大题07 导数（5大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题07 导数 函数与导数解答题，难度较大，一般与函数结合考察，研究函数的单调性与最值等问题，综合考察时属于难题，近两年高考第21题都考察到导数. 从近几年的命题情况来看，常涉及的背景函数有：指数函数、对数函数、分式函数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有：求切线方程，判断单调性，求单调区间、极值、最值、参数范围，零点问题，证明不等式问题，不等式恒成立问题等.常涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等. 解题时，无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题，一般需要先求出函数的导数，然后通过导数研究函数的单调性来求解，因此掌握导数与函数的单调性的关系尤为重要.求解过程中，注意内容书写的规范性和完整性. 题型一： 利用导数求函数单调性 （24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． (1)当时求的解析式； (2)当时，判断函数的单调性并说明理由． 利用导数求函数单调区间的思路：解不等式 f '（x）＞0或f '（x）＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解. 注意　 （1）求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；（2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. 求解含参函数的单调性的技巧 一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：（1）讨论f '（x）＝0是否有根；（2）讨论f '（x）＝0的根是否在定义域内；（3）讨论根的大小关系. 注意　 若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等. 已知函数的单调性求参数的解题技巧 （1）若可导函数f（x）在区间D上单调递增（或递减），则f '（x）≥0（或f '（x）≤0）对x∈D恒成立问题. 注意　 “＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验. （2）若可导函数f（x）在某一区间上存在单调区间，则f '（x）＞0（或f '（x）＜0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题. （3）若f（x）在区间D上不单调，则函数f '（x）在区间D上存在变号零点.也可先求出 f（x）在区间D上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解. （4） 若已知f（x）在区间I（含参数）上的单调性，则先求出f（x）的单调区间，然后令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围. 函数与导数问题的答题策略 1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时，要先确定函数的定义域，求单调区间必须在定义域内进行. 2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则，正确求导是解题的关键.注意对复合函数求导法则的运用. 3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点，需明晰分类的标准，要做到合理分类，不重不漏. 4.会构造函数.正确构造函数，利用导数判断新构造函数的单调性，利用函数的性质求解. 5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题，会分离参数或用分析法转化，简化后求解. 1.（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，其中为常数. 若函数在上单调递增，求实数的取值范围； 2．（24-25高三上·上海·期中）给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)判断是否存在“正弦单调区间”，并说明理由. 题型二：利用导数求函数极值与最值 1.已知函数，其中为常数. (1)若，求函数的极值； （2)若，求函数在上的极值点的个数. 2．（24-25高三上·上海·期中）给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (2)若，证明：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，当变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合． 函数极值与最值的区别与联系 极值 最值 区别 （1）极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得；（2）在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有. （1）最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；（2）最值（最大值或最小值）最多有一个. 联系 （1）极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值； （2）在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f（x）若有唯一的极值，则这个极值就是最值. 求可导函数f（x）的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数f '（x）； （2）求方程f '（x）＝0的根； （3）判断f '（x）在方程f '（x）＝0的根附近的左右两侧的符号； （4）求出极值. 求函数f（x）在[a，b]上的最值的方法 （1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（递减），则f（a）为最小（大）值，f（b）为最大（小）值； （2）若函数f（x）在区间（a，b）内有极值，则要先求出函数在（a，b）内的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； （3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 列式 根据极值以及极值点处导数为0列方程（组），利用待定系数法求解. 验证 因为f '（x0）＝0不是x0为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意　 若函数y＝f（x）在区间（a，b）上存在极值点，则y＝f（x）在（a，b）上不是单调函数，即函数y＝f '（x）在区间（a，b）内存在变号零点. 1．（23-24高三上·上海虹口·期中）函数， (1)求函数在点的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高三上·上海宝山·期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）. (1)当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 5．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． (1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； (2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； (3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 题型三：利用导数解决恒成立问题 1．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围. 2．（23-24高三上·上海·期中）已知，函数． (1)若k，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上是严格减函数，求实数k的最大值： (3)设，数列满足：，，且当时，若对一切正整数n成立，求实数m的取值范围． 利用导数研究恒（能）成立问题步骤： （1）利用不等式的性质，将参数分离出来，转化为f（x）＞a或f（x）＜a的形式； （2）通过研究函数的性质求出f（x）的最值； （3）得出参数a的取值范围. 技巧：（1）f（x）＞a恒成立⇔f（x）min＞a； f（x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a. （2）f（x）＞a有解⇔f（x）max＞a； f（x）＜a有解⇔f（x）min＜a. 1．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）已知函数 . (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； (2)设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围; (3)对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型四：利用导数证明不等式 （2023·上海·模拟预测）已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 1.证明不等式的技巧： （1）利用函数的单调性和最值直接证明. （2）证明不等式f（x）＞g（x）转化为证明f（x）－g（x）＞0，进而构造辅助函数 h（x）＝f（x）－g（x），通过研究函数h（x）的单调性，证明h（x）min＞0. （3）若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证不等式进行变形，构造两个函数，转化为两个函数的最值问题（或找到可以传递的中间量a），即将不等式转化为f（x）≥g（x）的形式，证明f（x）min≥g（x）max（或f（x）≥a≥g（x））即可. 2.利用放缩法证明不等式的思路 一是会放缩，即从所求证的不等式入手，利用分析法，进行转化，寻找可放大或缩小的条件； 二是会构造函数，即通过构造辅助函数，把所求证的不等式进行转化； 三是借用导数，即会利用导数的工具性，研究新构造函数的性质，进而求解. 3.常见放缩公式 （1）ex≥x＋1（当且仅当x＝0时取等号）； （2）ln（x＋1）≤x（x＞－1）（当且仅当x＝0时取等号）； （3）sin x≤x≤tan x（0≤x＜）（当且仅当x＝0时取等号）； （4）sin x≥x≥tan x（－＜x≤0）（当且仅当x＝0时取等号）. 1．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 3．（24-25高三上·上海·期中）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)①当时，恒成立，求正整数的最大值； ②证明： 题型五：利用导数解决零点问题 （24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 已知函数零点个数求参数的方法 （1）数形结合法：先根据函数的性质画出图象，再根据函数零点个数的要求数形结合求解； （2）分离参数法：由f（x）＝0分离出参数a，得a＝φ（x），利用导数求函数y＝φ（x）的单调性、极值和最值，根据直线y＝a与y＝φ（x）的图象的交点个数得参数a的取值范围； （3）分类讨论法：先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的范围. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 2．（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）已知函数，为的导数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：在区间存在唯一零点； (3)若时，，求a的取值范围． 3．（2023·上海虹口·三模）已知函数（､）． (1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程； (2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围； (3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围． 4．（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 1．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”. 2．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 3．（2024·上海长宁·一模）双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 4．（2024·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 5．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 6．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 7．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 8．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. (1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)设函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 9．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 10．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 11．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 1.(2024年上海高考21）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 2.(2023年上海高考21）令,取点过其曲线做切线交轴于,取点过其做切线交轴于,若则停止,以此类推,得到数列. (1)若正整数,证明; (2)若正整数,试比较与大小; (3)若正整数,是否存在使得依次成等差数列?若存在,求出的所有取值,若不存在,试说明理由. 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题07 导数 函数与导数解答题，难度较大，一般与函数结合考察，研究函数的单调性与最值等问题，综合考察时属于难题，近两年高考第21题都考察到导数. 从近几年的命题情况来看，常涉及的背景函数有：指数函数、对数函数、分式函数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有：求切线方程，判断单调性，求单调区间、极值、最值、参数范围，零点问题，证明不等式问题，不等式恒成立问题等.常涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等. 解题时，无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题，一般需要先求出函数的导数，然后通过导数研究函数的单调性来求解，因此掌握导数与函数的单调性的关系尤为重要.求解过程中，注意内容书写的规范性和完整性. 题型一： 利用导数求函数单调性 （24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． (1)当时求的解析式； (2)当时，判断函数的单调性并说明理由． 【答案】(1)； (2)递减区间为，递增区间为. 【解析】（1）函数，求导得，则，而， 则函数的图象在处的切线方程为：，即， 所以的解析式为. （2）由（1）知，，而， 曲线在点处的切线方程为， 则 ， 求导得 ， 令，求导得 ，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故 当时，，则，即恒成立， 函数在上单调递增，而， 则当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 利用导数求函数单调区间的思路：解不等式 f '（x）＞0或f '（x）＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解. 注意　 （1）求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；（2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. 求解含参函数的单调性的技巧 一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：（1）讨论f '（x）＝0是否有根；（2）讨论f '（x）＝0的根是否在定义域内；（3）讨论根的大小关系. 注意　 若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等. 已知函数的单调性求参数的解题技巧 （1）若可导函数f（x）在区间D上单调递增（或递减），则f '（x）≥0（或f '（x）≤0）对x∈D恒成立问题. 注意　 “＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验. （2）若可导函数f（x）在某一区间上存在单调区间，则f '（x）＞0（或f '（x）＜0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题. （3）若f（x）在区间D上不单调，则函数f '（x）在区间D上存在变号零点.也可先求出 f（x）在区间D上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解. （4） 若已知f（x）在区间I（含参数）上的单调性，则先求出f（x）的单调区间，然后令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围. 函数与导数问题的答题策略 1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时，要先确定函数的定义域，求单调区间必须在定义域内进行. 2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则，正确求导是解题的关键.注意对复合函数求导法则的运用. 3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点，需明晰分类的标准，要做到合理分类，不重不漏. 4.会构造函数.正确构造函数，利用导数判断新构造函数的单调性，利用函数的性质求解. 5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题，会分离参数或用分析法转化，简化后求解. 1.（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，其中为常数. 若函数在上单调递增，求实数的取值范围； 【答案】 【解析】定义域为且， ， 要使在上单调递增，则， 又时，， 只需在上恒成立， 即在上恒成立， 令，即， 则， 令，即， 解得， 当时，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， . 2．（24-25高三上·上海·期中）给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)判断是否存在“正弦单调区间”，并说明理由. 【答案】(1)不存在；理由见解析 【解析】当时，， 此时为偶函数，又在上递减，在上递增. 故不存在闭区间 ，使得在上严格单调， 即不存在“正弦单调区间”. 题型二：利用导数求函数极值与最值 1.已知函数，其中为常数. (1)若，求函数的极值； （2)若，求函数在上的极值点的个数. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)1个 【解析】（1）当时，，定义域为， ， 令，即， ，解得， 当时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. （2）当时，，， 由（2）知， 令， 则， 当时，， 当时，， 在单调递增，在上单调递减， ， 又，， 则在上有且仅有一个零点，设该零点为， 则当时，，即， 当时，，即， 则在上单调递增，在上单调递减， 则为的极大值点， 故函数在上有一个极值点. 2．（24-25高三上·上海·期中）给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (2)若，证明：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，当变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合． 【答案】(2)证明见解析 (3)； 【解析】（2）当时，， 则，其中， 要使存在“正弦单调区间”， 则包含原点在内的单调区间应为严格递增区间. 又. ①当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； ②当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 综上所述，的“正弦单调值”为定值. （3）当时，， ，其中. ①当时，，此时为偶函数， 则在包含的任意区间上，不可能是严格单调函数， 即不存在“正弦单调区间”； ②当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上严格单调递增，即， 当时，， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 当时，， 当时，则， 由零点存在性定理可知，存在，使； 当时，， 则由零点存在性定理可知，存在，使. 当时，. 令，得， 其中. 如图，在同一直角坐标系中分别作函数的图象， 由图可知为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点， 又由，得， 则， 令，故有，则. 由图可知， 当时，，此时. 故当时，，， 则， 在上单调递增； 当时，； 当时，，， 则，在上单调递增； 故可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. 当时，同理可得如下结论（如图）： 为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点. 且由，得，， 同理可知， 且可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. ③当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上单调递减，即， 各类情况与时同理可得. 综上所述，当变化时，的“正弦单调值”的最大值为， 故的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合为． 函数极值与最值的区别与联系 极值 最值 区别 （1）极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得；（2）在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有. （1）最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；（2）最值（最大值或最小值）最多有一个. 联系 （1）极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值； （2）在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f（x）若有唯一的极值，则这个极值就是最值. 求可导函数f（x）的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数f '（x）； （2）求方程f '（x）＝0的根； （3）判断f '（x）在方程f '（x）＝0的根附近的左右两侧的符号； （4）求出极值. 求函数f（x）在[a，b]上的最值的方法 （1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（递减），则f（a）为最小（大）值，f（b）为最大（小）值； （2）若函数f（x）在区间（a，b）内有极值，则要先求出函数在（a，b）内的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； （3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 列式 根据极值以及极值点处导数为0列方程（组），利用待定系数法求解. 验证 因为f '（x0）＝0不是x0为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意　 若函数y＝f（x）在区间（a，b）上存在极值点，则y＝f（x）在（a，b）上不是单调函数，即函数y＝f '（x）在区间（a，b）内存在变号零点. 1．（23-24高三上·上海虹口·期中）函数， (1)求函数在点的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)时无极值点；时有极小值点，无极大值点. 【解析】（1）由题设，则，而， 所以，切线方为，即. （2）由题设，则，且， 当时，恒成立，故在上递增，无极值； 当时，时，时， 则在上递减，在上递增； 此时有极小值点为，无极大值点. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 3．（23-24高三上·上海宝山·期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）. (1)当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在图甲中，连结交于点， 设， 在中，因为，所以， 则， 从而，即， 故所得柱体的底面积， 又所得柱体的高，所以， 所以当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米； （2）设，则， 则所得柱体的底面积. 又所得柱体的高， 所以，其中， 令，， 则由，解得，列表如下： x 增 极大值 减 所以当时，取得最大值，并且， 所以当分米时，折卷成的包装盒容积最大，最大值为立方分米. 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 5．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． (1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； (2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； (3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）不具有“性质”．理由是：，，； 具有“性质”．理由是：，． （2）法一：，则， 由可得对恒成立． 令，得 ①；令，得 ②． 得，因此，从而恒成立， 即有且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 法二：， 由，可得， 所以， 即， 所以，所以且，所以且且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． （3）令，因为具有“”性质 ， ， （为常数）， 法一： ① 若，是以为周期的周期函数； ②若，由， 当时，，这与矛盾，舍去； ③若，由， 当时，，这与矛盾，舍去． 综上，．，所以是周期函数． 法二： 当时，，所以是周期函数． 当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证）， 若存在，这． 这与矛盾． 若存在，这． 这与矛盾． 若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去． 综上，．，所以是周期函数． 题型三：利用导数解决恒成立问题 1．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可； （2）分、、三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解； （3）借助（2）中结论，化为，取，得到，两边求和化简即可求解. 【解析】（1）时， ， 则 ， 令 ，则 ， 则在上严格减，上严格增， 则，即在上严格增， 因此函数的增区间为； （2） ， 记 ，则 ， 令，解得； 若，则，即时， 在上严格增，，满足要求； 若，则，时， 则在上严格减，故当时，，不满足要求； 若，则，在上严格减， 则，不满足要求； 综上，a的取值范围是. 2．（23-24高三上·上海·期中）已知，函数． (1)若k，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上是严格减函数，求实数k的最大值： (3)设，数列满足：，，且当时，若对一切正整数n成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)实数k的最大值 (3) 【解析】（1）当k时，， ， ， ， 曲线在点处的切线方程,即 （2）若函数在区间上是严格减函数， 在区间恒成立， 由于在区间最大值为1，所以，即实数k的最大值 （3）当， ， （6）， 由时，, 可得， 易得， ， ， 当时，（理由如图所示） 所以, 所以, ， 所以， 由的导数为， 可得在上递增， 当，， 可得当时，， 所以， 所以数列单调递增，且有上界，故必有极限， 设极限为，则，， 解得， 可以知道，. 利用导数研究恒（能）成立问题步骤： （1）利用不等式的性质，将参数分离出来，转化为f（x）＞a或f（x）＜a的形式； （2）通过研究函数的性质求出f（x）的最值； （3）得出参数a的取值范围. 技巧：（1）f（x）＞a恒成立⇔f（x）min＞a； f（x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a. （2）f（x）＞a有解⇔f（x）max＞a； f（x）＜a有解⇔f（x）min＜a. 1．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区为，单调递减区间为 (2) (3). 【解析】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 的单调递增区为，单调递减区间为； （2）设公切线切于点，切于， 则有，即， 得，代入得. 解法一：构造函数，. 当递减，当递增， ，又当时，，当时，， 根据题意有两根，即，得； 解法二（同构）：令时，， 当时，，当时，， 故，且当时，当时，， 根据题意有两根， ，得. 所以实数的取值范围为. （3）对恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，则在上为增函数， 当时，，即，在上为增函数， 若，有，不合题意. 当时，由得（舍去）， 时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 的最小值为，由， 只有，才能满足恒成立，解得. 综上可知，若对恒成立，有. 2．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）已知函数 . (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； (2)设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围; (3)对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：因为，其中，则， 所以，，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为， 将原点的坐标代入切线方程可得，解得. （2）解：，则， 因为函数在区间上为减函数， 故对任意的，恒成立，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，，则，故. 故实数的取值范围是. （3）解：因为， 由题意可知，方程在上有两个不等的实根， 即方程在上有两个不等的实根， 则，可得， 由可得， 又因为 ， 所以，， 令，令，其中，， 所以，函数在上为减函数， 故当时，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 题型四：利用导数证明不等式 （2023·上海·模拟预测）已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【解析】（1），故曲线过原点. （2）当时，，故等价于. 考虑.则. 令 当时，所以 在单调递增，， 所以，即， 所以， 而，且时，， 故，函数在上严格增. 因此当时，.特别地，.证毕. （3）首先证明对数平均不等式：当时，. 考虑函数，则，等号成立当且仅当. 故当时，. 因为，所以由得. 下证当时，对任意和一切使得的函数成立. 由题意，，故. 令，考虑函数. 则. 当且时，.由对数平均不等式，. 故， 从而函数在上严格增，得，即证. 综上，所求范围为. 1.证明不等式的技巧： （1）利用函数的单调性和最值直接证明. （2）证明不等式f（x）＞g（x）转化为证明f（x）－g（x）＞0，进而构造辅助函数 h（x）＝f（x）－g（x），通过研究函数h（x）的单调性，证明h（x）min＞0. （3）若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证不等式进行变形，构造两个函数，转化为两个函数的最值问题（或找到可以传递的中间量a），即将不等式转化为f（x）≥g（x）的形式，证明f（x）min≥g（x）max（或f（x）≥a≥g（x））即可. 2.利用放缩法证明不等式的思路 一是会放缩，即从所求证的不等式入手，利用分析法，进行转化，寻找可放大或缩小的条件； 二是会构造函数，即通过构造辅助函数，把所求证的不等式进行转化； 三是借用导数，即会利用导数的工具性，研究新构造函数的性质，进而求解. 3.常见放缩公式 （1）ex≥x＋1（当且仅当x＝0时取等号）； （2）ln（x＋1）≤x（x＞－1）（当且仅当x＝0时取等号）； （3）sin x≤x≤tan x（0≤x＜）（当且仅当x＝0时取等号）； （4）sin x≥x≥tan x（－＜x≤0）（当且仅当x＝0时取等号）. 1．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）证明：当时，函数， 所以， 所以，即， 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点； （2）因为， 所以， 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立， 又， 所以.所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数在的相依区间， 所以，则， 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，， 令， 则， 令， 则， 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证. 2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)，证明见解析 【解析】（1）因为，则，定义域为， 则，所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，则在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，可得， 即. 令，因为在上均单调递增，则单调递增. 由，可得，则，即. 令，则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 则，又，解得，故的取值范围为，则的最大值. 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当且时，，则. 取 ，所以， 所以，，， 所以. 所以， 所以， 即，得证. 3．（24-25高三上·上海·期中）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 【答案】(1)函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由见解析 (2)或或或. (3)证明见解析 【解析】（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； （2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即，显然不成立， 所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 又所求的为整数对，故或或或. （3）由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)①当时，恒成立，求正整数的最大值； ②证明： 【答案】(1)极小值为，没有极大值； (2)①正整数的最大值为，②证明见解析. 【解析】（1）函数的定义域为， 导函数，， 令，又， 所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 所以函数的极小值为，没有极大值； （2）①因为当时，恒成立， 所以当时，， 由（1）若时，则在上单调递减，在上单调递增， （a）当时，在上单调递增，满足题意； （b）当时，在上单调递减，在上单调递增， 令，则， 所以在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 则的解集为， 综上满足条件的正数的取值范围，其中， 所以正整数的最大值； （ii）证明：要证 两边取对数，即证 也即证 由①知， 令，则 所以 所以 所以． 题型五：利用导数解决零点问题 （24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析， 【解析】（1）时，，， ，，则曲线在点处的切线方程为： ； （2）证明：因函数经过点，则 .令，. 令；， 则在上递减，在上递增，则， 故由，可得. 则此时，，.令， 则在上递增， 注意到，结合在上递增， 则. 得在递减，在上递增，则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1； （3）证明：，其中. ，令， 则，则在上递增. 注意到，， 则，使，结合在上递增. 则. 得在递减，在上递增， 则的极小值为 令，则 得在上单调递减， 故. 注意到，， 则，使； 令，在上递增， 则， 即； 令，. ， 则在递增，在上递减， 则. 则， 又，. 则，使. 则可得大致图象如下， 图象则相当于对图象做翻折变换，可得大致图象如下. 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图可得时满足题意. 则对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到 则时满足题意 令， 则，则在上递减， 则，. 则的范围为： 已知函数零点个数求参数的方法 （1）数形结合法：先根据函数的性质画出图象，再根据函数零点个数的要求数形结合求解； （2）分离参数法：由f（x）＝0分离出参数a，得a＝φ（x），利用导数求函数y＝φ（x）的单调性、极值和最值，根据直线y＝a与y＝φ（x）的图象的交点个数得参数a的取值范围； （3）分类讨论法：先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的范围. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【解析】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知 ，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 2．（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）已知函数，为的导数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：在区间存在唯一零点； (3)若时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）， ，， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）令， 则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以函数在上没有零点， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以函数在上有且只有一个零点， 综上所述，函数在在区间存在唯一零点， 即在区间存在唯一零点； （3）若时，， 则， 又，所以， 由（2）知，在区间上只有一个零点，设为， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以当时，， 又当，时，，故， 所以a的取值范围为． 3．（2023·上海虹口·三模）已知函数（､）． (1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程； (2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围； (3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）当时，， 所以切线方程为，即为． （2）， 一方面，因为函数既存在极大值，又存在极小值， 则必有两个不等的实根，则， 由可得，且，解得且； 另一方面，当且时，不妨考虑的情形，列表如下： + 0 - 0 + 极大值 极小值 可知分别在取得极大值和极小值，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （3）由，可得，列表如下： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以在取得极大值； 在取得极小值， 由题意可得对任意的恒成立， 由于此时，则， 所以，则， 构造函数，其中， 则， 令，则． ①当，即时，在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； ②当，即时，设方程的两根分别为， 则，设， 则当时，，则在上是严格减， 所以当时，，即，不合题意． 综上所述，的取值范围是． 4．（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)答案见解析 【解析】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 1．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)证明见解析. 【解析】（1）由题设，将化简得，解得，故. （2）因为，代入定义得：， 构造函数， 故，令， 当时，存在，；所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间， 因此， 特别地，当时，，，，故仍是一段闭区间， 故. 当时，当且仅当时，. 同理，是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的，且. （3）假设，若，则，因此矛盾，故， 先证必要性： 因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此，因此必要性得证； 再证充分性： 引理：对任意，当满足时，， 已知，. 假设，设，任取，，则， 因为函数是严格增函数，所以，即， 所以，由此， 因此考虑构造，当，则， 而，函数是严格减函数，，故矛盾， 即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，， 联立上式可得. 而，，又因为是严格减函数， 则.由于，， 所以，故. 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，因此充分性得证. 2．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 3．（2024·上海长宁·一模）双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由，， 则，令，解得， 当时，，则双曲余弦函数在单调递增； 当时，，则双曲余弦函数在单调递减； 所以函数的单调增区间是． （2）. 令， 所以在上是严格增函数， 则当时，， 函数， 当时，严格增，，舍去， 当时，，解得. 综上所述，实数a的值为. （3）①证明， 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 故，得证. ②证明， 令， 令为偶函数. 令，且， 则当时，由①结论可知，， 则，即当时，， 由偶函数性质得，从而单调增，又， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 从而，即有． ③再证明：任意，当时，恒成立. 设，，其中， 当时，，成立； 当时，，在单调递增， 则，由②已证， 故， 即任意，当时，恒成立. ④再证明对任意的，都存在实数，使得. 令， 令为偶函数， 令， 则当时，， 所以单调递增， 由于，所以，且当， (由于是偶函数，由对称性以下只需要考虑时.) 所以存在，使得， 从而当时，，即，则在单调递减； 当时，，即，则在单调递增； 又时，， 所以存在，使得， 即有当时，，即，则在时单调递减； 当时，，即，则在时单调递增； 又时，， 所以存在，使得，当时，. 对任意的，都存在，使得，得证. 综上所述，实数m的取值范围为． 4．（2024·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为； （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 5．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）解：由题意，函数，且， 可得，则， 所以，又因为， 所以在处的切线方程为， 又因为函数在处的切线过原点，可得， 解得. （2）解：设函数， 可得，其中， 则， 令，可得，即，即，解得， 令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为，所以， 又由， 所以. （3）解：当时，即证， 由于，所以，只需证， 令，只需证明， 又由， 因为，可得，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也时最大值，所以， 即，即时，不等式恒成立. 6．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 7．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】(1)区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由见解析； (2) (3)证明见解析 【解析】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集， 所以区间不是函数的“美好区间” （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数 ， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间 满足性质②； 如果，取，则区间 满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 8．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. (1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)设函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 【答案】(1)不具有性质，具有性质 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）不具有性质，理由如下： 取，有. 具有性质，理由如下： 对任意，， 有. （2）函数定义域为， 又， 所以是奇函数， 函数具有性质，故对，， 都有， 又为奇函数， 故，即是严格增函数，恒成立. 若，则，解得； 若，则恒成立； 若，则，解得； 综合上述，实数的取值范围为. （3）因函数的定义域为， 要证明是奇函数， 只要证明对任意实数，即可. 对任意实数，设，则由具有性质知： 当时， ①， 设，当，即时，由①得， 即当时②， 当，即时，由①得， 即当时③， 于是由曲线的连续性，函数在上存在零点， 即 ④ ， 由函数在上严格增，知：函数在上严格增； 所以由②知，由③知，故； 故由④得， 即对任意实数，均有， 因此，函数是奇函数. 9．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 又，也符合上式，所以. （2）（i）先证：. 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：. 又，记，则 ， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕. （ii）由题意知，， 下面研究.将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：.， 记，则 ， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而.对于任意给定的正实数，令， 则取为大于且不小于的最小整数， 则当时，恒成立，因此，数列的极限为. （方法二）而对于任意，只需且时， 可得. 故存在，当时，恒有， 因而的极限. 10．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 【答案】(1)是，理由见解析； (2) (3)证明见解析； 【解析】（1）解：若与不为相关函数对，则且， 则，所以只要即可， 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； （2）因为与为相关函数对， 所以， 令，，当时，；当时，， 所以是极小值点，， 所以， 所以； （3）假设对任意均存在， 均有， 则取，，，使得， 对任意，，有，， 又函数与为相关函数对， 则①若，则； ②若，则， 由①②知：，由，将其分为很多个子区间， 如，，，…… 则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立， 故存在实数，使得对任意，均有． 11．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由，且， 得，即， 则， 即 ， 即 ， 则函数与“具有性质”. （2）由函数与“具有性质”， 得，，且， 即， 整理得， 则对恒成立， 又，， 则，，即， 则，即所求的的取值范围为. （3）由函数在有两个零点，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，                           即， 令，即， 记，即， 因为， 当时，；当时，， 所以函数在区间是减函数，在上是增函数. 要证，即证， 不妨设，即证， 只需证， 即证， 设，即， 因为， 所以函数在是减函数，且， 又，则， 即，则得证， 故 . 1.(2024年上海高考21）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【解析】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 2.(2023年上海高考21）令,取点过其曲线做切线交轴于,取点过其做切线交轴于,若则停止,以此类推,得到数列. (1)若正整数,证明; (2)若正整数,试比较与大小; (3)若正整数,是否存在使得依次成等差数列?若存在,求出的所有取值,若不存在,试说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2） ，当且仅当时等号成立；（3）存在正整数k=使得 依次成等差数列. 【解析】（1） ，在处的切线方程为，令x=0 得，即有. （2）由题意知， ，且 记g(x)=lnx-x+1, x>0.则，令，得x=1. 当0<x<1时， ，即g(x)在（0,1）上是严格增函数； 当x>1时， ，即g(x)在(1,+∞)上是严格减函数. 故，当且仅当时等号成立. （3） 当成等差数列时， 由（1）得 代入（）式并整理得， 记函数 x>0，考察其零点个数. 在(0,+∞)上是严格增函数. 又 （计算器）或 在(0,+∞)存在唯一零点， .满足的取值唯一.即时， 成等差数列. 假设k≥4,，则也成等差数列，同理可得，进而有，这与（2）中矛盾，故假设不成立，必有k≤3. 综上可得，存在正整数k=3，使得成等差数列. 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$