CAE的正切函数求出AE的值；进而在Rt△ABE中，利用仰角∠BAE的正切函数求出BE的长；BC＝BE+CE． 【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h． ∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°， ∴AEh． ∵在Rt△AEB中，AEh，∠BAE＝30°， ∴BE＝AE•tan30°h•h， ∴BC＝BE+CEh+hh． 即旗杆的高度为h． 故选：C． 2．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测角仪在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知点C，D，B在同一条直线上，测角仪离地面高度CE＝1m，CD＝2m，则AB高（　　） A．（2）m B．（1）m C．（3）m D．（2）m 【分析】延长EF，交AB于点H，设HF＝x米，在Rt△AHF中，可得AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，tan30°，求出x的值，进而可得出答案． 【解答】解：延长EF，交AB于点H， 由题意得，HB＝DF＝CE＝1米，CD＝FE＝2米， 设HF＝x米， 则EH＝HF+FE＝（x+2）米， 在Rt△AHF中，∠AFH＝45°， ∴∠FAH＝45°， ∴AH＝HF＝x米， 在Rt△AHE中，tan30°， 解得x1， ∴AB＝AH+BH1+1（米）． 故选：A． 3．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西30°方向上，在海岛B的北偏西60°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝30°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可． 【解答】解：如图． 根据题意得：∠CBD＝60°，∠CAB＝30°， ∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝30°＝∠CAB， ∴BC＝AB， ∵AB＝15×2＝30（海里）， ∴BC＝30（海里）， 即海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故选：C． 4．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（　　） A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时 【分析】连接AB，根据题意可知∠APB＝90°，根据勾股定理求出AB，然后根据巡航船的速度解答即可． 【解答】解：连接AB， 根据题意可知∠APB＝34°+56°＝90°， ∴△APB是直角三角形， AB75（海里）， ∵巡航船的速度为30海里/小时， ∴75÷30＝2.5（小时）， 即至少需要2.5小时． 故选：C． 5．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　　） A．米 B．米 C．2a•tan32°米 D．2a•cos32°米 【分析】利用32°的正切值表示出BC，利用中点定义可得到所求的线段的长． 【解答】解：在Rt△BDC中， ∵∠CDB＝32°，BD＝a米， ∴BC＝BD•tan32°＝a•tan32°， ∵点C是AB的中点， ∴AB＝2BC＝2a•tan32°米， 故电线杆AB的长可表示为2a•tan32°米， 故选：C． 6．2023年8月31日，贵南高铁全线通车，其中有一隧道全线长2040m．如图，在隧道进口A处的正西方B处有一人，高铁从A处沿北偏西60°的方向穿过隧道，在出口C处鸣笛，出口C处在B处的正北方，已知声音在空气中的传播速度为340m/s，经过多少秒进口处的人能够听到鸣笛声？（不考虑其他因素）（　　） A．4s B．3s C．2s D．1s 【分析】由题意得，∠B＝90°，∠C＝60°，AC＝2040m，根据直角三角形的性质求得BCAC2040＝1020（m），于是得到1020÷340＝3（秒）． 【解答】解：由题意得，∠B＝90°，∠C＝60°，AC＝2040m， ∴BCAC2040＝1020（m）， ∴1020÷340＝3（秒）， 答：经过3秒进口处的人能够听到鸣笛声， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为42°，则可估算出西塔AB的高度为 　45　米． （结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 【分析】由题意判断出AC＝50米，AB⊥AC，那么∠BAC＝90°，利用42°的正切值列出方程，可得AB的长． 【解答】解：由题意得：AC＝50米，AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°． ∵∠C＝42°， ∴tan42°． ∴0.90． 解得：AB＝45（米）． 故答案为：45． 8．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　（30）　米．（结果保留根号） 【分析】过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N，先求出EM的长，在Rt△EBM中求出BM的长，然后求出BN的长，在Rt△FBN中求出FN的长，即可求出DF的长． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N， 由题意可知CM＝DN＝AB＝30米， 又∵CE＝15米， ∴EM＝15米， 在Rt△EBM中，∠EBM＝45°， ∴BM＝EM＝15米， 又∵A是CD的中点， ∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米， 在Rt△BFN中，tan∠FBN， ∵∠FBN＝30°，BN＝15米， ∴， ∴FN米， ∴DF＝（30）米． 故答案为：（30）． 9．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 　25　nmile． 【分析】过点A作AD⊥CD于点D，则∠ADC＝90°，可得∠ACD＝90°﹣∠CAD＝40°，从而得到∠ACD＝90°﹣∠CAD＝40°，进而得到∠ACB＝40°+50°＝90°，再由勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥CD于点D，则∠ADC＝90°， 根据题意得：∠CAD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝40°， ∴∠ACB＝40°+50°＝90°， ∵AC＝60nmile，AB＝65nmile， ∴BC25（nmile）． 故答案为：25． 10．2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评，运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台，一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，则中餐台C到就餐区D（即CD）的距离是 　357米　．（结果保留整数）（参考数值：sin73°，cos73°，tan73°，sin37°，cos37°，tan37°．） 【分析】设设CD为x米，表达出CE，DE，MD，根据AB+AM＝BM＝CE列方程求解即可． 【解答】解：如图， 设CD为x米，则， 所以， 所以， 所以AB+AM＝BM＝CE，即， 解得， 故答案为：357米． 11．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为 　　千米．（用α的式子表示） 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，BC＝3千米，∠DBA＝α，BD∥AC，从而可得∠A＝∠DBA＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度， 由题意得： BC⊥AC，BC＝3千米，∠DBA＝α，BD∥AC， ∴∠A＝∠DBA＝α， 在Rt△ABC中，AB（千米）， ∴此时飞机与目标A点的距离为千米， 故答案为：． 12．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离AC是 　52cos64°　海里．（用含三角函数的式子表示） 【分析】先求出∠CAO的度数，再由锐角三角函数定义求出AC的长即可． 【解答】解：由题意可得：∠CAO＝64°， ∴cos∠CAO 即cos64°， ∴AC＝52cos64°海里． 故答案为：52cos64°． 三．解答题（共4小题） 13．某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市A地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场N，如图，上午8时，直升机从A地出发，以200km/h的速度向正北方向飞行，9时到达B地，此时，机场的导航站传来信息：在C处有一座高山，因受天气影响，高山周围80km内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，问该直升机继续向机场N飞行有无危险？ 【分析】仔细阅读题目，首先过C作CD⊥AN，由∠NBC＝30°，可知：CDBC，接下来利用三角形外角的性质可得∠BCA＝15°，进而可知AB＝BA＝200；然后求出CD的长，并与80进行比较即可完成解答． 【解答】解：过C作CD⊥AN于D， ∵∠CBD＝30°， ∴CDBC． ∵∠NAC＝15°， ∴∠ACB＝∠CBD﹣∠NAC＝15°， ∴BC＝AB＝200， ∴CD＝100． 由于100＞80， 故该直升机继续向正北方向飞行没有危险． 14．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝40m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（，结果保留一位小数） 【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝40m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝40m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案． 【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝40m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°， ∵∠DNE是△DMN的外角， ∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°， ∴∠DMN＝∠MDN＝30°， ∴DN＝MN＝40m， 在Rt△DNE中，（m）， ∴． 答：烈士纪念碑的通高CD约为36.1m． 15．综合与实践： 【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高． （1）【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离BC＝a米，即可得出塔高AB＝　a•tanα　米（请你用所给数据α和a表示）． （2）【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高AB．若测得的α＝45°，β＝60°，CD＝22米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据三角形函数直接求解即可； （2）设塔高AB的长为x米，利用直角三角形的性质和锐角三角函数可求解． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α， ∴AB＝a•tanα， 故答案为：a•tanα； （2）设塔高AB的长为x米， ∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴， ∴AB＝BC＝x米， ∴BD＝BC﹣CD＝（x﹣22）米， 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°， ∴， ∴， ∴x≈52，即AB≈52（米）， 答：塔高约52米． 16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数） 【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB＝h m，根据题意得：DF＝EA＝（h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC， 在Rt△DEC中， CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（m）， ∴DE的长为3m； （2）由题意得：BA⊥EA， 在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°， ∴CEDE（m）， 在Rt△ABC中， 设AB＝h m， ∵∠BCA＝45°， ∴ACh（m）， ∴AE＝EC+AC＝（h）m， ∴线段EA的长为（h）m； 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DF＝EA＝（h）m，DE＝FA＝3m， ∵AB＝h m， ∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m， 在Rt△BDF中， ∵∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（h）m， ∴h﹣3＝0.5（h）， 解得：h6≈11， ∴AB＝11m， ∴塔AB的高度约为11m 学科网（北京）股份有限公司 $$