7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． 学习目标 情景导入 事实上，早在古希腊时代，数学家在研究解方程问题时就遇到了负实数开平方的问题，但他们一直在回避。直到1545年，意大利数学家卡丹在用求根公式，因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果...... 对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决。 情景导入 解方程： 方法1： 用三次方程求根公式（卡丹公式） 解得： 方法2： 用因式分解 解得： 得到： 16世纪 数学家的困惑 情景导入 从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程x²+a=0（a>0）有没有解，进而可以归结为方程x²＋ 1=0有没有解. 我们知道，方程x²+1=0在实数集中无解。 你能给出一种方法，引入一种新数，适当扩充实数集，使这个方程有解吗? 数系的每一次扩充，都是基于两个方面的原因： 社会生产实践的需要和数学自身发展的需要 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 计数的需要 引入了 自然数 从社会生产实践的需要来看 自然数 负整数 整数 无理数 有理数 分数 实数 随着社会发展，数系在不断扩充． 新知讲解——数系的扩充 从数学自身发展的需要来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 新知讲解——数系的扩充 为了解决x²＋1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引人一个新数i，使得x=i是方程x²十1=0的解，即使得i²=-1. 历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 新知讲解——数系的扩充 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 如果没有运算，数只是孤立的符号！ 有理数集 实数集 引入了无理数 运算 运算律 + （—） × （ ÷） + （—） × （ ÷） 交换律 结合律 分配律 交换律 结合律 分配律 新知讲解——数系的扩充 概念生成 把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? （1）把实数b与i相乘，结果记作bi ; （2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi ; 所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 【思考】 新知讲解——复数的概念 (2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示. 实部 虚部 (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. i 叫虚数单位 -3 1 复数i－2的虚部是 . 材料阅读 1545年意大利有名的数学家卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”。 几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数。但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位。 1832年德国高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来． 1837年，英国数学家哈密顿用有序实数对（a,b）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律。 这样历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成. 阅读：复数系是怎么建立的？ 问题 ：两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 当两个复数都是实数时，可以比较大小， 当两个复数不全是实数时，只有相等或不相等的关系，不能比较大小. 追问： 如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ 复数相等 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 即：a + bi = c + di ⇔ a = c且b = d. 特别地 我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！ 新知讲解——复数的概念 典例分析—复数的概念 课本P70T1 例1. 说出下列复数的实部和虚部： 这些都叫复数， 有些是实数， 有些叫虚数，有些叫纯虚数 练习:把下列式子化为a+bi（a,b∈R）的形式，并分别指出它们的实部和虚部。 2-i= -2i= 5= 0= 典例分析—复数的概念 新知讲解——复数的分类 问题：复数z=a+bi (a,b∈R)什么时候是实数，什么时候是虚数、什么时候是纯虚数？ 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数 新知讲解——复数的概念 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 【思考】 复数集C 实数R 纯虚数 虚数 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 这样，复数z=a+bi (a, b∈R)可以分类如下： 典例分析—复数的分类 课本P70T2 虚数 纯虚数 实数 练习：指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 典例分析——复数的概念 例1、实数m取什么值时，复数 是下列数？ （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？ 解: （1） 当 ，即 时，复数z 是实数． （2）当 ，即 时，复数z 是虚数． （3）当 即 时，复数z是 纯虚数． 巩固练习——复数的概念 习题7.1 第2题 巩固练习——复数的概念 【解析】 【变式】实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数；(4) 是0？ (1)当m2－2m－15=0时，即m＝5或m＝－3时，复数 z 是实数； (2)当m2－2m－15≠0时，即m≠－3且m≠5时，复数 z 是虚数； (3)当m2－2m－15≠0且m2＋5m＋6=0时，即m=-2时，复数 z 是纯虚数； (4)当m2－2m－15=0且m2＋5m＋6=0时，即m=-3时，复数 z = 0. 典例分析——复数的概念 例2、 求满足下列条件的实数x, y的值. 巩固练习——复数的概念 (1) ； (2) . 解: （1）由题意得 解得 （2）由题意得 解得 或 练习：求满足下列条件的实数x, y的值. 课堂总结 1. 虚数单位i的引入，数系的扩充； 2. 复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部、虚部、虚数单位 复数相等 复数的分类 课后作业 1、完成练习册 2、数系还能再扩充吗？ 3、作为一个新数集，如何定义复数的四则运算？ $$