重难点05 勾股定理的十二大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点05 勾股定理十二大重难点题型 ▲知识点1： 勾股定理 ◆勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角 形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. ▲知识点2： 勾股定理的证明 ◆通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ▲知识点3： 勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. ▲知识点4： 勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. ▲知识点5： 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三 角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 【题型一 运用勾股定理求线段长】 1．（2024春•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2024秋•长春期末）已知三角形的两边分别为5和12，要使它是直角三角形，第三边的长应为 　 ． 3．（2024秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 4．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 【题型二 运用勾股定理的证明】 1．（2024秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（　　） A．a2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 2．（2024春•虞城县月考）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图所示是传说中毕达哥拉斯证明勾股定理的一种方法，图（1）中大正方形的面积为边长分别为a，b的两个小正方形面积和四个三角形面积的和，即大正方形的面积为：　 　；图（2）中大正方形的面积为边长为c的正方形与四个直角三角形的面积的和，即大正方形的面积为：　 　；因为图（1）（2）中正方形的边长为a+b，面积相等，所以 　 　＝　 　，即 　 　． 4．（2024秋•黎川县校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【题型三 赵爽弦图】 1．（2024春•长沙期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若AF＝15，小正方形EFGH的面积是49，则大正方形ABCD的面积是（　　） A．225 B．256 C．289 D．324 2．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024秋•海淀区校级期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为20，则（a+b）2的值为 　 　． 4．（2024秋•平度市校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中说法正确的结论有 　 　（填序号）． 【题型四 勾股定理的实际应用】 1．（2024春•赣州期中）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B往外移（　　）m． A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 2．（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 3．（2024春•西城区校级期中）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 4．（2024秋•北碚区期末）如图，某海港A的正东方向80海里处有一海岛B，气象站发现在海岛B的正南方向60海里的C处有一台风中心，测得它正以20海里/小时的速度沿CA方向向海港A运动，以台风中心为圆心，周围52海里以内为受影响区域． （1）通过计算说明海岛B会受台风影响吗？ （2）求出台风中心同时影响海港A和海岛B的时长． 【题型五 利用勾股定理解决折叠问题】 1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 2．（2024秋•丹东期末）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，那么NB的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 3．（2024秋•锡山区校级月考）如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 4．（2024春•惠阳区月考）如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝12，AB＝5，求： （1）求线段CE的长； （2）求△CEF的面积． 【题型六 利用勾股定理解决最短路径问题】 1．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B．蚂蚁要爬行的最短路程是 　 　cm． 2．（2024秋•龙口市期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（　　） A．8km B．10km C．12km D．14km 3．（2024春•汉阴县月考）如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 　 　cm． 4．（2024春•城厢区校级月考）如图，圆柱形玻璃杯高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　 　cm（杯壁厚度不计）． 【题型七 利用勾股定理探究规律】 1．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（　　） A． B． C． D． 2．图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2022的坐标为 　 　． 4．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1，1＝3，S2，1＝4，S3 （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 【题型八 勾股定理的逆定理的应用】 1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4 km/h，且2h后分别到达A，B点，若A，B两点的直线距离为10 km，甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（　　） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 2．（2024秋•上蔡县期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 3．（2024秋•兰州期末）如图，已知等腰△ABC的底边，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝16cm，CD＝8cm． （1）判断△BDC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 4．（2024春•桦甸市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【题型九 利用勾股定理的逆定理进行证明或计算】 1．（2024秋•门头沟区期末）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝　 ． 3．（2024春•辛集市期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2， PA＝3，求∠BPC的度数． 【题型十 方程思想在勾股定理中的应用】 1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．若BD＝CE，则AC的长为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 2．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　 　； （2）分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积． 3．（2024秋•莱西市期中）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E． （1）判定△ABC的形状，并说明理由； （2）求AE的长． 4．（2024春•乐陵市校级月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC＝90°． （1）若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，BD＝1.5m，求秋千OB的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【题型十一 分类讨论思想在勾股定理中的应用】 1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B．7 C．12或7 D．以上都不对 2．如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝ 　时，△OAP是等腰三角形． 3．（2024秋•二道区校级期末）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长． 4．（2024秋•洪洞县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 【题型十二 勾股定理综合压轴探究题】 1．（2024秋•莱西市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）AC＝　 　cm； （2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，当t＝　 　值时，△ACP为等腰三角形（直接写出结果） 2．（2024春•蜀山区校级期中）我们规定，三角形任意两边的“致真值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“致真值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2． （1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值． （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值． （3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长． 3．（2024秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒lcm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　； ②当t＝3时，PQ的长为 　 ． （2）当点Q在边BC．上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值． 4．（2024秋•福田区期中）阅读下面材料： 某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠BCA＝45°，D是BC的中点， （1）问题发现：如图1，若点E、F分别在线段AB、AC上，且AE＝CF，连接EF、DE、DF、AD，此时小明发现∠BAD＝　 　°，AD　 　DC（填“＞、＜、＝”）． 接下来小明和同学们继续探究，发现﹣一个结论：线段EF与DE长的比值是一个固定值，即EF＝　 DE． （2）变式探究：如图2，E、F分别在线段BA、AC的延长线上，且AE＝CF，若EF＝4，求DE的长并写出过程． （3）拓展应用：如图3，AB＝AC＝6，动点M在AD的延长线上，点H在直线AC上，且满足∠BMH＝90°，CH＝2，请直接写出DM的长为 　 ． 1．（2023春•龙湖区期末）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或 2．（2024春•徐闻县校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的周长是（　　） A．12 B．16 C．20 D．25 3．（2024秋•兴平市期末）如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 4．（2024春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．13 B．15 C．18 D．19 5．（2024春•平城区校级月考）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a、b、c，下列条件不能判定其为直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a2﹣b2＝c2 C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C 6．（2024秋•景德镇期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（　　） A．128 B．64 C．32 D．144 7．（2024秋•邢台期末）已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为 　 　． 8．（2024秋•新城区月考）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　 　． 9．（2024春•献县期中）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 　 　米． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 　 　． 11．（2024春•船营区校级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，E为CD边上一点．将长方形纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则DE的长为 　 　． 12．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA'＝BB'＝25m），消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A'处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ 13．（2024秋•榆林期末）2021年12月12日是西安事变85周年纪念日，西安事变及其和平解决在中国社会发展中占有重要的历史地位，为中国社会的发展起到了无可替代的作用．为此，某社区开展了系列纪念活动，如图，有一块三角形空地ABC，社区计划将其布置成展区，△BCD区域摆放花草，阴影部分陈列有关西安事变的历史图片，现测得AB＝20米，AC＝10米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°． （1）求BC的长； （2）求阴影部分的面积． 14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6．求证：BA⊥AD． 15．（2024秋•锡山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 勾股定理十二大重难点题型 ▲知识点1： 勾股定理 ◆勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角 形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. ▲知识点2： 勾股定理的证明 ◆通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ▲知识点3： 勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. ▲知识点4： 勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. ▲知识点5： 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三 角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 【题型一 运用勾股定理求线段长】 1．（2024春•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】直接根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴BC， 即BC的长是， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2024秋•长春期末）已知三角形的两边分别为5和12，要使它是直角三角形，第三边的长应为 　 ． 【分析】分两种情况：当直角三角形的两条直角边长分别为5和12时；当直角三角形的斜边长为12时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当直角三角形的两条直角边长分别为5和12时， ∴第三边的长13； 当直角三角形的斜边长为12时， ∴第三边的长； 综上所述：第三边的长应为13或， 故答案为：13或． 【点评】本题考查了勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键． 3．（2024秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的长，再根据等面积法即可求出CD的长； （2）直接由勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB25， ∵CD⊥AB， ∴， ∴CD12； （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD9， AD＝25﹣9＝16． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解； （2）根据勾股定理求出BD的长即可求解． 【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE＝5， ∴AB＝10， 又∵AC＝8，BC＝6， ∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵CD是△ABC的高， ∴S， ∴CD； （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD3.6， ∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型二 运用勾股定理的证明】 1．（2024秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（　　） A．a2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【分析】根据图形可知是梯形，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，列式整理即可证明． 【解答】解：梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴（a2+2ab+b2）＝abc2， ∴a2+b2＝c2； 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2024春•虞城县月考）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断2可以验证勾股定理． 【解答】解：图1∵，， ∴， ∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故图1可以验证勾股定理； 图2：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴c2+ab＝a2+b2+ab， ∴a2+b2＝c2，故图2可以验证勾股定理； 图3的条件不充足，不可以验证勾股定理， 综上，图1、图2可以验证勾股定理，共2个， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，关键是梯形面积公式的应用． 3．如图所示是传说中毕达哥拉斯证明勾股定理的一种方法，图（1）中大正方形的面积为边长分别为a，b的两个小正方形面积和四个三角形面积的和，即大正方形的面积为：　 　；图（2）中大正方形的面积为边长为c的正方形与四个直角三角形的面积的和，即大正方形的面积为：　 　；因为图（1）（2）中正方形的边长为a+b，面积相等，所以 　 　＝　 　，即 　 　． 【分析】图（1）中两个正方形的面积分别为a2，b2，四个直角三角形的面积均为ab．图（2）中空白正方形的面积为c2，四个阴影直角三角形的面积都为ab． 【解答】解：图（1）中大正方形的面积为：a2+b2+4a×b＝a2+b2+2ab＝（a+b）2； 图（2）中大正方形的面积为：c2+4a×b＝c2+2ab； 因为图（1）（2）中正方形的边长为a+b，面积相等， 所以（a+b）2＝c2+2ab， 所以a2+2ab+b2＝c2+2ab， 即a2+b2＝c2． 故答案为：（a+b）2，c2+2ab，（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理． 4．（2024秋•黎川县校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【分析】（1）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，然后再列出方程求解即可． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2． （2）设BD＝x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握数形结合思想以及列出方程是解答本题的关键． 【题型三 赵爽弦图】 1．（2024春•长沙期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若AF＝15，小正方形EFGH的面积是49，则大正方形ABCD的面积是（　　） A．225 B．256 C．289 D．324 【分析】先求出小正方形的边长，进而求出直角三角形的短直角边长，再利用勾股定理求出大正方形边长的平方，即为大正方形的面积． 【解答】解：∵小正方形EFGH的面积是49， ∴小正方形EFGH的边长FG＝7， ∵四个直角三角形全等， ∴BG＝AF＝15， ∴BF＝BG﹣FG＝15﹣7＝8， ∴AB2＝AF2+BF2＝152+82＝289， ∴大正方形ABCD的面积是289， 故选：C． 【点评】本题以“赵爽弦图”为背景考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 2．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可． 【解答】解：∵AB＝10，EF＝2， ∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4ab＝96， ∴2ab＝96，a2+b2＝100， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196， ∴a+b＝14， ∵a﹣b＝2， 解得：a＝8，b＝6， ∴AE＝8，DE＝6， ∴AH＝8﹣2＝6． 故选：C． 【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值． 3．（2024秋•海淀区校级期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为20，则（a+b）2的值为 　 　． 【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解． 【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝20，4ab＝60﹣20＝40， ∴2ab＝40， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝20+2×40＝100． 故答案为：100． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键． 4．（2024秋•平度市校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中说法正确的结论有 　 　（填序号）． 【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用平方差公式可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④． 【解答】解：∵大正方形面积为49， ∴大正方形边长为7， 在直角三角形中， x2+y2＝72＝49， 故说法①正确； ∵小正方形面积为4， ∴小正方形边长为2， ∴x﹣y＝2， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49﹣2xy＝4， ∴xy， 故说法②错误； ∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ∴4xy+4＝49， ∴2xy+4＝49， 故说法③正确； ∵2xy+4＝49， ∴2xy＝45， ∵x2+y2＝49， ∴x2+y2+2xy＝49+45， ∴（x+y）2＝94， ∴x+y， 故说法④错误； 故答案为：①③． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长． 【题型四 勾股定理的实际应用】 1．（2024春•赣州期中）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B往外移（　　）m． A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【分析】根据勾股定理求出OB的长与OD的长即可得出结果． 【解答】解：由题意可知，AB＝CD＝2.5m，AC＝0.5m， ∴OC＝OA﹣AC＝2﹣0.5＝1.5（m）， 在Rt△AOB中，由勾股定理得， OB（m）， 在Rt△COD中，由勾股定理得， OD（m）， ∴BD＝OD﹣OB＝2﹣1.5＝0.5（m）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 2．（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米， 在Rt△ADE中，AD＝1.5米米， 由勾股定理得：AE0.9（米）， ∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米）， ∴CD＝BE＝1.6米， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2024春•西城区校级期中）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【分析】由勾股定理求出AB＝15m，再由勾股定理求出AD＝6m，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m， ∴AB15（m）， ∵此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置， ∴CD＝17﹣1×7＝10（m）， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD6（m）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（m）， 即船向岸边移动了9m， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出AB和AD的长是解题的关键． 4．（2024秋•北碚区期末）如图，某海港A的正东方向80海里处有一海岛B，气象站发现在海岛B的正南方向60海里的C处有一台风中心，测得它正以20海里/小时的速度沿CA方向向海港A运动，以台风中心为圆心，周围52海里以内为受影响区域． （1）通过计算说明海岛B会受台风影响吗？ （2）求出台风中心同时影响海港A和海岛B的时长． 【分析】（1）求出B在AC的距离，再与52比较大小； （2）先求出台风中心同时影响海港A和海岛B的路程，再求出时间． 【解答】解：（1）过B作BD⊥AC于D，设BE＝BF＝AQ＝52海里， 由勾股定理得：AC＝100海里， ∵AB•BC＝AC•BD， ∴BD＝48＜52， 所以海岛B会收到台风份影响； （2）在Rt△BED中，ED＝20（海里）， 在Rt△ABD中，AD＝64（海里）， ∴AE＝AD﹣ED＝64﹣20＝44（海里）， ∴QE＝AQ﹣AE＝52﹣44＝8（海里）， ∴8÷20×60＝24（分钟）， 答：台风中心同时影响海港A和海岛B的时长为24分钟． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【题型五 利用勾股定理解决折叠问题】 1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可． 【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm， ∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴AD＝BD＝8﹣x， 在△ACD中，∠C＝90°， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x， 即CD的长为cm． 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理． 2．（2024秋•丹东期末）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，那么NB的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【分析】由折叠知AN＝DN，BD＝2，设BN＝x，则AN＝DN＝6﹣x，在Rt△BND中，利用勾股定理列方程即可． 【解答】解：∵使点A与BC的中点D重合， ∴AN＝DN，BD＝2， 设BN＝x，则AN＝DN＝6﹣x， 在Rt△BND中，由勾股定理得， （6﹣x）2＝x2+22， 解得x， ∴BN． 故选：B． 【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 3．（2024秋•锡山区校级月考）如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设DF＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE＝EG，AB＝BG， ∴ED＝EG， ∵在矩形ABCD中， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝90°， 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF＝FG， 设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x， 在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即， 解得：x＝4，即DF＝4； 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 4．（2024春•惠阳区月考）如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝12，AB＝5，求： （1）求线段CE的长； （2）求△CEF的面积． 【分析】（1）设CE＝x，则BE＝12﹣x＝EF，依据勾股定理可得AC的长；再利用Rt△CEF，根据勾股定理列方程求解即可得到CE的长； （2）直接利用三角形面积计算公式进行计算，即可得出结论． 【解答】解：（1）设CE＝x，则BE＝12﹣x＝EF， Rt△ABC中，AC13， 由折叠可得，AF＝AB＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝13﹣5＝8， 由折叠可得∠CFE＝90°， ∴EF2+CF2＝CE2， 即（12﹣x）2+82＝x2， 解得x， ∴线段CE的长为； （2）△CEF的面积EF×CF（12）×8． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【题型六 利用勾股定理解决最短路径问题】 1．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B．蚂蚁要爬行的最短路程是 　 　cm． 【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【解答】解：如图1所示： AB20（cm）， 如图2所示： AB4（cm）． 故爬行的最短路程是20cm， 故答案为：20． 【点评】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 2．（2024秋•龙口市期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（　　） A．8km B．10km C．12km D．14km 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P. 则此时AP+PB最小，过点B作BE⊥CA延长线于点E， ∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km， ∴AA'＝4km，则A′E＝6km， 在Rt△A'EB中， A′B10（km）， 则AP+PB的最小值为：10km． 故选：B． 【点评】本题主要考查最短路径、解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 3．（2024春•汉阴县月考）如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 　 　cm． 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中， ∵BE＝120cm，AC＝30×3＝90（cm）， ∴AB150（cm）． 答：按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是150cm． 故答案为：150． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 4．（2024春•城厢区校级月考）如图，圆柱形玻璃杯高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　 　cm（杯壁厚度不计）． 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， 在直角△A′DB中，由勾股定理得， A′B15（cm）． 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为15cm， 故答案为：15． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【题型七 利用勾股定理探究规律】 1．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分S1、S2、S3、S4的值，再由面积的变化即可找出变化规律“Sn＝4×（ ）n﹣1”，依此规律即可解决问题． 【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DE＝CE，∠CED＝90°， ∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2， ∴DECD， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∴S1＝22＝4＝4×（）0， S2＝（2）2＝2＝4×（）1， S3＝（）2＝1＝4×（）2， S4＝（1）24×（）3， …， ∴Sn＝4×（）n﹣1， ∴S2021＝4×（）2020＝（）2018， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计算、规律型等知识，根据面积的变化找出变化规律“Sn＝4×（）n﹣1”是解题的关键． 2．图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2，OA3，找到OAn的规律，即可得到结论． 【解答】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2， OA3， …， ∴OAn， ∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，完全平方数有1，4，9，16， ∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有4条， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn的规律是解题的关键． 3．（2024春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2022的坐标为 　 　． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1＝1，OA2，OA3＝（）2，…，OA2020＝（）2019，再利用A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点A2020在第一象限，即可确定点A2020的坐标． 【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…， ∴OA1＝1，OA2，OA3＝（）2，…，OA2020＝（）2019， ∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴， 2022＝8×252+6， ∴点A2022在第四象限， ∵OA2022＝（）2021， ∴点A2022的横坐标为：（）2021＝21010，纵坐标为﹣21010， 故答案为：（21010，﹣21010）． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 4．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1，1＝3，S2，1＝4，S3 （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化， （2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出， （3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出． 【解答】解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn； （2）∵OAn2＝n， ∴OA10． （3）SSSS ． 【点评】本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大． 【题型八 勾股定理的逆定理的应用】 1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4 km/h，且2h后分别到达A，B点，若A，B两点的直线距离为10 km，甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（　　） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【分析】根据题意得到OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），根据勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°，根据平角的定义即可得到结论． 【解答】解：∵甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4 km/h，且2h后分别到达A，B点， ∴OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km）， ∵AB＝10km， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵甲探险者沿着北偏东30°的方向行走， ∴乙探险者的行走方向可能是南偏东60°， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确地判断出∠AOB＝90°是解题的关键． 2．（2024秋•上蔡县期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【分析】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC15（m）， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 AB•BCAC•CD 9×1215×8 ＝54+60 ＝114（m2）， ∴这块菜地的面积为114m2， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2024秋•兰州期末）如图，已知等腰△ABC的底边，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝16cm，CD＝8cm． （1）判断△BDC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可； （2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可． 【解答】解：（1）△BDC是直角三角形， 理由是：∵BC＝8cm，BD＝16cm，CD＝8cm， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠D＝90°， 即△BDC是直角三角形； （2）设AB＝AC＝xcm， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2， 即（16﹣x）2+82＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝AC＝10（cm）， ∵BC＝8cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+8（20+8）（cm）． 故△ABC的周长是（20+8）cm． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键． 4．（2024春•桦甸市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）利用勾股定理解Rt△ABC即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积等于Rt△ABC与Rt△ACD面积之和． 【解答】解：（1）∵AB⊥BC，AB＝1，BC＝2， ∴； （2）∵CD＝3，，， ∴， ∴△ACD是直角三角形， ∴， ∴四边形ABCD的面积为． 【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型九 利用勾股定理的逆定理进行证明或计算】 1．（2024秋•门头沟区期末）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】作点B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC＝∠B′AC．证明△AB′D是等腰直角三角形，得出∠B′AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°． 【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC＝∠B′AC． ∵AB′2＝12+32＝10，B′D2＝12+32＝10，AD2＝42+22＝20， ∴AB′＝B′D，AB′2+B′D2＝AD2， ∴△AB′D是等腰直角三角形， ∴∠B′AD＝45°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠B′AC+∠DAC＝∠B′AD＝45°． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，准确作出辅助线证明△AB′D是等腰直角三角形是解题的关键． 2．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝　 ． 【分析】根据勾股定理可求AC，根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求∠DAC，再根据角的和差关系即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC，AB＝1， ∴AC， ∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2， ∴∠D＝90°， ∴∠DAC＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理等知识． 3．（2024春•辛集市期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求DF的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80， 同理：CD2＝20， ∴AD2+CD2＝100， ∵AC＝AE+CE＝8+2＝10， ∴AC2＝100， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； （2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝10， 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2， PA＝3，求∠BPC的度数． 【分析】根据旋转的性质得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数． 【解答】解：如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP， ∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD， ∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°， 在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3， 而12+（2）2＝32， ∴PB2+PD2＝BD2， ∴△PBD为直角三角形， ∴∠DPB＝90°， ∴∠BPC＝45°+90°＝135°． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理以及逆定理的运用． 【题型十 方程思想在勾股定理中的应用】 1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．若BD＝CE，则AC的长为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 【分析】设AC＝AD＝xcm，根据，在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程即可求解． 【解答】解：设AC＝AD＝xcm， ∵BD＝CE，BD＝BE， ∴， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162＝（x+8）2， 解得：x＝12， 即AC＝12cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出BD＝8cm，进而表示出AB的长． 2．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　 　； （2）分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积． 【分析】作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理可得132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，计算出x的值，再由勾股定理求出AD的长即可得出三角形ABC的面积． 【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x， 故答案为：14﹣x； （2）在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理得： AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2， AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2， ∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2， 解得x＝9； （3）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD12， ∴84． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2024秋•莱西市期中）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E． （1）判定△ABC的形状，并说明理由； （2）求AE的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形； （2）连接EC，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EB，设AE＝x，则BE＝EC＝12﹣x，再在Rt△ACE中利用勾股定理得到x2+92＝（12﹣x）2，然后解方程即可． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形． 理由如下： ∵△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15， 而92+122＝152，即AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）连接EC，如图， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC＝EB， 设AE＝x，则BE＝EC＝12﹣x， 在Rt△ACE中，x2+92＝（12﹣x）2， 解得x， 即AE的长为． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了线段垂直平分线的性质． 4．（2024春•乐陵市校级月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC＝90°． （1）若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，BD＝1.5m，求秋千OB的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【分析】（1）设OB＝x m，则OA＝OC＝x m，根据题意得DA＝0.5，OD＝x﹣0.5，结合勾股定理OB2＝DB2+OD2，即可求得； （2）由题意得∠BOE＝∠OCE和BO＝OC，可证△BDO≌△OEC，则有BD＝OE，即可求得EA＝1，进一步求得点C距离地面的高． 【解答】解：（1）设OB＝x m，则OA＝OC＝x m， ∵点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m， ∴DA＝1﹣0.5＝0.5（米）， 则OD＝x﹣0.5， ∵∠ODB＝90°，BD＝1.5（米）， ∴OB2＝DB2+OD2， ∴x2＝1.52+（x﹣0.5）2，解得x＝2.5． 答：秋千OB的长度为2.5m． （2）∵∠BOC＝90°，∠OEC＝90°， ∴∠BOE+∠EOC＝∠EOC+∠OCE＝90°， ∴∠BOE＝∠OCE， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°，BO＝OC， ∴△BDO≌△OEC（AAS）， ∴BD＝OE， 则EA＝OA﹣OE＝1（米）， 那么C距离地面的高1+0.5＝1.5（m）． 答：爸爸在距离地面1.5m高的地方接住小丽的． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【题型十一 分类讨论思想在勾股定理中的应用】 1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B．7 C．12或7 D．以上都不对 【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论． 【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边， 由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得，x，此时这个三角形的周长＝7， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 2．如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝ 　时，△OAP是等腰三角形． 【分析】分三种情况，当OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP时，由等腰三角形的性质可求出答案． 【解答】解：当△AOP为等腰三角形时，分三种情况： ①如图，OP＝AP， ∴∠O＝∠OAP， ∵∠AOM＝45°， ∴∠APO＝90°， ∴OP； ②如图， OA＝OP＝2； ③如图，OA＝AP， ∴∠O＝∠APO＝45°， ∴∠A＝90°， ∴OP2． 综上所述，OP的长为或2或2． 故答案为：或2或2． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024秋•二道区校级期末）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长． 【分析】（1）由AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，可得AM2+NB2＝MN2，根据勾股定理逆定理得出以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下： ∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点； （2）设BN＝x，则MN＝30﹣AM﹣BN＝25﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（25﹣x）2＝x2+25， 解得x＝12； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝25+（25﹣x）2， 解得x＝13． 综上所述，BN＝12或13． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． 4．（2024秋•洪洞县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 【分析】（1）由勾股定理求解即可； （2）①由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则BP＝BC＝4cm，得t＝4； ②当∠BAP＝90°时，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（cm）； （2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况： ①当∠APB＝90°时，如图1所示： 点P与点C重合， ∴BP＝BC＝4cm， ∴t＝4； ②当∠BAP＝90°时，如图2所示： 则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2， ∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2， 即32+（t﹣4）2＝t2﹣52， 解得：t； 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s． 【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 【题型十二 勾股定理综合压轴探究题】 1．（2024秋•莱西市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）AC＝　 　cm； （2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，当t＝　 　值时，△ACP为等腰三角形（直接写出结果） 【分析】（1）利用勾股定理计算； （2）P点只能在AC边上，设CP＝a，再做PD⊥AB与D，PD＝a，根据等面积，列方程，求出a，再计算t； （3）读懂题意，可以发现，在整个运动过程中有两个时间点使得△ACP为等腰三角形，分情况计算t的值． 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝25﹣16＝9， ∴AC＝3cm， 故答案为：3； （2）根据题意可知，P点在AC边上，再做PD⊥AB与D， 设CP＝a， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，由（1）得AC＝3cm， ∴PD＝a， ∴S△ABP+S△PBC＝S△ABC， ∴AB•DPBC•CPBC•AC， ∴5×a4×a4×3， 解得a， ∴t（秒）， ∴此时t的值秒； （3）在整个运动过程中有两个时间点使得△ACP为等腰三角形， 点P在AB上时，此时AP＝AC＝3cm， t（秒）； 点P在BC上时，此时PC＝AC＝3cm， t3（秒）， 综上所述，当t或3秒时，△ACP为等腰三角形． 故答案为：或3秒． 【点评】本题考查了三角形中动点的问题，解题的关键是掌握勾股定理，等腰三角形的判断，三角形的面积． 2．（2024春•蜀山区校级期中）我们规定，三角形任意两边的“致真值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“致真值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2． （1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值． （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值． （3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长． 【分析】（1）根据勾股定理，利用新定义即可得出结论； （2）取BC的中点O，连接AO，求出OB＝6，则可求出AB∇AC，取AC的中点D，连接BD，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，求出BE，BD，则可求出BA∇BC的值； （3）作BD⊥CD，根据三角形ABC的面积求出BD＝6，求出OC，BC的长，再求出CD和AD的长，则可求出答案． 【解答】解：（1）如图1，AO是BC边上的中线， ∵∠ACB＝90°， ∴AO2﹣OC2＝AC2， ∵AB∇AC＝81， ∴AO2﹣OC2＝81， ∴AC2＝81， ∴AC＝9； （2）①如图2，取BC的中点O，连接AO， ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝30°， 在Rt△AOB中， ∴OB6， ∴AB∇AC＝AO2﹣BO2＝36﹣108＝﹣72； ②如图3，取AC的中点D，连接BD， ∴AD＝CDAC＝6， 过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E， ∴∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ABE＝30°， ∵AB＝12， ∴AE＝6， ∴BE6． ∴DE＝AD+AE＝12， ∴BD6， ∴BA∇BC＝BD2﹣CD2216； （3）作BD⊥CD，如图4， ∵S△ABC＝24，AC＝8， ∴BD6， ∵AB∇AC＝﹣64，AO是BC边上的中线， ∴AO2﹣OC2＝﹣64， ∴OC2﹣AO2＝64， 又∵AC2＝82＝64， ∴OC2﹣AO2＝AC2， ∴∠AOC＝90°， ∴OA＝23， ∴OC． ∴BC＝2OC＝2， 在Rt△BCD中，CD16， ∴AD＝CD﹣AC＝16﹣8＝8， ∴AB10． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用． 3．（2024秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒lcm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　； ②当t＝3时，PQ的长为 　 ． （2）当点Q在边BC．上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值． 【分析】（1）①利用勾股定理可求解AC的长，进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高； ②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长； （2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC（cm）， ∴Rt△ABC斜边AC上的高为4.8（cm）； ②当t＝3时，则AP＝3cm，BQ＝2t＝6cm， ∵AB＝8cm， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣3＝5（cm）， 在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ（cm）， 即PQ的长为cm， 故答案为：①4.8cm；②cm； （2）由题意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∵AB＝8， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即8﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形； （3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝10， 当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣2t＝16﹣2t， ∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣（16﹣2t）＝2t﹣6， ∵△BCQ为等腰三角形， ∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况， ①当BQ＝BC＝6时，如图1，过B作BD⊥AC于D， 则CDCQ＝t﹣3， 在Rt△ABC中，S△ABCAC×BDBC×AB， ∴BD， 在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2＝BD2+CD2， 即62＝（ ）2+（t﹣3）2， 解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）； ②当CQ＝BC＝6时，则2t﹣6＝6，解得t＝6； ③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC， ∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA， ∴∠A＝∠QBA， ∴QB＝QA， ∴CQAC＝5，即2t﹣6＝5，解得t＝5.5； 综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大． 4．（2024秋•福田区期中）阅读下面材料： 某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠BCA＝45°，D是BC的中点， （1）问题发现：如图1，若点E、F分别在线段AB、AC上，且AE＝CF，连接EF、DE、DF、AD，此时小明发现∠BAD＝　 　°，AD　 　DC（填“＞、＜、＝”）． 接下来小明和同学们继续探究，发现﹣一个结论：线段EF与DE长的比值是一个固定值，即EF＝　 DE． （2）变式探究：如图2，E、F分别在线段BA、AC的延长线上，且AE＝CF，若EF＝4，求DE的长并写出过程． （3）拓展应用：如图3，AB＝AC＝6，动点M在AD的延长线上，点H在直线AC上，且满足∠BMH＝90°，CH＝2，请直接写出DM的长为 　 ． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出DA＝DC，∠BAD＝∠CAD＝∠C进而得出△ADE≌△CDF（SAS），即可得出△DEF为等腰直角三角形，则可得出答案； （2）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，证出△DEF为等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质可得出答案； （3）分两种情况，①当H在线段AC上时，②当点H在线段AC的延长线上时，连接MC，过点M作MF⊥AC于F，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA＝45°． ∵点D是斜边BC的中点， ∴AD是BC边上的中线． ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC90°＝45°， ∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BCA， ∴DA＝DC， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴EFDE， 故答案为：45°，＝，； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA＝45°． ∵点D是斜边BC的中点， ∴AD是BC边上的中线． ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC90°＝45°， ∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BCA， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝135°， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形． ∴EFDE， ∵EF＝4， ∴DE2； （3）①当H在线段AC上时，如图，连接MC，过点M作MF⊥AC于F， ∵AD⊥CB，BD＝CD， ∴AM为线段BC的中垂线， ∴MB＝MC， ∴∠MBC＝∠MCB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABM＝∠ACM， 又∵∠BAC＝∠BMH＝90°，∠BAH+∠ABM+∠BMH+∠AHM＝360°， ∴∠ABM+∠AHM＝180， ∵∠AHM+∠MHC＝180°， ∴∠ABM＝∠MHC， ∴∠MHC＝∠MCH， ∴MH＝MC， ∵HC＝2， ∴HF＝CFCH＝1， ∵AC＝6， ∴AF＝AC﹣CF＝6﹣1＝5， ∵∠DAC＝45°， ∴AF＝MF＝5， ∴AMAF＝5， ∵D为BC的中点，AB＝AC＝6， ∴ADBC＝3， ∴DM＝AM﹣AD＝532； ②当H在线段AC的延长线上时，如图，连接MC，过点M作MF⊥AC于F， 同理可得CF＝HF＝1， ∴AF＝AC+CF＝6+1＝7， ∴AM， ∴DM＝AM﹣AD＝74， 综上所述，DM的长为2或4． 故答案为：2或4． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，根据已知得出△ADE≌△CDF是解题关键． 1．（2023春•龙湖区期末）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2024春•徐闻县校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的周长是（　　） A．12 B．16 C．20 D．25 【分析】根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∴以AB为边的正方形的周长是4×5＝20， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，能运用勾股定理求边长是解题的关键． 3．（2024秋•兴平市期末）如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2＝S3是解题的关键． 4．（2024春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．13 B．15 C．18 D．19 【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴S正＝5×5＝25， ∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19． 故选：D． 【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积． 5．（2024春•平城区校级月考）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a、b、c，下列条件不能判定其为直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a2﹣b2＝c2 C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C 【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误 【解答】解：A、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， 则5x°＝75°， 所以△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵a2﹣b2＝c2 ∴a2＝c2+b2， ∴△ABC为直角三角形，不合题意； C、∵a：b：c＝3：4：5， 设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴△ABC为直角三角形，不合题意； D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，不合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 6．（2024秋•景德镇期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（　　） A．128 B．64 C．32 D．144 【分析】方法一：根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决． 方法二：根据此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，可以得到小正方形的边长，然后根据勾股定理即可得到EF2的值． 【解答】解：方法一：∵AE＝5，BE＝13， ∴AB， ∴小正方形的面积为：（）24＝194﹣130＝64， 由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍， ∴EF2的值是64×2＝128， 故选：A． 方法二：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13， ∴小正方形的边长为13﹣5＝8， ∴EF2＝82+82＝128， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍． 7．（2024秋•邢台期末）已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为 　 　． 【分析】利用勾股定理列出方程，再解方程即可． 【解答】解：点P（m﹣2，4）到两坐标轴的距离分别是|m﹣2|、4， 则由勾股定理，得 （m﹣2）2+42＝52， 解得：m＝5或﹣1． 故答案为：5或﹣1． 【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 8．（2024秋•新城区月考）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　 　． 【分析】根据勾股定理得到SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE，进一步运算即可． 【解答】解：由图可知，SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE， ∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴正方形B的面积+6＝24﹣8， ∴正方形B的面积＝10． 故答案为：10 【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 9．（2024春•献县期中）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 　 　米． 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB＝5m，AC＝12m， ∴， ∴大树的高度＝AB+BC＝5+13＝18（m）， 故答案为：18． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关运算． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 　 　． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接AE， ∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝5， ∵∠C＝90°，CE＝3， ∴AC4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2024春•船营区校级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，E为CD边上一点．将长方形纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则DE的长为 　 　． 【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝8，BC＝B'C'＝10，CE＝C'E，由勾股定理可求B'D的长，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D， ∴AB＝AB'＝8，BC＝B'C'＝10，CE＝C'E， ∴B'D6， ∴C'D＝B'C'﹣B'D＝4， ∵DE2＝C'D2+C'E2， ∴DE2＝16+（8﹣DE）2， ∴DE＝5 故答案为：5． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 12．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA'＝BB'＝25m），消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A'处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ 【分析】由勾股定理求出AD、BD的长，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，DM＝4m，AA'＝BB'＝25m，A'M＝19m，B′M＝24m，AD⊥B′M，点A、B、D三点共线， ∴A'D＝A'M﹣DM＝19﹣4＝15（m），B′D＝B′M﹣DM＝24﹣4＝20（m）， 在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD20（m）， 在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD15（m）， ∴AB＝AD﹣BD＝20﹣15＝5（m）． 答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（2024秋•榆林期末）2021年12月12日是西安事变85周年纪念日，西安事变及其和平解决在中国社会发展中占有重要的历史地位，为中国社会的发展起到了无可替代的作用．为此，某社区开展了系列纪念活动，如图，有一块三角形空地ABC，社区计划将其布置成展区，△BCD区域摆放花草，阴影部分陈列有关西安事变的历史图片，现测得AB＝20米，AC＝10米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°． （1）求BC的长； （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD＝6米，CD＝8米，∠BDC＝90°， ∴BC10（米）， 答：BC的长为10米； （2）∵AB＝20米，AC＝10米，BC＝10米， ∴AB2+BC2＝202+102＝（10）2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90， ∴S阴影＝S△ABC﹣S△BCDAB•BCBD•CD20×106×8＝76（平方米）． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6．求证：BA⊥AD． 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，根据SAS推出△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得出BE＝AC＝13，求出AB2+AE2＝BE2，根据勾股定理的逆定理得出即可． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵BC边上的中线AD＝6， ∴AE＝12，BD＝DC， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝13， ∵AB2+AE2＝52+122＝169，BE2＝132＝169， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴∠BAE＝90°， ∴BA⊥AD． 15．（2024秋•锡山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 【分析】（1）连接EC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质证明即可； （2）结合（1）求出BD＝3，根据勾股定理求出AE＝BE，再根据三角形周长定义求解即可． 【解答】（1）证明：连结EC． ∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分BC， ∵点E在AD上， ∴BE＝EC， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝EC， ∴AE＝BE． （2）由（1）得，， ∵BC＝6， ∴BD＝3， ∴AD4， 设AE＝BE＝x， 在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， ∴， 即， ∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5． 【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 16．（2020•沈阳一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长． 【分析】（1）根据SAS，只要证明∠1＝∠2即可解决问题； （2）结论：BD2+FC2＝DF2．连接FE，想办法证明∠ECF＝90°，EF＝DF，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点A作AG⊥BC于G，在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°， 又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE． （2）解：结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下： 连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠3＝45° 由（1）知△ABD≌△ACE ∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE ∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴BD2+FC2＝EF2， ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF＝∠EAF， 在△DAF和△EAF中 ， ∴△DAF≌△EAF ∴DF＝EF ∴BD2+FC2＝DF2． （3）解：过点A作AG⊥BC于G， 由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25 ∴DF＝5， ∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝AGBC＝6， ∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3， ∴在Rt△ADG中，AD3． 【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$