专题03 数学文化背景下的高考数学之函数与导数-【数学文化】高考数学考点与数学文化的融合（新高考通用）

专题03 数学文化背景下的高考数学之函数与导数 背景1：华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径． 背景2：美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式. 背景3：质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数． 背景4：高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，. 背景5：有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数） 背景6：根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 函数与导数知识归纳总结： 1.函数的定义域的求法 (1)求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. (2)求抽象函数定义域的方法 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 2.函数解析式的四种求法 (1)函数解析式的四种求法 ①配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. ②待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. ③换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. ④方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 3.求函数值域的一般方法 (1)求函数值域的一般方法 ①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法；⑦数形结合法； ⑧导数法. 4.函数的单调性与最值的求法 (1)求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. (2)函数单调性的判断 ①函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. ②函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. (3)求函数最值的三种基本方法： ①单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. ②图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. ③基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 5.函数的奇偶性及其应用 (1)函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (2)函数奇偶性的应用 ①利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. ②画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 6.函数的周期性与对称性常用结论 (1)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a；⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); (2)对称性的三个常用结论 ①若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. ②若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. ③若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 7.幂函数及其解题策略 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 8.指数、对数运算的解题策略 指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 9.指数函数与对数函数的常见问题及解题思路 指数函数的常见问题及解题思路 (1)比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. (2)指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 对数函数的常见问题及解题思路 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 10.函数的图象问题 作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 11.函数的零点问题 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 12.导数的运算的方法技巧 导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 13.切线问题的解题策略 求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 14.导数中函数单调性问题及其解题策略 确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 15.函数的极值问题及其解题策略 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； 16.函数的最值问题及其解题策略 利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 1 借助数学文化考查函数的图像与解析式 华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（  ）    A． B． C． D． 变式1.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 2 借助数学文化考查指数、对数的运算 (多选)17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（  ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （近似值） 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279 A．在区间内 B．是15位数 C．若，则 D．若是一个35位正整数，则 变式1.质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 变式2.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要（  ） 附： A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 变式3.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（  ） A． B． C． D． 变式4.一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（  ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 3 借助数学文化考查函数的值域 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（  ） A． B．， C．，， D．，0， 变式1.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（  ） A． B． C． D． 4 借助数学文化考查函数的性质 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式1.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（e为自然对数的底数）．当a=2时，记，，，则p，m，n的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式2.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 5 借助数学文化考查导数的概念及运算 我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（  ） A．0 B． C．1 D．2 变式1.十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（  ） A． B． C． D． 6借助数学文化考查导数的应用 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）    (1)若，求； (2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为． ①求的值； ②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，． 变式1.定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； (1)求实数a的值； (2)对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明． 变式2.根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（  ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 2．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（  ） A． B． C． D． 3．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（  ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 4．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（  ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（  ） A． B． C． D． 7．（多选）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称值是的一个周期为k的周期点．若，下列各值是周期为2的周期点的有（  ） A．0 B． C． D． 8.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为_____________ 9.定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的最小值； (2)若函数在上的最小值为，求正实数的值； (3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根． 10．第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ (2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数学文化背景下的高考数学之函数与导数 背景1：华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径． 背景2：美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式. 背景3：质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数． 背景4：高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，. 背景5：有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数） 背景6：根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 函数与导数知识归纳总结： 1.函数的定义域的求法 (1)求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. (2)求抽象函数定义域的方法 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 2.函数解析式的四种求法 (1)函数解析式的四种求法 ①配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. ②待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. ③换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. ④方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 3.求函数值域的一般方法 (1)求函数值域的一般方法 ①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法；⑦数形结合法； ⑧导数法. 4.函数的单调性与最值的求法 (1)求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. (2)函数单调性的判断 ①函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. ②函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. (3)求函数最值的三种基本方法： ①单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. ②图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. ③基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 5.函数的奇偶性及其应用 (1)函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (2)函数奇偶性的应用 ①利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. ②画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 6.函数的周期性与对称性常用结论 (1)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a；⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); (2)对称性的三个常用结论 ①若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. ②若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. ③若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 7.幂函数及其解题策略 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 8.指数、对数运算的解题策略 指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 9.指数函数与对数函数的常见问题及解题思路 指数函数的常见问题及解题思路 (1)比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. (2)指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 对数函数的常见问题及解题思路 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 10.函数的图象问题 作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 11.函数的零点问题 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 12.导数的运算的方法技巧 导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 13.切线问题的解题策略 求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 14.导数中函数单调性问题及其解题策略 确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 15.函数的极值问题及其解题策略 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； 16.函数的最值问题及其解题策略 利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 1 借助数学文化考查函数的图像与解析式 华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数图象可知，的图象不关轴对称, 而，， 即这两个函数均关于轴对称，则排除选项、； 由指数函数的性质可知为单调递增函数，为单调递减函数， 由的图象可知存在一个极小的值，使得在区间上单调递增， 由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由图象可知符合题意， 故选：A . 变式1.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得：且，当时，，当时，， 于是得函数的定义域为， 结合定义域及图象，选项A，D不正确； 当时，单调递增，则，即，而， 因此有，显然选项C不正确，选项B满足. 故选：B 2 借助数学文化考查指数、对数的运算 (多选)17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（  ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （近似值） 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279 A．在区间内 B．是15位数 C．若，则 D．若是一个35位正整数，则 【答案】ACD 【解析】对A，令， 所以，A正确； 对B，令， 所以，则是16位数， B错； 对C，令， 又因为，所以 则，所以，C正确； 对D    ，令，，因为是一个35位正整数， 所以，则，即， 所以，D正确； 故选：ACD 变式1.质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，令，两边同时取常用对数得， ∴，∴，结合选项知与最接近的数为. 故选:C 变式2.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要（  ） 附： A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】B 【解析】由题意可知， ， 故， 由，解得， 故该果树的高度超过，至少需要4年. 故选：B. 变式3.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，，则. 故选：A. 变式4.一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（  ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 【答案】B 【解析】根据题意，，即，解得， ，即， 所以， 所以； 故选：B 3 借助数学文化考查函数的值域 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（  ） A． B．， C．，， D．，0， 【答案】B 【解析】， ，，， ， 或0， 的值域为，. 故选：B. 变式1.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数， 因为，所以， 所以.所以. 所以，即. 当时，； 当时，. 故的值域为. 故选：B. 4 借助数学文化考查函数的性质 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，的定义域为， ，为奇函数， ，且在上为减函数， 由复合函数的单调性可知在上为增函数. ，， ，. 故选：A. 变式1.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（e为自然对数的底数）．当a=2时，记，，，则p，m，n的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 当a=2时， 定义域为，且 故为偶函数 又， 当时，，即函数在区间上单调递增 因为， 又，所以，即 故选：B 变式2.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）;（2）;（3）答案证明见解析 【解析】（1）. （2）依题意，，不等式， 函数在上单调递增，，令， 显然函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，于是，， 因此，，显然函数在上单调递减， 当时，，从而， 所以实数的取值范围是. （3），. 依题意，， ， 当时，，，即， 于是，而，因此， 当时，，则，， 即，而，因此， 于是，，所以. 5 借助数学文化考查导数的概念及运算 我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（  ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】显然，当时，的极限即为型， 所以：. 故选：B 变式1.十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为…， 所以， 令得， 即． 故选：A． 6借助数学文化考查导数的应用 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）    (1)若，求； (2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为． ①求的值； ②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，． 【答案】（1）4;（2）①;②证明见解析 【解析】（1）， 所以， 因此. （2）①由圆的性质知圆上圆心角为的圆弧的弧长为. 弧的两端点处的切线对应的夹角， 所以该圆弧的平均曲率，也即. ②由于，故， 又，， 所以在上单调递减，而. 因此必存在唯一的使得且在上为正，在为负，即在上单调递增，在上单调递减， 而，又，， 所以使得，即的图象与轴有且仅有两个交点，易得在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 下面证明两切线的图象不在的图象的下方: 令，则. 因为，所以在单调递减，而， 所以在上为正，在为负，即在上单调递增，在单调递减， 因此，即， 即的图象恒在其图象上的点处的切线的下方(当且仅当时重合) . 同理可证(将视为即可)， 设直线与两切线交点的横坐标分别为， 则易得且， 因为，故， 所以， 因此. 变式1.定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； (1)求实数a的值； (2)对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明． 【答案】（1）0;（2）①;②答案证明见解析 【解析】（1）由已知， 所以，解得（舍去）， 所以； （2）由（1）得，， 则， 对任意的，，即恒成立， 令，则，不等式恒成立， 当时，，原不等式化为， 令， 则 ， 所以在区间单调递增，所以， 所以， 综上所述，实数m的取值范围为； （3），证明如下： 由已知方程可化为， 令，则， 因为，所以， 所以，所以在区间上单调递减， 故 ， ， 所以存在唯一，使得， 又，， 则 由单调递减可得， 所以. 变式2.根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 【答案】（1）;（2）;（3）①证明见解析;②4 【解析】（1）函数，对变量求导得：， 当时，. （2）令， 则，解得或， 于是函数在约束条件的可能极值点是，， 当时，函数的一个极值为函数， 当时，函数的一个极值为函数， 方程视为关于x的方程：，则，解得， 视为关于y的方程：，则，解得， 因此函数对应的图形是封闭的，而， 所以的最大值为. （3）①由，，设， 则， 当且仅当时取等号， 所以. ②当时， ，当且仅当时取等号， 所以时，取得最小值4. 1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（  ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【解析】由，当时，， 则. 故选：C. 2．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意， 对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意， 对于D，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 故选：C 3．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（  ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 4．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有且仅有3个零点， 即的图象与函数的图象有且仅有个交点． 而， 画出函数的图象， 易知当时，与的图象最多有1个交点，故， 作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：D． 5.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（  ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，，则， 且，所以. 又，. 令，，则恒成立， 所以，在上单调递增，所以，所以. 所以，，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以，在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 7．（多选）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称值是的一个周期为k的周期点．若，下列各值是周期为2的周期点的有（  ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：时，，周期为1，周期为2也正确，故A正确； B：时，，周期为1，周期为2也正确，故B正确； C：时，，，所以值不是周期为2的周期点.故C不正确； D：时，，，所以是周期为2的周期点，故D正确. 故选：ABD. 8.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】由题意可知，的定义域为， ，为奇函数， ，且在上为减函数， 由复合函数的单调性可知在上为增函数. ，， ，. 故答案为： 9.定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的最小值； (2)若函数在上的最小值为，求正实数的值； (3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根． 【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析. 【解析】（1）依题意有 ， 令，则. 因为在R上单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 所以，所以当时，即时， 函数有最小值． （2）函数在上的最小值为， 即函数有最小值． 因为 令，则， 因为最小值为，所以，解得， 所以正实数的值为． （3）证明：令，定义域为， 则， 又，所以是奇函数， 因为是上的增函数， 所以在上单调递增，且当趋近于时，趋近于1， 所以函数在上的值域为， 直线过定点， 如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点， 即对任意实数，关于的方程总有实根． 10．第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ (2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析. 【解析】（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，， 即抛物线方程为，即，则，， 又抛物线在点处的曲率，则， 即在该抛物线上点处的曲率为； （2）， 在上为奇函数，又在上为减函数. 对于恒成立等价于对于恒成立. 又因为两个函数都是偶函数， 记，，则曲线恒在曲线上方， ，，又因为， 所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即， 又因为，， ，，所以，解得：， 因此，的取值范围为； （3）由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然，， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以，， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$