重难点04 二次根式的新定义运算&规律探究&阅读材料题-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点03 二次根式新定义运算&规律探究题&阅读材料题 【题型一 二次根式的新定义运算】 1．（2024春•正阳县期中）若规定一种新运算为a★b（b﹣a），例如：3★5（5﹣3）＝2，则★　 　． 2．（2024秋•山亭区期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：a※b，例如3※2．那么6※2＝　 　． 3．（2024春•双流区校级月考）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※，那么（）※　 　． 4．（2023春•凤山县期中）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种算法a⊗b，例如：6⊗5，12⊗8＝　 　． 5．（2024秋•禅城区校级期中）对于任意两个正数m、n，定义运算※为：m※n．计算（8※3）×（2※27）的结果为 　 ． 6．（2022秋•嘉定区期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 　 　． 7．（2024秋•拱墅区校级期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数x满足m＜x＜m+1（其中m是整数），那么称（m，m+1）为无理数x的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称（1，2）为的“相邻区间”． 请解答下列问题： （1）求无理数的“相邻区间”． （2）已知的“相邻区间”是（m，m+1），且，求a的值． （3）已知y是正整数，若，求y的值． 8．（2024春•拱墅区期末）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数．则称m与n是关于p的美好二次根式． （1）若m与是关于6的美好二次根式，求m的值； （2）若1与4m是关于n的美好二次根式，求m和n的值． 9．（2024春•南昌期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． （1）请判断﹣5 和 是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． （2）若 与 是因子二次根式，3为因子，求n的值． 10．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m，n（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”． 例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）． （1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 　 　和 　 　； （2）若数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值； （3）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值； （4）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值． 【题型二 二次根式的规律探究题】 1．观察下列各式及验证过程： 式①： 验证： 式②： 验证： （1）针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子； （2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证． 2．（2024春•庐阳区校级期中）观察下列各式： （1）请你猜想 　 　，　 　． （2）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来，并证明其正确性． 3．（2024秋•沈阳月考）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）第6个等式：　 　； （2）计算：； （3）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； （4）若符合上述规律，请直接写出代数式a+b的值． 4．（2024春•宁国市期中）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用n含的等式表示，n为正整数），并证明其正确性． 5．通过计算知道：，，，4，5…． （1）计算　 　，　 　； （2）通过观察并归纳，请写出　 　； （3）利用（2）中结论计算． 6．（2024秋•蒲县月考）先阅读材料，再回答问题： ； ； ； ； … （1）请根据以上规律写出第七个等式； （2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式； （3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1） 7．（2024春•大观区校级期中）设． （1）S4＝　 　； （2），求　 　； （3）求的值．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 8．（2024秋•南海区校级月考）阅读材料，回答问题： 观察下列各式 ； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 【题型三 二次根式的阅读材料题】 1．（2024秋•隆回县期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|．从而达到化去一层根号的目的．例如化简， ∵5＝3+2且6＝3×2， ∴． （1）填上适当的数：|　 　|＝　 　； （2）当1≤x≤2时，化简． 2．（2024秋•芗城区校级期中）[阅读材料] 把分母中的根号去掉，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到去掉分母中根号的目的．如果两个不为0的根式A、B，它们的乘积A•B不含根式，则称A、B互为共轭根式． 例如：，这一化简过程叫分母有理化；其中与互为共轭根式． [理解应用] （1）化简： 　 　； （2）化简：； （3）已知实数x，y满足，求x2﹣2024的值． 3．（2024秋•常德期末）阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．用配方思想方法，解答下面问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：，，求3x2﹣2xy+3y2的值； （3）已知：，，（a≥0，b≥0），求a+2b的值． 4．像，，……，这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：1， 再如：． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若a+6（mn）2，且a、m、n为正整数，求a的值． 5．（2024秋•祁阳市期末）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，7+4． 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． （1）解决问题：的有理化因式是 　 ，分母有理化，得 　 　； （2）计算：； （3）化简：． 6．（2024春•江北区校级期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：3+2（1）2．善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若a+b（m+n）2，则有a+bm2+2n2+2mn． a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b， 则：a＝　　 ，b＝　 　； （2）若a+6（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）直接写出式子化简的结果． 7．（2025•天元区校级自主招生）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 材料二：根式化简 例1：； 例2： （1）猜想并证明：　　（n为正整数）． （2）计算：； （3）已知，，比较x和y的大小，并说明理由． 1．（2024春•长垣市校级期末）定义：对于任意实数a，b，有a*b＝a21，例如1*（﹣8）＝121＝0，则（﹣2*64）*1＝　 　． 2．（2024秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（）]＝　 ． 3．（2024秋•芗城区期中）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b，如4※3．那么5※6＝　 　． 4．（2024春•綦江区期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数例如，那么的运算结果是：　 　． 5．对于任意不相等的两个实数a、b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2，那么（7※5）×（﹣2※50）＝　 　． 6．观察，猜想，证明． 观察下列的等式 ①；②；③ （1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证； （2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程． 7．（2024秋•吉安县期末）阅读： ； ； ； … 感知： （1）　　，　 ． 归纳： （2）根据你的观察、猜想，写一个含n（n为正整数）的等式表示该规律，不用证明． 应用： （3）利用这一规律计算：．（写出计算过程） 8．（2024秋•岳阳期末）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则a＝　 ，b＝　 　． （2）的值为 　 　． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 9．（2024春•江阳区校级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2．善于思考的小明进行了以下探索； 设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）请你利用探索结论，找出一组正整数a、b、m、n，填空：　　+　　＝（ 　　+　　； （2）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （3）若a+8，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 10．（2024秋•长春校级期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是 　 　（写出一个即可）；的有理化因式是 　 　． （2）把下列式子分母有理化：． （3）化简：． 11．（2024秋•邗江区校级期末）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，.课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简： 　 ； （2）比较大小： 　 ；（用“＞”、“＝”或“＜”填空） （3）设有理数a、b满足：，则a+b＝ 　 　； （4）已知，求的值． 12．（2024春•中阳县期末）阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． （1）模仿材料中的计算方法，化简：　　． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子　 　． （3）利用根式裂项求解：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 二次根式新定义运算&规律探究题&阅读材料题 【题型一 二次根式的新定义运算】 1．（2024春•正阳县期中）若规定一种新运算为a★b（b﹣a），例如：3★5（5﹣3）＝2，则★　 　． 【分析】根据新定义运算法则列式，然后根据二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】解：原式（） 2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式乘法运算法则是解题关键． 2．（2024秋•山亭区期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：a※b，例如3※2．那么6※2＝　 　． 【分析】利用定义的新运算可得6※2，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 6※2 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 3．（2024春•双流区校级月考）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※，那么（）※　 　． 【分析】根据a※，用与的平方和的算术平方根除以它们的差，求出（）※的值即可． 【解答】解：∵a※， ∴（）※ ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“※”的运算方法． 4．（2023春•凤山县期中）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种算法a⊗b，例如：6⊗5，12⊗8＝　 　． 【分析】根据a⊗b，用12与8的差的算术平方根除以12与8的和，求出12⊗8的值即可． 【解答】解：∵a⊗b， ∴12⊗8． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“⊗”的运算方法． 5．（2024秋•禅城区校级期中）对于任意两个正数m、n，定义运算※为：m※n．计算（8※3）×（2※27）的结果为 　 ． 【分析】利用新定义的规定运算，转化成二次根式的运算，利用二次根式的性质解答即可． 【解答】解：（8※3）×（18※27） ＝（）×（） ＝（2）×（3） ＝2×2+63×3 ＝55， 故答案为：55． 【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 6．（2022秋•嘉定区期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 　 　． 【分析】根据满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式，列出式子，再分母有理化． 【解答】解：∵M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式“， ∴的“互为友好因式”：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分母有理化，掌握分母有理化的方法，理解题意是解题关键． 7．（2024秋•拱墅区校级期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数x满足m＜x＜m+1（其中m是整数），那么称（m，m+1）为无理数x的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称（1，2）为的“相邻区间”． 请解答下列问题： （1）求无理数的“相邻区间”． （2）已知的“相邻区间”是（m，m+1），且，求a的值． （3）已知y是正整数，若，求y的值． 【分析】（1）仿照示例，可得到（2，3）为的“相邻区间”； （2）由的相邻区间，得到1的相邻区间，得到m的值，从而得到a的结果； （3）由（2）知由的相邻区间，得到3的相邻区间，从而得到y的值． 【解答】解：（1）∵2232， ∴23， ∴（2，3）为的“相邻区间”； （2）∵1222， ∴12， ∴1+12+1， 即23， ∴（1）的“相邻区间”是（2，3）， ∴m＝2， ∵m+a＝1， ∴2+a＝1， ∴a＝﹣1； （3）由（2）知12， ∴3+13+2， ∴45， ∵4＜y5， ∴y＝3． 【点评】本题考查了新定义的应用，涉及到二次根式的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． 8．（2024春•拱墅区期末）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数．则称m与n是关于p的美好二次根式． （1）若m与是关于6的美好二次根式，求m的值； （2）若1与4m是关于n的美好二次根式，求m和n的值． 【分析】（1）利用二次根式的新定义运算解答即可求解； （2）利用二次根式的新定义运算解答即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，m•6， ∴m＝3； （2）由题意可得，（1）（4）＝n， 整理得，4m﹣43m＝n， ∵n是有理数，m是二次根式， ∴n＝4， ∴（）m＝4，解得m＝﹣2﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 9．（2024春•南昌期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． （1）请判断﹣5 和 是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． （2）若 与 是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义列方程解答即可． 【解答】解：（1）﹣5 和 是因子二次根式，理由如下： ∵（）×（）＝﹣500﹣3030198＝﹣302， ∴﹣5 和 是因子二次根式； （2）根据题意得， 即n， 解得n． 【点评】本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键． 10．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m，n（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”． 例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）． （1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 　 　和 　 　； （2）若数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值； （3）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值； （4）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值． 【分析】（1）根据题意将a＝25，b＝4代入m即可； （2）（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同说明相等，求出y即可； （3）将（x，2）的一对“对称数对”求出来，判断谁和数对（）相等，即可求x； （4）将数对（a，b）的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab． 【解答】解：（1）由题意知：m， ∴数对（25，4）的一对“对称数对”是（）和（2，）， 故答案为：（）；（2，）． （2）∵数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同， ∴， ∴， ∴． （3）∵数对（x，2）的一对“对称数对”是（）和（）， ∴， ∴， ∴x＝1． （4）∵数对（a，b）的一对“对称数对”是（）和（）， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键． 【题型二 二次根式的规律探究题】 1．观察下列各式及验证过程： 式①： 验证： 式②： 验证： （1）针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子； （2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证． 【分析】（1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案； （2）根据二次根式的性质，可得答案． 【解答】解：（1）4； （2）n， 验证：n． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，发现规律：n是解题关键． 2．（2024春•庐阳区校级期中）观察下列各式： （1）请你猜想 　 　，　 　． （2）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来，并证明其正确性． 【分析】（1）根据题中所给等式，得到规律即可得到答案； （2）根据题中所给等式，得到规律，利用分式运算及二次根式性质化简即可证明等式成立． 【解答】解：（1）由得到规律为， ∴，， 故答案为：，； （2）由得到规律为，其中自然数n≥1． 证明如下：∵ ∵自然数n≥1， ∴，即，其中自然数n≥1． 【点评】本题考查代数式规律问题，涉及二次根式性质，准确根据等式找到规律是解决问题的关键． 3．（2024秋•沈阳月考）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）第6个等式：　 　； （2）计算：； （3）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； （4）若符合上述规律，请直接写出代数式a+b的值． 【分析】（1）结合题目所给等式即可求得答案； （2）结合所给等式利用二次根式的乘法法则计算即可； （3）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可； （4）将原式变形后根据所得规律求得a，b的值，将其代入a+b中计算即可． 【解答】解：（1）由题干中所给等式可得第6个等式为：6， 故答案为：6； （2）原式＝1920 ＝19×20 ＝380； （3）第n个等式为：n，证明如下： • ＝n； （4）x， 即x， ∵x符合所得规律， ∴（a+1）2＝196，b﹣21＝14+1＝15， 解得：a＝13或﹣15，b＝17， 那么a+b＝13+17＝30或a+b＝﹣15+17＝2， 即a+b的值为2或30． 【点评】本题考查实数的运算，分式的运算及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 4．（2024春•宁国市期中）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用n含的等式表示，n为正整数），并证明其正确性． 【分析】（1）根据前几个式子的规律直接解答即可； （2）根据前几个式子的规律即可写出第n个等式． 【解答】解：（1）根据前几个式子的规律可知， 第6个等式为（1）（7）＝61， 故答案为：（1）（7）＝61； （2）（1）（n+1）＝n1， 证明：∵（1）（n+1） ＝nn+n+1 ＝n1， ∴（1）（n+1）＝n1， 故答案为：（1）（n+1）＝n1． 【点评】本题主要考查数字的变化类，明确题意，发现数字的变化规律是解答此题的关键． 5．通过计算知道：，，，4，5…． （1）计算　 　，　 　； （2）通过观察并归纳，请写出　 　； （3）利用（2）中结论计算． 【分析】（1）根据所给等式发现，从1开始连续奇数的和是一个完全平方数，据此可解决问题． （2）根据（1）中的发现即可解决问题． （3）将根号内的每一个加数写成2n（n为正整数）的形式即可解决问题． 【解答】解：（1）观察题中所给等式发现， 从1开始的连续奇数的和是一个完全平方数， 且和的算术平方根等于连续相加的奇数的个数， 所以6， 7． 故答案为：6，7． （2）由（1）中发现的规律可知， n． 故答案为：n． （3）原式 由（2）中的结论可知， 2n﹣1＝53， 解得n＝27， 所以27． 故． 【点评】本题考查连续奇数和的运算规律，能根据所给等式发现1+3+5+…+2n﹣1＝n2（n为正整数）是解题的关键． 6．（2024秋•蒲县月考）先阅读材料，再回答问题： ； ； ； ； … （1）请根据以上规律写出第七个等式； （2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式； （3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1） 【分析】（1）由题意知，； （2）由1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，可求当一个等式的最右边的值是55的等式； （3）由题意可推导一般性规律为： 第n个等式为，然后作答即可． 【解答】解：（1）∵， ， ， ， ……， ∴第七个等式为； （2）∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55， ∴当一个等式的最右边的值是55，这个等式为：； （3）由题意可推导一般性规律为：第n个等式为：， ∴第n个等式为． 【点评】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 7．（2024春•大观区校级期中）设． （1）S4＝　 　； （2），求　 　； （3）求的值．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 【分析】（1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可． 【解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：； （2）∵； ∴． 故答案为：； （3）结合（2）可得： ． 【点评】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． 8．（2024秋•南海区校级月考）阅读材料，回答问题： 观察下列各式 ； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 【分析】（1）根据题目所给的例题可知：可化为1，计算即可得出答案； （2）根据题意可知规律为，可化为1，计算即可得出答案； （3）根据题意可化为1+111•••+1，根据有理数加法计算即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可得：11； 故答案为：1，1； （2）根据题意可得：1（n为正整数）； 故答案为：1（n为正整数）； （3） ＝1+1111 ＝10 ＝9． 【点评】本题主要考查了数字的变化类规律型及二次根式的性质与化简，根据题意理解题目所给的规律应用二次根式的性质进行计算是解决本题的关键． 【题型三 二次根式的阅读材料题】 1．（2024秋•隆回县期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|．从而达到化去一层根号的目的．例如化简， ∵5＝3+2且6＝3×2， ∴． （1）填上适当的数：|　 　|＝　 　； （2）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【解答】解：（1） ， 故答案为：，，； （2）∵1≤x≤2， ∴， ， ， ， ＝2． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 2．（2024秋•芗城区校级期中）[阅读材料] 把分母中的根号去掉，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到去掉分母中根号的目的．如果两个不为0的根式A、B，它们的乘积A•B不含根式，则称A、B互为共轭根式． 例如：，这一化简过程叫分母有理化；其中与互为共轭根式． [理解应用] （1）化简： 　 　； （2）化简：； （3）已知实数x，y满足，求x2﹣2024的值． 【分析】（1）（2）根据题例和共轭根式的定义求解即可； （3）先利用共轭根式的定义得到x、y的关系，再求出x2，最后代入得结论． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式13 ＝3﹣1 ＝2； （3）∵实数x，y满足（x）（y）＝2008， ∴xy， yx． ∴x＝y． ∴（x）2＝2008． ∴x2＝2008． ∴x2﹣4＝2004． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． 3．（2024秋•常德期末）阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．用配方思想方法，解答下面问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：，，求3x2﹣2xy+3y2的值； （3）已知：，，（a≥0，b≥0），求a+2b的值． 【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解即可； （2）分别求出x，y，x+y，xy的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可； （3）将a+2b变形为，最后整体代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知； （2）， ， ， ， 原式＝3[（x+y）2﹣2xy]﹣2xy ＝3（x+y）2﹣8xy ＝3×122﹣8×1 ＝424； （3）∵，， ∴． 【点评】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，熟练掌握公式解答本题的关键． 4．像，，……，这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：1， 再如：． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若a+6（mn）2，且a、m、n为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据题目提供的方法将化成，进而得出即可； （2）将按照题目提供的方法化为，进而得出即可； （3）将a+6（mn）2转化为a+2（mn）2，进而得出（3）2＝（mn）2，或（1+3）2＝（mn）2，再得出m、n的值，再求出a的值即可． 【解答】解：（1） ； （2） 1； （3）∵a+6（mn）2， 若a+2a+2×3（3）2＝（mn）2， ∴m＝3，n＝1， ∴a＝32+（）2＝14； 若a+2×1（1+3）2＝（mn）2， ∴m＝1，n＝3， ∴a＝12+（3）2＝46； 综上所述，a＝14或a＝46． 答：a的值为14或46． 【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 5．（2024秋•祁阳市期末）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，7+4． 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． （1）解决问题：的有理化因式是 　 ，分母有理化，得 　 　； （2）计算：； （3）化简：． 【分析】（1）根据有理化因式和分母有理化求解； （2）先分母有理化，然后把各二次根式化为最简二次根式，最后合并即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）3的有理化因式为3； ； 故答案为：3，； （2）原式＝223＝2； （3）原式1••• ＝﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 6．（2024春•江北区校级期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：3+2（1）2．善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若a+b（m+n）2，则有a+bm2+2n2+2mn． a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b， 则：a＝　　 ，b＝　 　； （2）若a+6（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）直接写出式子化简的结果． 【分析】（1）将式子a+b（m+n）2展开，然后根据对应关系，即可含m、n的式子分别表示a、b； （2）根据a+6（m+n）2，且a、m、n均为正整数，可以求得m、n的值； （3）将式子化为完全平方公式，即可解答本题． 【解答】解：（1）∵a+b（m+n）2， ∴a+bm2+5n2+2mn， ∴a＝m2+5n2，b＝2mn， 故答案为：m2+5n2，2mn； （2）∵a+6（m+n）2， ∴a+6m2+7n2+2mn， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴或， ∴当m＝1，n＝3时，a＝12+7×32＝64， 当m＝3，n＝1时，a＝32+7×12＝16， 由上可得a的值为64或16； （3） ＝5+2． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答． 7．（2025•天元区校级自主招生）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 材料二：根式化简 例1：； 例2： （1）猜想并证明：　　（n为正整数）． （2）计算：； （3）已知，，比较x和y的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据例2，可以写出相应的猜想； （2）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （3）结合例1，例2的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）猜想：，验证如下： ， ， ， 故答案为：； （2）原式 ； （3） ， ∴， 故x＞y． 【点评】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 1．（2024春•长垣市校级期末）定义：对于任意实数a，b，有a*b＝a21，例如1*（﹣8）＝121＝0，则（﹣2*64）*1＝　 　． 【分析】把（﹣2*64）代入a*b＝a21求出其值为9，再把9*1代入a*b＝a21．求出其值即可． 【解答】解：∵﹣2*64＝（﹣2）21＝4+4+1＝9． ∴（﹣2*64）*1＝9*1＝921＝81+1+1＝83． 故答案为：83． 【点评】本题考查了一种新定义运算，正确理解新定义是解题的关键． 2．（2024秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（）]＝　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2★[（﹣2）★（）] ＝2★[（﹣2）﹣（）2] ＝2★[（﹣2）﹣3] ＝2★（﹣5） ＝22﹣（﹣5） ＝4+5 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 3．（2024秋•芗城区期中）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b，如4※3．那么5※6＝　 　． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： 原式． 故答案为：． 【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．（2024春•綦江区期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数例如，那么的运算结果是：　 　． 【分析】利用新运算的规定先算括号内的，再算括号外的即可． 【解答】解：原式•（） •4 ＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新运算的规定并熟练应用是解题的关键． 5．对于任意不相等的两个实数a、b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2，那么（7※5）×（﹣2※50）＝　 　． 【分析】利用新运算的规定，将式子转化后利用实数的运算法则解答即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 6．观察，猜想，证明． 观察下列的等式 ①；②；③ （1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证； （2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程． 【分析】（1）根据已知得出数字规律，进而验证得出即可； （2）根据已知得出数字规律，用n表示出即可，进而验证得出． 【解答】解：（1）猜想：， 验证：右边左边； （2）第n﹣1个等式：； 证明： 右边左边． 【点评】此题主要考查了数字变化规律以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 7．（2024秋•吉安县期末）阅读： ； ； ； … 感知： （1）　　，　 ． 归纳： （2）根据你的观察、猜想，写一个含n（n为正整数）的等式表示该规律，不用证明． 应用： （3）利用这一规律计算：．（写出计算过程） 【分析】（1）利用有理数的减法法则和算术平方根的意义解答即可； （2）利用解题中反映的数字变化的规律解答即可； （3）利用（2）中的结论和二次根式的性质，将原式转化为被开方数中的每个因数算术平方根的乘积，再利用分数的乘法法则化简即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：；； （2）． 理由：； （3）原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字变化的规律，通过计算观察得到式子变化的规律是解题的关键． 8．（2024秋•岳阳期末）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则a＝　 ，b＝　 　． （2）的值为 　 　． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 【分析】（1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案； （2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案； （3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第n个等式：，再证明即可． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ∴a＝15，b＝64， 故答案为：15，64； （2）由题意可得： ， 故答案为：； （3）第n个等式为：， 证明：左边 右边， ∴． 【点评】此题主要考查了二次根式，代数式的变化规律，解答本题的关键是首先要观察、分析、归纳总结出规律，然后根据总结出的规律来解决问题，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化． 9．（2024春•江阳区校级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2．善于思考的小明进行了以下探索； 设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）请你利用探索结论，找出一组正整数a、b、m、n，填空：　　+　　＝（ 　　+　　； （2）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （3）若a+8，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据题意，a＝m2+2n2，b＝2mn，找到一组正整数使a+b成立即可； （2）仿照示例，把（m+n）2展开，即可得到a＝m2+3n2，b＝2mn； （3）根据题意，得到mn＝4，结合a、b、m、n均为正整数，从而得到a的值． 【解答】解：（1）∵当m＝1，n＝2时，则a＝m2+2n2＝9，b＝2mn＝4， ∴9+4（1+2）2， ∴这一组正整数a＝9，b＝4，m＝1，n＝2， 故答案为：9，4，1，2（答案不唯一）； （2）∵a+b（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2，2mn； （3）∵a+8， ∴b＝8， ∴2mn＝8， 即mn＝4， ∵a、b、m、n均为正整数， ∴m＝1，n＝4时，a＝m2+3n2＝49， m＝2，n＝2时，a＝m2+3n2＝16， m＝4，n＝1时，a＝m2+3n2＝19， 综上，a为49或16或19． 【点评】本题考查了二次根式的计算，完全平方式的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键． 10．（2024秋•长春校级期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是 　 　（写出一个即可）；的有理化因式是 　 　． （2）把下列式子分母有理化：． （3）化简：． 【分析】（1）根据题意，可以写出相应的分母有理化因式； （2）根据平方差公式可以将分母有理化； （3）根据分母有理化的方法和式子的特点，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）由题意可得， 的有理化因式是，的有理化因式是a， 故答案为：，a； （2） ＝﹣2； （3） 1 ＝﹣1 ＝﹣1+4 ＝3． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（2024秋•邗江区校级期末）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，.课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简： 　 ； （2）比较大小： 　 ；（用“＞”、“＝”或“＜”填空） （3）设有理数a、b满足：，则a+b＝ 　 　； （4）已知，求的值． 【分析】（1）分母有理化计算即可； （2）利用倒数法比较大小； （3）根据a，b是有理数，构建方程组求解； （4）利用倒数法求解． 【解答】解：（1）原式． 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴； 故答案为：＜； （3）∵， ∴（1）a+（1）b＝﹣64， ∴（a+b）a+b＝﹣64， ∵a，b是有理数， ∴a+b＝﹣6，﹣a+b＝4． 故答案为：﹣6； （4）∵， ∴， ∴， ∴3． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．（2024春•中阳县期末）阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． （1）模仿材料中的计算方法，化简：　　． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子　 　． （3）利用根式裂项求解：． 【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； （2）根据题中材料进行总结，即可得出答案； （3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． （3）原式 ＝2022． 故答案为：2022． 【点评】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 学科网（北京）股份有限公司 $$