第12章 二次根式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第十二章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．设的整数部分为a，小数部分为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 8．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（    ）    A． B． C． D． 9．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 10．适合的正整数a的所有值的平方和为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算： ． 12．比较大小： （填“”、“”或“”）． 13．计算： ． 14．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 15．在中，，，，则 ．    16．如图，规定上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．若，则的值为 ． 17．已知：，则的值为 ． 18．若，都为整数，则的值是 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．（1）计算：； （2）解分式方程：． 20．已知的立方根为，b是的整数部分，求的平方根． 21．（1）计算： （2）当时，求的值． 22．已知，． (1)求的立方根； (2)求的值． 23．如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长． 24．（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 25．爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 26．【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 27．春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由． 28．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法．根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的特点，绝对值化简二次根式的性质，理解并掌握数轴的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得出，进一步得出，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴ ， 故选：D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式，即可得出结果． 【详解】解：； 故选B． 5．设的整数部分为a，小数部分为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式估值，代数式计算．根据题意可得，，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分为a，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：D． 6．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 7．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 【详解】解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 8．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可． 【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B， 令x=0，则y=，令y=0，则x=， 则A（，0），B（0，）， 则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°， ∴AB==2， 过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵∠CAD=∠OAB=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x， ∴AC==x， ∵旋转， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2CD=2x， ∴BD==x， 又BD=AB+AD=2+x， ∴2+x=x， 解得：x=+1， ∴AC=x=（+1）=， 故选A．    【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． 9．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：D． 10．适合的正整数a的所有值的平方和为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的非负性，先根据题意判断出的符号，求出正整数的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵ 解得， ∴正整数的值为1，2，3， ∴． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】 ． 故答案为：2． 12．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，先比较的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握二次根式的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方的逆运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．由同底数幂相乘、积的乘方的逆运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 15．在中，，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理．根据题意利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故答案为：． 16．如图，规定上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据新规定，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，, 得：， 解得：， 故答案为：． 17．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18．若，都为整数，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次根式，利用二次根式有意义的条件得出的取值范围且为整数，然后根据，都为整数，则可求出的整数值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且为整数， ∵，都为整数， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握二次根式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法与除法，再计算减法即可得； （2）方程两边同乘以可化成一元一次方程，解方程可得的值，再代入进行检验即可得． 【详解】解：（1） ． （2）， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以分式方程的解为． 20．已知的立方根为，b是的整数部分，求的平方根． 【答案】的平方根是 【分析】本题主要考查了无理数的估算，立方根和平方根以及二次根式的化简，求出a、b的值是解此题的关键．根据立方根的定义求出，根据估算无理数的大小，求出，再求出，最后根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：的立方根是， ， 解得，， ， ， 的整数部分是3，即， ， 的平方根是， 的平方根是． 21．（1）计算： （2）当时，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行括号内计算，再计算二次根式的除法即可； （2）将代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， . 22．已知，． (1)求的立方根； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2)123 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，求一个数的立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）代入后根据平方差公式计算化简即可； （2）代入根据平方差公式计算可得结果． 【详解】（1）解： ，， ． ． ∴的立方根是3； （2）． ，， 原式 ． 23．如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，二次根式的运算，解一元一次方程等知识点，正确应用直角三角形的性质是解题关键．利用直角三角形面积求法即可得出答案． 【详解】解：是斜边上的高， 为直角三角形，， ， ，解得：． 24．（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）2 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25．爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用整体代入的思想是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化即可求解； （2）将分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 26．【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 【答案】【发现结论】；【运用结论】1；【拓展提升】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再求出y值，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：发现结论：，则a的取值范围是； 运用结论：∵， ∴， 解得：， ， ∴； 拓展提升：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 27．春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)是，理由见详解 (3)或，理由见详解 【分析】本题考查了新定义，勾股定理； （1）由勾股定理得，由新定义即可求解； （2），，由新定义即可求解； （3）由新定义分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，即可求解； 理解新定义，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，在中，，， ， ， 等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”， 故答案为：是； （2）解：是； 理由如下： ， ， ， 该三角形是“巳巳如意三角形”； （3）解：是；理由如下： ①当时， ， 解得：，（舍去）， ； ②当时， ， 解得：，（舍去）， ； ③当时， ， 解得：，（舍去）， ； 故的值为或． 28．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$