第12章 二次根式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第十二章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 2．下列说法错误的是（   ） A．与是同类二次根式 B．点到x轴的距离是3 C．的整数部分是3 D．点关于x轴对称的点是 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，点到直线的距离，无理数的估算，坐标变换，熟练掌握相关知识并能运用其对各结论进行准确判断是解答此题的关键．根据同类二次根式的定义可以判断A；根据点到直线的距离可以判断B；根据无理数的估算方法可以判断C；根据关于x轴对称的点的坐标特点可以判断D． 【详解】解：A．，则与是同类二次根式，故A正确，不符合题意； B．点到x轴的距离是2，故B错误，符合题意； C．∵，∴的整数部分是3，故C正确，不符合题意； D．点关于x轴对称的点是，故D正确，不符合题意． 故选：B． 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、，原式计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 4．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：C． 5．如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接按照程序规定的计算法则计算即可． 【详解】解：第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 故选B 6．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 8．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算和二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握其混合运算法则是解决此题的关键．先化简分式，然后再计算出，最后代入原式即可得解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：D ． 9．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法、算术平方根与立方根，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．先根据二次根式的除法法则可得，根据算术平方根可得，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，；…，每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0． ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个． ③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先逐步操作前几次，找到规律，再计算即可．本题考查二次根式的加减，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：第1次操作，得到二次根式串：，，； 第2次操作，得到二次根式串：，，，； 第3次操作，得到二次根式串：，，，，； 第4次操作，得到二次根式串：，，，，，； 第5次操作，得到二次根式串：，，，，，，； 第6次操作，得到二次根式串：，，，，，，，； 第7次操作，得到二次根式串：，，，，，，，，； ， ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和为：，故①正确； ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有：，，，，，，共6个，故②错误； ③归纳可得：以上二次根式串每六个一循环，之和为0， ， 第2024次操作后得到的整式中各项之和与第2次操作后得到整式串之和相等， 这个和为：，故③正确． ∴正确的个数为2个． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式的有意义的条件为分母不等于零、二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．涉及完全平方公式、二次根式的性质和合并同类二次根式，根据完全平方公式展开，再合并同类项或同类二次根式，即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：8． 13．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是找出，，解此类题型时，根据无理数的大致范围找出代数式的整数和小数部分是关键. 首先得出a，b的值，进而代入原式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， 故答案为： 14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代公式计算，熟练掌握代公式计算的方法、平方与开平方的计算方法是解题关键，其中认真细致的习惯和态度也是不可或缺的 ．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： = ， 故答案为：． 15． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行分母有理化，合并同类二次根式，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 17．我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 则：，， ∴； 故答案为：． 18．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，    ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，完全平方公式．熟练掌握二次根式的混合运算，完全平方公式是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘法、减法计算即可； （2）先计算乘法、除法，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．已知：，试求代数式的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，所求式子配方后，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 22．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 23．已知：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图（不需要写画法） (1)请你在图①中画一个面积为5的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； (2)如图②，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点E在数轴上（点E在点A的右侧），若点E表示的数为，则点A表示的数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画一个边长为的正方形即可； （2）判断出可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，正方形即为所求； ； （2）解：由题意， 设原点为O， ， ， 点A表示的数为． 故答案为：． 24．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 25．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 26．综合与实践： 无需语言的证明又称无字证明（proof without words，简称PWW），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．事实上，无字证明并非新概念，它拥有丰厚的历史，可追溯到古希腊与古代中国时期，如图1就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副“无字证明”图形，后人称它为“勾股弦图”．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出一个代数式之间的恒等关系，也是一个很重要的定理． 任务一：我会表达 赵爽“无字证明”的方法中体现了______的数学思想．由此图可以推导出你学过的______定理，该定理的内容是____________； 任务二：我会探索 课后，同学们积极探索其它的无字证明方法．某同学提出了一种证明方法：如图2，点B是正方形中边上一点，连接，得到，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学结合图2、图3图形的面积不变验证了此定理．请你写出该方法验证的过程． 任务三：我会应用 如图所示，在学校的墙上有一个监控摄像头，装在离地面的墙上，任何东西只要移到离该监控及内的位置，该监控就会自动进行记录．若小颖身高，则她刚好走到离墙几米的地方监控就会开始自动记录． 【答案】任务一：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；任务二：过程见解析；任务三：她走到离墙米的地方监控就会自动记录 【分析】本题考查四边形综合应用，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 任务一：观察赵爽“无字证明”的方法可得答案； 任务二：连接，证明为等腰直角三角形，根据可得，整理后可得； 任务三：构造图形，用勾股定理可得她走到离墙米的地方监控就会自动记录． 【详解】任务一：解：赵爽“无字证明”的方法中体现了数形结合的数学思想，由此图可以推导出勾股定理，该定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 故答案为：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 任务二：证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 任务三：解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 当时，摄像头刚好监控到， 在中，， ∴， ∴她走到离墙米的地方监控就会自动记录． 27．已知，在等边中，点为直线上一点，作点关于直线的对称点，连接，直线与交于点． (1)如图1，若点在线段上． ①的度数为______； ②求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，，，则_____．（用含，的式子表示） 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①证明，，求解，可得．再进一步结合三角形的内角和定理可得答案； ②如图，作交于点G，连接．证明是等边三角形，证明．可得，再进一步求解即可； （2）如图，作交于点G，连接，证明；是等边三角形，，同理可得：．证明，，过作于，作于，作于，设，可得①，，，②，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：①∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴； ②证明：如图，作交于点G，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，作交于点G，连接， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：． ∴， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∴，， 过作于，作于，作于， ∴，， ∴， 设， ∴①，，， 同理：， ∴②， ②①得：， 解得：； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，二次根式的运算，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 28．长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 【答案】的长为或． 【分析】如图，当在上，时，证明三点共线，， 求解，可得，当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当在上，时， ∵长方形，结合对折； ∴，，，，， ∴三点共线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在上时，，延长交于点， 同理可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A．与是同类二次根式 B．点到x轴的距离是3 C．的整数部分是3 D．点关于x轴对称的点是 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 5．如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（    ） A．1 B． C． D． 6．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 8．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，；…，每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0． ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个． ③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．当 时，分式有意义． 12．计算的结果是 ． 13．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 15． ． 16．如果，那么x的取值范围 ． 17．我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ． 18．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．计算： (1) (2) 20．定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 21．已知：，试求代数式的值． 22．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 23．已知：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图（不需要写画法） (1)请你在图①中画一个面积为5的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； (2)如图②，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点E在数轴上（点E在点A的右侧），若点E表示的数为，则点A表示的数为______． 24．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 25．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 26．综合与实践： 无需语言的证明又称无字证明（proof without words，简称PWW），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．事实上，无字证明并非新概念，它拥有丰厚的历史，可追溯到古希腊与古代中国时期，如图1就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副“无字证明”图形，后人称它为“勾股弦图”．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出一个代数式之间的恒等关系，也是一个很重要的定理． 任务一：我会表达 赵爽“无字证明”的方法中体现了______的数学思想．由此图可以推导出你学过的______定理，该定理的内容是____________； 任务二：我会探索 课后，同学们积极探索其它的无字证明方法．某同学提出了一种证明方法：如图2，点B是正方形中边上一点，连接，得到，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学结合图2、图3图形的面积不变验证了此定理．请你写出该方法验证的过程． 任务三：我会应用 如图所示，在学校的墙上有一个监控摄像头，装在离地面的墙上，任何东西只要移到离该监控及内的位置，该监控就会自动进行记录．若小颖身高，则她刚好走到离墙几米的地方监控就会开始自动记录． 27．已知，在等边中，点为直线上一点，作点关于直线的对称点，连接，直线与交于点． (1)如图1，若点在线段上． ①的度数为______； ②求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，，，则_____．（用含，的式子表示） 28．长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$