精品解析：广东省广州市海珠区等5地2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期质量监测九年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则常数的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的切线，切点分别是点和，是的直径．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（ ） A 2米 B. 4米 C. 8米 D. 10米 9. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A. B. 抛物线对称轴是直线 C. D. 点和在抛物线上，则 10. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________ 12. 如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则______． 13. 已知二次函数开口向下，则___________． 14. 已知圆锥的底面半径是1，母线为4，则该圆锥的侧面积为__________． 15. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 16. 如图，平面直角坐标系中，，绕点旋转后得到，所在直线与半径为的相切于点，与轴交于点，则的长为______． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出绕点逆时针旋转的； （2）在旋转到的过程中，线段扫过的面积为___________． 19. 如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； 20. 如图，在中，点分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，求长． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 22. 如图，在中，，点是上一点，以为圆心，为半径的圆分别交于点，平分． （1）证明：直线是的切线； （2）若，求的半径． 23. 某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定在边长为米的正方形区域上种植不同的花卉，设计图案如图所示，四周是四个全等的矩形，种植甲种花卉；中心区是正方形，种植乙种花卉．甲、乙两种花卉的种植成本分别为元、元．设矩形的较短边的长为米，种植总成本为元． （1）若，则的长为___________米，种植总成本为___________元； （2）求关于的函数关系式； （3）当中心区的边长不大于米时，求种植总成本的最小值． 24. 如图，已知是外接圆，点是上的动点（不与重合），连接并延长到，连接交于点．已知． （1）求证：； （2）若为等腰三角形，求的长． 25. 已知抛物线（m为常数，且）． （1）不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量，都有点与点分别到点的距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”． ①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式； ②在①的情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期质量监测九年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转后能与原图重合． 根据中心对称图形的定义，逐一分析选项图形旋转后是否与原图重合． 【详解】A、将图形绕某点旋转，旋转后的图形无法与原图形重合，不是中心对称图形； B、旋转后，图形与原图形重合，是中心对称图形； C、绕某点旋转后，旋转后的图形与原图形不重合，不是中心对称图形； D、旋转后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形， 故选：B． 2. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 3. 若是方程的一个根，则常数的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决此题的关键，把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故选：． 4. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式是， 故选：． 5. 如图所示，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键，由旋转的性质可得，，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， 故选：． 6. 如图，是的切线，切点分别是点和，是的直径．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由切线长定理和切线的性质得，，由圆周角定理得，即得为等边三角形，得到，，得到，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线，切点分别是点和，是的直径， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 （负值舍去）， 故选：． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 7. 我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】增长后的量增长前的量（增长率），如果游客人数的年平均增长率为，根据2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，即可得出方程． 【详解】解：设游客人数的年平均增长率为， 则2017的游客人数为：， 2018的游客人数为：， 那么可得方程：， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于增长率问题，理解题意，找到题目中的等量关系是解题的关键． 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（ ） A. 2米 B. 4米 C. 8米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故选：C． 9. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. D. 点和在抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握好各项系数对图象的影响、对称轴的求法、特殊点的函数值、距离比较法是解题关键．观察抛物线交轴正半轴，，可判断，由，两点，可得对称轴为直线，可判断，当时，，可判断由)离对称轴的水平距离比)离对称轴的水平距离小，结合图象开口向下，可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线交轴正半轴， ，错误，不符合题意； 的图象与轴交于，两点， 对称轴为直线，错误，不符合题意； 由图知，表示的点在与之间， ，错误，不符合题意； 抛物线开口向下，，， 离对称轴的水平距离比离对称轴的水平距离小， ，正确，符合题意； 故选：． 10. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由折叠可得， ，，，，，即得，得到是等腰直角三角形，进而得，又得，，，利用得，最后根据即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．根据关于原点对称的点“横纵坐标都变为原来的相反数”，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，连接，可得，即得为等边三角形，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点是半圆上一个三等分点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直径为， ∴， 故答案为：． 13. 已知二次函数开口向下，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的概念及性质，熟练掌握其二次函数的概念及性质是解决此题的关键．由二次函数开口向下，可得且，解方程即可得答案． 【详解】解：二次函数开口向下， 且， 解得：， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径是1，母线为4，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 用圆锥的侧面积公式直接求解． 【详解】解：由题意得，， 故答案为： ． 15. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，，绕点旋转后得到，所在直线与半径为的相切于点，与轴交于点，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，分两种情况分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当轴时，设与轴的交点为点，过点作所在的直线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴 ∴， 由旋转可得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵的半径为， ∴此时所在直线与相切， ∴； 如图，直线交轴于，交轴于，与所在直线相切于点，作于， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，熟知直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出绕点逆时针旋转的； （2）在旋转到的过程中，线段扫过的面积为___________． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可； 本题考查了旋转作图，扇形的面积，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴线段扫过的面积， 故答案为：． 19. 如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）联立函数解析式，求出点坐标，进而根据图象即可求解； 本题考查了函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：由（）可得，抛物线，一次函数， 由，解得或， ∴， 由函数图象可知，当时，， ∴不等式的解集为． 20. 如图，在中，点分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，，得，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明； （2）由相似三角形的性质得，而，即可得出． 【小问1详解】 证明：，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的长是． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 【答案】（1）详见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键． （1）求该方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 22. 如图，在中，，点是上一点，以为圆心，为半径的圆分别交于点，平分． （1）证明：直线是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径长为2 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，得，则，求得，则，可证明是等边三角形则，可证明，则，即可求得的半径长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 等边三角形， ， ， ， 的半径长为2． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键， 23. 某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定在边长为米的正方形区域上种植不同的花卉，设计图案如图所示，四周是四个全等的矩形，种植甲种花卉；中心区是正方形，种植乙种花卉．甲、乙两种花卉的种植成本分别为元、元．设矩形的较短边的长为米，种植总成本为元． （1）若，则的长为___________米，种植总成本为___________元； （2）求关于的函数关系式； （3）当中心区的边长不大于米时，求种植总成本的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）元 【解析】 【分析】（）根据题意计算即可； （）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意求出的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意求出二次函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴种植总成本为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，此时， 答：种植总成本的最小值为元． 24. 如图，已知是的外接圆，点是上的动点（不与重合），连接并延长到，连接交于点．已知． （1）求证：； （2）若为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得，根据圆周角定理得，结合已知得，据此即可得出结论； （2）根据，得，因此当为等腰三角形，有以下两种情况：①当时，则，则，根据得，由此得，则，据此可得②当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作干点，干点，连接，如图，先证明，则，，，利用三角形的面积公式求出，在中，，再证明，在中，，由此得，然后在中，由勾股定理得：可求出，进而即可得解． 【小问1详解】 证明：四边形内接于， ， 由圆周角定理得：， ， ， ； 【小问2详解】 解：是上的动点（不与重合）， ， 如图所示， 由（1）知，， ， ， ， ， 当为等腰三角形，有以下两种情况 ①当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作干点，干点，连接，如图， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， 设， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ，解得：， ， 在中，， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 在，由勾股定理得：， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键 25. 已知抛物线（m为常数，且）． （1）不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量，都有点与点分别到点距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”． ①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式； ②在①情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）和 （2）① ②或 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、列不等式求自变量的取值范围、含参数的二次函数问题的求解等知识与方法，解题的关键是理解并应用新定义，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数白变量取值范围的影响，此题难度较大 （1）根据“定点”的定义结合函数的解析式，可知当或3时，函数值y与m的取值无关，可得此时两个定点的坐标； （2）①由题意得，设函数上的任意一点坐标为，则关于的对称点为，代入，再令即可求得答案； ②由题意得∶ 对称轴为直线，对称轴为直线， 分两种情况∶当和当时，分别列不等式求解即可 【小问1详解】 解： 令， 解得：， 在抛物线中， 令得， 令，得， ∴抛物线y的图象经过定点和． 【小问2详解】 解：①依题意，与关于中心对称， 故， 设函数上的任意一点坐标为， 则关于的对称点为， 依题意必在函数上， 代入， 得， 化简得：， 令， 得， ②的图象经过定点和． 根据与关于中心对称，， 可得必过定点，， 故， 即． 对称轴为直线，对称轴为直线， 当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大， 则时满足题意， 解得∶， 当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大， 则时满足题意， 解得∶， 所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意 当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大， 则，满足题意， 解得：， 所以，当时，与都随x增大而增大， 满足题意． 综上所述，当，与都随x增大而增大， 或满足题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $