10.1.3两角和与差的正切学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

10.1.3　两角和与差的正切 ［学习目标］　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. 一、两角和与差的正切公式 问题1　根据两角和与差的正弦、余弦公式，如何求tan 15°的值？ 问题2　如何由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 问题3　如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？ 知识梳理 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(α+β)=_________ T(α+β) α，β，α+β≠kπ+(k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α-β)=_________ T(α-β) α，β，α-β≠kπ+(k∈Z) 例1　化简求值： (1)； (2)； (3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. 跟踪训练1　(1)化简等于(　　) A. B. C.3 D.1 (2)(1+tan 18°)(1+tan 27°)=　　　　.  二、给值求值(角) 例2　(1)已知tan(α+β)=等于(　　) A. B. C. D. (2)已知tan(α-β)=，α，β∈(0，π)，求tan(2α-β)的值. 延伸探究　在本例(2)的条件下，求2α-β. 跟踪训练2　已知tan α=<β<π.求： (1)tan(α-β)的值； (2)α+β的值. 三、两角和与差的正切公式的综合应用 例3　(1)已知tan α=2，证明：sin2α+sin αcos α=. (2)如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使得AB+BP=PD，求tan∠APD的值. 反思感悟　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 跟踪训练3　(1)如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD(AC为水平地面)，P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD=45°，AB=AC=50 m.试求楼CD的高度(测量仪器的高度不计). (2)若A+B=，求证：tan Atan B+tan A+tan B=1. 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)给值求值(角). (3)两角和与差的正切公式的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 1.tan 105°等于(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 2.已知sin α=，α为第二象限角，且tan(α+β)=-，则tan β的值为(　　) A.- B. C.- D. 3.计算=　　　　.  4.已知A，B都是锐角，且tan A=，则A+B=　　　　.  答案精析 问题1　先分别求出sin 15°和cos 15°，再由tan 15°=即可求得. 问题2　tan(α+β)= = =. 问题3　用-β代替tan(α+β)中的β即可， 则tan(α-β)=. 知识梳理 例1　解　(1)原式=tan(74°+76°) =tan 150°=-. (2)原式= =tan 60°=1. (3)∵tan 60°=， ∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°， ∴tan 23°+tan 37°+. 跟踪训练1　(1)B　　(2)2 例2　(1)C (2)解　∵tan β=-， ∴tan α=tan［(α-β)+β］ = =， tan(2α-β)=tan［(α-β)+α］ = ==1. 延伸探究　解　由本例(2)知， tan(2α-β)=1. ∵tan α=<0，α，β∈(0，π)， ∴α∈， ∴α-β∈(-π，0). 又∵tan(α-β)=>0， ∴α-β∈， 2α-β=α+(α-β)∈(-π，0). 而tan(2α-β)=1，∴2α-β=-. 跟踪训练2　解　(1)tan(α-β) = ==7. (2)∵tan(α+β) ==-1， 且0<α<<β<π， ∴， ∴α+β=. 例3　(1)证明　因为tan α=2， 所以左边 = =. 右边= = = =， 所以左边=右边， 所以原等式成立. (2)解　由AB+BP=PD， 得a+BP=， 解得BP=a， 设∠APB=α，∠DPC=β， 则tan α=， ∴tan(α+β)==-18， 又∠APD+α+β=π， ∴tan∠APD=tan =-tan(α+β)=18. 跟踪训练3　(1)解　如图， 设∠APB=α，∠CPD=β， 则α+β+45°=180°，β=135°-α. 依题意，得tan α==2. ∴tan β=tan(135°-α) ==3. ∴在Rt△DCP中，CD=PCtan β=25×3=75. 即楼CD的高度为75 m. (2)证明　∵A+B=， 左边=tan Atan B+tan A+tan B =tan Atan B+tan(A+B)(1-tan Atan B) =tan Atan B+tan(1-tan Atan B) =tan Atan B+1-tan Atan B=1=右边. ∴原等式成立. 随堂演练 1.A　2.C　3.1　4. 学科网（北京）股份有限公司 $$