精品解析：山东省德州市平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教育集团教学质量监测 九年级数学试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分． 1. 抛物线经过点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ） A. 点A在上 B. 点C在内 C. 直线与相切 D. 直线与相离 8. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 9. 如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在张背面完全相同的卡片上分别画有线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形、圆六个图形，若在看不见以上图形的情况下随机摸出张，则这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ） A. 且 B. ∠A＝∠B且； C. 且 D. 且 12. 二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 13. 一元二次方程的解是________． 14. 如图所示的扇形中，已知 ，，则 ______． 15. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为_______． 16. 在中，，于，，，则________． 17. 如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转后到达的位置，此时恰好使得，则的大小为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________________． 19. 如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为__________． 20. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论：若，则；若，，，则；若，则；若，，则．其中正确的有__________（只填序号）． 三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程． 21. 根据要求解下列方程． （1）用配方法解方程：． （2）用公式法解方程．． 22. 如图，在平行四边形中，点E是延长线上一点，与、交于、． 求证： （1）； （2）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线对应的函数解析式． 24. 如图，在中，，D为的中点，以为直径作，交边于点E，过点E作，垂足为点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 25. （1）求证：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则系数a，b，c有如下关系：，； （2）根据结论，解决问题：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值． 26. 图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度弹出羽毛球，在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状（如图所示），设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为（米），与的部分对应数据如下表所示： （米） … … （米） … … 求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教育集团教学质量监测 九年级数学试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分． 1. 抛物线经过点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，将代入，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：A． 3. 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． 4. 如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，将绕点A顺时针旋转得到的位置，依据旋转的性质即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角， 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 6. 如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由为直径，则，由直角三角形的性质得，最后由圆周角定理即可求解，熟练掌握圆周角的有关性质是解题的关键． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ） A. 点A在上 B. 点C在内 C. 直线与相切 D. 直线与相离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵， ∴点C在外，故B错误； ∵，， ∴直线与相切，故C正确，D错误； 故选：C． 8. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出的值即可． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知， ， ∴， ∴ ∵函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴ 故选C． 9. 如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选D． 10. 在张背面完全相同的卡片上分别画有线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形、圆六个图形，若在看不见以上图形的情况下随机摸出张，则这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式、中心对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据概率公式、中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解：在线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形、圆六个图形中，是中心对称图形的有线段、平行四边形、正方形和圆，一共个， 在看不见以上图形的情况下随机摸出张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是， 故选：D． 11. 下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ） A. 且 B. ∠A＝∠B且； C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 12. 二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由可得时，，将整理为，进而判断方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵时，， ∴抛物线开口向上，即， ∴， ∴，①错误． ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大，②错误． 当时，， ∴③错误． 整理为， 当，时，，成立， 时，，成立， ∴的解是． ∴④正确． 故正确的为：④． 故选：B． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 13. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程结构，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：原方程化为， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 14. 如图所示的扇形中，已知 ，，则 ______． 【答案】120 【解析】 【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求出圆心角度数，再在大扇形中利用弧长公式求解即可； 【详解】解：设扇形圆心角度数为n°， ∵ ，， ∴在扇形中，， 解得：， ∴在扇形 COD 中，， ； 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变计算即可． 15. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为：，即， 故答案为：． 16. 在中，，于，，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】证明△ABC∽△ACD，列出比例式，设AD为x，代入列出方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴, ∵， ∴△ABC∽△ACD， ∴， 设AD为x，∵AC＝2，BD＝3， ∴，解得，，（舍去）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是恰当的证明两个三角形相似，列出比例式，建立方程． 17. 如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转后到达的位置，此时恰好使得，则的大小为________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】由旋转得，由，由，求得，由，得，进而即可得到． 【详解】解：绕点A逆时针旋转后到达的位置， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质的、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出，是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键． 作轴于，交于，作于，连接，由于，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理可计算出，则，继而可得答案． 【详解】解：作轴于，交于，作于，连接，如图， ∵的圆心坐标是， ∴， 把代入得， ∴点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴也为等腰直角三角形， ∵， 在中，， 故答案为：． 19. 如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，构建相似三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴于，轴于，构造相似三角形求出点的坐标，再利用位似变换的性质求出点的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】解：过点作轴于，轴于， 将沿翻折得到， ，，， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 解得， ，， ， 放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ． 故答案为：． 20. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论：若，则；若，，，则；若，则；若，，则．其中正确的有__________（只填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，，，所以，则，可证明，得，则，可判断正确；由，，得，可证明，得，，则四边形是菱形，所以，则，所以，则，可判断正确；由，证明，得，因为，所以，则四边形是菱形，可证明，得，可判断正确；当时，四边形是菱形，则，若与不垂直，则上还存在一点，使，假设，可证明，而另一点也满足，但与不平行，可判断不符合题意． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，故正确； ，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ，， ， 如图，当与不垂直时，上还存在一点，使， 假设， 在和中， ， ， ， ， ， 而另一点也满足，但与不平行， 与不一定平行，故不符合题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键． 三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程． 21. 根据要求解下列方程． （1）用配方法解方程：． （2）用公式法解方程．． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：移项得，． 配方得，，， ， 原方程的解为，． 【小问2详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根，， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，点E是延长线上一点，与、交于、． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ； （2） 证明：由（1）可知，， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过四边形是平行四边形，推出，得到，，从而得证； （2）由（1）可知，，推出，同理可证，推出 ，从而得到，得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线对应的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． (1)先由，得，点，，得，，则点的坐标是，然后利用待定系数法可得反比例函数的解析式； (2)把点、的坐标代入直线的解析式为即可得直线的解析式为． 【小问1详解】 解：， ， 点在第一象限内，， ， ， 点的坐标是， 反比例函数过点， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把点、的坐标代入得， ，解得， 直线对应的函数解析式为． 24. 如图，在中，，D为的中点，以为直径作，交边于点E，过点E作，垂足为点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴，即， ∵在中，，D为的中点， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，最后由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，，， ∴． 25. （1）求证：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则系数a，b，c有如下关系：，； （2）根据结论，解决问题：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值． 【答案】（1） ∴ 解得， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据公式法求出，，进而求解即可； （2）首先根据根与系数的关系求出，，然后利用完全平方公式将变形，然后整体代入求解即可． 【详解】（1） 略 （2）∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴ ． 26. 图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度弹出羽毛球，在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状（如图所示），设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为（米），与的部分对应数据如下表所示： （米） … … （米） … … 求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． 【答案】；米 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与的部分对应数据中的表格信息，利用待定系数法即可求出关于的函数表达式，由求出的解析式令，求出的值，即可得到羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． 【详解】解：由表格信息可知，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 又其图象过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 答：关于的函数表达式为，羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $