大题06 解析几何（4大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题06 解析几何 解析几何解答题，每年必考，难度中等偏上，在填空题中难度属于中等偏基础，2023年选择16题考察新定义，解答题则在第20道必考，难度较大，对学生的运算能力要求比较高. 这部分意在考查数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、函数与方程思想在解题中的灵活、综合运用，以及直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养. 从近几年的命题情况来看，命题角度主要有：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，定点、定值、定线、最值、范围、证明问题，存在性、探索性问题，解析几何与向量、三角、数列等的综合问题. 解析几何解答题一般第（1）问较为简单，第（2）问或第（3）问中伴有较为复杂的数学运算，对考生解决问题的能力要求较高. 具体解题时，要审清题意，看清已知条件，明确目标问题，准确运用有关基本知识、方法，避免因出现错误而失分. 题型一： 弦长与面积问题 （24-25高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． (1)若，求点A的坐标； (2)求的取值范围； (3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由椭圆方程可知：，则， 设直线，， 可得，解得， 则，解得， 则，即，所以. （2）因为， 可得， 则， 因为，则， 可得， 所以的取值范围为. （3）设， 由题意可知：， 则，且， 因为点均在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 则，即，可知， 又因为，则， 可得面积 ， 设，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以面积的最大值为. 首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理． 将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系． 涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和. 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）依题意，，解得， 则离心率； （2） 由（1）可知，椭圆C的方程为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易知此时 点到直线的距离为，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立， 消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线l的距离为， 则 解得或， 则直线l的方程为或. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； (3)存在，最小面积为8. 【解析】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. （3）    依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 3．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【解析】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 题型二：定点、定值、定直线问题 1．（23-24高三下·江西·开学考试）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、. 求证：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析. 【解析】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为， 联立可得，则，所以，即， 所以抛物线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 同理可知，直线也不与轴重合，易知点， 设、，设直线的方程为， 联立得，， 因此，. 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，则，同理可得. 所以. 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点. 2．（23-24高三上·上海·期中）已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． (1)求椭圆E的离心率； (2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； (3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【解析】（1）设椭圆方程，焦距为， 由题意知椭圆E的顶点、焦点分别为， 所以， 从而椭圆E的离心率为. （2）如图所示： 由题意，直线斜率存在， 所以不妨设直线的方程为，， 又双曲线渐近线斜率的绝对值为， 且过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点， 所以直线的斜率满足， 将直线与双曲线方程联立，消去得， 而， 所以， 从而的面积为， 因为，令，所以， 从而， 进一步令，则， 当且仅当，即时，. 综上所述：面积的最小值. （3）如图所示：    由题意双曲线的渐近线方程为即， 当时，由对称性得关于轴对称，关于轴对称，所以为的中点，故． 下面证明当时，即证为的中点. 因为点满足，则， 不妨设，当时，，此时点在直线的左上方，同理可证，点在两渐近线所夹区域的上方或下方，不妨设点在上方区域. 由题意， 设直线的方程为，直线的方程为， 由 即，所以， 所以满足， 同理满足， 所以直线的斜率： ， 设直线方程为, 由 得即， 得的横坐标，同理， 所以， 所以为的中点，故为定值1． 综上： 为定值1． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    求解直线或曲线过定点问题的基本思路 1.把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 2.由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）. 3.从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. 2.两大解法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. （2）引进变量法，其解题流程为： 定直线问题的思路：定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系. 1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知双曲线：的左、右焦点为、，直线与双曲线交于，两点. (1)已知过且垂直于，求； (2)已知直线的斜率为，且直线不过点，设直线、的斜率分别为、，求的值； (3)当直线过时，直线交轴于，直线交轴于.是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3 (2)0 (3)存在， 【解析】（1）因为，所以， 所以，当直线过点且时，此时轴，所以， 代入可得，所以； （2）设直线，因为直线不经过点，所以， 联立，得， 所以， 由韦达定理， 故. （3）如图所示，    若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点， 此时不构成三角形，矛盾，所以直线的斜率不为0，设： 由，得， 满足， 此时：， 故，同理， ， 而， 故由，得 而， 代入可得，解得或（舍）， 所有，经检验此时满足且， 故存在满足条件的直线，其方程为 法二：即， 由相似三角形可知， 所以（*）. 若斜率不存在，则均在右支，此时，矛盾，舍去； 所以设：， 联立，可得（**）， 需满足， 由韦达定理，，， 代入（*）得或者， 解得（舍）或者，所以， 经检验，此时满足且. 故方程为：. 2．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为． (1)若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为．若，求 (3)在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为1 【解析】（1）由题意得，又，且是正三角形， 所以， 所以，故双曲线的方程为． （2）直线的斜率为，，，，又， 设，则，在△中由正弦定理可得：， . 在△中由余弦定理可得：， 解得，∴，即. （3）存在最小值.不妨设，联立，消得， 由△，得， 联立，得，同理得， 所以， 即，所以 当且仅当时等号成立. 所以存在最小值，且最小值为1. 3．（2022·上海嘉定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点是线段的中点，求点的坐标； (3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)证明见解析 【解析】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，，因为是线段的中点，所以， 则得， 解得，， 所以所求点的坐标为或； （3）证明：由题意可设直线的方程为， 联立方程组，消去，并整理得 ， 设，，，， 由一元二次方程根与系数的关系，得， 又设，，，则得直线的方程为， 直线的方程为，两个方程相减得 ①， 因为， 把它代入①得， 所以， 因此直线与的交点在直线上． 题型三： 最值与取值范围问题 1．（24-25高三上·上海·期末）已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线过定点 (3) 【解析】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则， ，， 又结合图像可知 解得： ，， 因为，所以，，， . 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)为定值， (3) 【解析】（1），则， 则曲线C是以和为焦点，4为长轴的椭圆； 设椭圆方程为，则，，，曲线. （2）设 所以 则 化简得：，则， 又， 直线 则到直线的距离， 所以 为定值； （3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线； 当直线l的斜率不存在时：设， 代入E中有，则    当直线l斜率存在时：设，，， 代入E的方程：， 则，， ； 而l与椭圆C有公共点，代入得：， 由有，记，则， 综上，面积的最大值为. 圆锥曲线中最值（范围）问题的求解方法 几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 1.解决解析几何解答题重在“设”——设点，设线 2.应用设而不求法解题一般分成程序化的三步： 第一步，联立直线与曲线的方程，并将消元所得方程的判别式和根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的横（纵）坐标的和与积，来表示题目中涉及的数量关系； 第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中，在求解时，要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算. 3.解题时注意以下两种方法的应用 （1）几何法，若题目中的条件带有明显的几何特征，可利用曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法，把要求最值的几何量表示为关于某个参数的函数解析式，再利用函数的单调性、基本不等式求解. 1．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；或 (3) 【解析】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 2．（24-25高三上·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，该点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线、的斜率分别记为，. (1)若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程； (2)若，求证为定值并求出该定值； (3)在（2）的情况下，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)2.5 【解析】（1）椭圆的右焦点是，代入，可得， 圆的方程：. （2）因为直线，与圆相切，所以直线， 与圆联立， 可得， 由， 即， 同理， 由， 即， 可得是方程的两个不相等的实数根， ， 因为点在椭圆上，所以， 所以. （3）因为直线不落在坐标轴上，设，， 因为，所以，即， 因为在椭圆上，所以， 整理得，所以， 所以， 所以，所以的最大值为2.5. 题型四： 证明与存在性问题 1．（2024·上海·三模）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）点A横坐标为a，则， 因为，，所以点A处的切线斜率为a 所以切线的方程为， 切线与x轴的交点为， 因为，所以， 所以，所以， 当时，亦有； 结论得证. （2）证明：设，，由，得， 所以， 所以直线，直线， 由，得，即两直线的交点， 因为点，，三点共线， 所以，，得， 所以，所以 所以点P在直线上 （3）因为直线，直线， 所以，，由（2）可知， 设的外接圆方程为， 则， 解得，， 所以外接圆方程为 将代入方程，得 又，解得，， 所以点P坐标为 解法二:抛物线的焦点， 由（1）可知，同理可证得， 所以F，M，N，P四点共圆， 所以PF是的外接圆的直径， 因为P、M、N、T四点共圆，所以点在的外接圆上， 所以， 所以，即，得， 所以直线TP方程为，即 又点P在直线上， 则由，得， 所以点P坐标为 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【解析】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为； （3）设， 则， 因为直线的斜率为2，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得，代入， 解得：，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 有关证明问题的解题策略 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立关于某个变量的函数，用代数方法证明. 存在性问题的解题策略 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 1．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解析】（1）由，则，即离心率为； （2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. （3）由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则. 综上，. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线于两点. (1)若，求点到直线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若点，直线分别交双曲线于两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【解析】（1）由双曲线方程，可得， 当，的方程为：， 点到直线的距离为， 所以点到直线的距离为； （2）设直线方程为：，， 则， 所以， 即：，① 联立直线与双曲线方程，消去，可得： ，其中， 由韦达定理得：，将此代入①， 可得 解得：，所以， 所以直线的方程为：， （3） 设， 直线方程为：及直线方程为. 由，可得. ，. . 点， 由，可得. ，. . 所以. 又三点共线，. 代入上式得. 即：，所以存在实数使得：. 3．（22-23高三上·上海宝山·阶段练习）已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： (3)设直线l与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF为平行四边形，证明：直线l过定点，并求出这个定点的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，定点. 【解析】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点，准线. （2）设，则 当时，，而，此时时； 当时，，而，此时，即P为原点时； 所以. （3）设，直线l为， ，则，所以. 因为四边形是平行四边形，所以，则 所以， 代入得：，解得，即直线过定点. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解析】（1）由已知，得，解得，则椭圆的方程为； （2）依题意，可设点，且，    点关于原点的对称点为， 点在上，，作差得， 直线的斜率为，直线的斜率为， ，即为定值； （3）设弦的中点 ，点 重心 ,，    由，得， ，且， 的重心在轴上，， ， 则 ， 在上的投影向量相等，则，且， 则直线的方程为， ，得，又点在上， ，即 又，则直线的方程为 5．（24-25高三上·上海青浦·期中）已知椭圆的离心率为，点在上.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为，，点在上（异于椭圆的顶点），直线与轴相交于点，点，若的面积是面积的两倍，求点的坐标； (3)过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点. 【答案】(1) (2)或或或 (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，，设（，且）， 则，， 又，所以直线的方程为， 令，得，即， 又，所以， 由题知，， 则，即， 解得或（舍去）或或（舍去）， 又点在椭圆上，则， 所以当时，； 当时，， 所以点的坐标为或或或.      （3）证明：由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 1．（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； (3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由题意，，所以，， 因此，双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 联立得， 即， 该一元二次方程的判别式， 因此有两个不相等的实数根， 且两根之积为，因此两根一正一负， 即与双曲线的左右两支各有一个公共点. （3）设， 联立，得，得， 由可得. 联立得，得 且分别交于左右两支可得， 又，又、、、四个点在同一直线上， ， ，还可得， ， 即，化简后可得:， 代入后化简可得:，解得，由，得. 经检验，此时与两支分别有交点， 为唯一满足条件的实数. 2．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，，或，，成等差数列 【解析】（1）由题意知，，故， 又离心率，故，于是. （2）设点，其中，且， 则， 由，得， ，，，，，，只需， 又，故， 所以的取值范围是. （3），，或，，成等差数列，证明如下： 若，则，设点，. ①若直线斜率为0，则点，不妨令点，， 则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列. ②直线斜率不为0，设直线，，，则点， 由得，， 故，， 因为，，， 所以 ， 所以，，或，，成等差数列. 综合上述，，，或，，成等差数列. 3．（2024·上海金山·二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、． (1)证明：点到右焦点的距离为； (2)设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； (3)当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)直线与圆相切，证明见解析 【解析】（1）由，得； （2）根据题意画出图象，如图， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 由，得， 从而，， 又，， 由与平行，得，解得， 故直线的方程为； （3） 直线与圆相切，证明过程如下： 设直线的方程为， 联立 消去，得， 从而， 由，得，即， 又因为， 即， 化简，整理得， 即，从而， 又圆心到直线的距离， 故直线与圆相切． 4．（2023·上海青浦·二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点． (1)若点的横坐标为，用表示线段的长； (2)若，求点的坐标； (3)证明：直线与抛物线相切． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）设，且在抛物线上，故满足 为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ， 线段的长等于点到准线的距离，即． （2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立，化简得：， 直线与抛物线相切，，即 ①， 又直线均与抛物线相切， 为方程①的两根，且有， ，，解得， 将代入得：，故的坐标为． （3）设，，， ，直线， 联立，化简可得：， 又直线与抛物线相切，，即 ②， 同理，直线与抛物线相切，可得③， 由方程②③可得，为方程的两根， ，， 又，，故直线， 联立，化简得：， ， 直线与抛物线相切，故得证． 5．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. (1)若是的左焦点，且，求的值； (2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； (3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). （2）因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. （3）由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，.     因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程.     设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点.    若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此.     ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 6．（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上． (1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； (2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【解析】（1）因为点、、都是椭圆的顶点， 所以的面积为； （2）设，，因为直线的斜率为， 所以可设直线的方程为， 由，消去，整理得， ，即， ，， 设弦中点，则， ， 消去，得， 所以， 所以点的轨迹方程为，； （3）设，，，则， 因为直线的斜率为，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得， 代入，解得，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 7．（2024·上海黄浦·二模）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； (3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点， ，，求证：且存在常数使得 . 【答案】(1)与 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）设的方程分别为与， 由 ，得，故的坐标分别为， 所以故， 故与的方程分别为与. （2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意； 当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可知，故， 设点坐标为，可知且， 解得，故点的坐标为， （3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为， 则， 的方程为， 代入可得， 故， 所以， 同理可得，又，故， 故 ， 即，所以存在，使得. 8．（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 . （2）设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 1．(2024上海卷20）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有 ， 显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 2.（2023年上海卷20）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）． （1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值； （2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离； （3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) （0，2]． 【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1， 由于A到抛物线Γ准线的距离为3， 则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0）， 解得； （2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4）， 设B（b，0），则AB的中点为， 由题意可得，解得b＝﹣2， 所以B（﹣2，0）， 则， 由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0， 所以原点O到直线AB的距离为； （3）如图， 设，则， 故直线AP的方程为， 令x＝﹣3，可得，即， 则， 依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2， 又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立， 而a≠t，即当a＝2时，也符合题意． 故实数a的取值范围为（0，2]． 3．（2022年上海卷20）设有椭圆方程Γ：1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣40，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（，0）、F2（，0）． （1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b； （3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值． 【答案】(1)；(2)或；(3)． 【解答】解：（1）由题意可得， ， ∵AM的中点在x轴上， ∴M的纵坐标为， 代入得． （2）由直线方程可知， ①若，则，即， ∴， ∴． ②若，则， ∵，∴， ∴，∴tan∠BAM＝7． 即tan∠OAF2＝7，∴，∴， 综上或． （3）设P（acosθ，bsinθ）， 由点到直线距离公式可得， 很明显椭圆在直线的左下方，则， 即， ∵a2＝b2+2，∴， 据此可得，， 整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即， 从而． 即d的最小值为． 4．（2021年上海卷20）已知Γ：y2＝1，F1，F2是其左、右焦点，直线l过点P（m，0）（m），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上． （1）若B是上顶点，||＝||，求m的值； （2）若•，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程； （3）证明：对于任意m，使得∥的直线有且仅有一条． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【解答】解：（1）因为Γ的方程：y2＝1， 所以a2＝2，b2＝1， 所以c2＝a2﹣b2＝1， 所以F1（﹣1，0），F2（1，0）， 若B为Γ的上顶点，则B（0，1）， 所以|BF1|，|PF1|＝﹣1﹣m， 又|BF1|＝|PF1|， 所以m； （2）设点A（cosθ，sinθ）， 则， 因为A在线段BP上，横坐标小于0， 解得， 故， 设直线l的方程为， 由原点O到直线l的距离为， 则，化简可得3k2﹣10k+3＝0，解得k＝3或k， 故直线l的方程为或（舍去，无法满足m）， 所以直线l的方程为； （3）联立方程组，可得（1+2k2）x2﹣4k2mx+2k2m2﹣2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 因为∥， 所以（x2﹣1）y1＝（x1+1）y2，又y＝kx﹣km， 故化简为， 又， 两边同时平方可得，4k2﹣2k2m2+1＝0， 整理可得， 当m时，0， 因为点A，B在x轴上方， 所以k有且仅有一个解， 故对于任意m，使得∥的直线有且仅有一条． 5．（2020年上海卷20）已知双曲线Γ1：1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|xA|的部分． （1）若xA，求b的值； （2）当b，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2； （3）过点D（0，2）斜率为的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围． 【答案】解：（1）由xA，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得yA，b＝2； （2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点， 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4， 所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b，则c3， 所以|F1F2|＝6， 在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2 ， 由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos； （3）设直线l：yx，可得原点O到直线l的距离d， 所以直线l是圆的切线，设切点为M， 所以kOM，并设OM：yx与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2x2＝4+b2， 可得x＝b，y＝2，即M（b，2）， 注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当yA＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点， 由，可得yA2， 所以有4，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去）， 因为为在上的投影可得，•4+b2， 所以•4+b2＞6+2， 则•∈（6+2，+∞）． 6.（2019年上海卷20）已知椭圆1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点． （1）若直线l垂直于x轴，求|AB|； （2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标； （3）若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得SS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，），得|AB|＝2； （2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°）， ∴， 又A在椭圆上，满足，即， ∴，解得x1＝0，即A（0，2）． 直线AB：y＝﹣x+2， 联立，解得B（，）； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4）， 直线l：x＝my+2， 则， ． 联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0． 则，． 由直线AF1 的方程：，得M纵坐标； 由直线BF1 的方程：，得N的纵坐标． 若SS，即2|y1﹣y2|＝|y3﹣y4|， |y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|， ∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4， 代入根与系数的关系，得||＝4，解得m． ∴存在直线x或满足题意． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题06 解析几何 解析几何解答题，每年必考，难度中等偏上，在填空题中难度属于中等偏基础，2023年选择16题考察新定义，解答题则在第20道必考，难度较大，对学生的运算能力要求比较高. 这部分意在考查数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、函数与方程思想在解题中的灵活、综合运用，以及直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养. 从近几年的命题情况来看，命题角度主要有：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，定点、定值、定线、最值、范围、证明问题，存在性、探索性问题，解析几何与向量、三角、数列等的综合问题. 解析几何解答题一般第（1）问较为简单，第（2）问或第（3）问中伴有较为复杂的数学运算，对考生解决问题的能力要求较高. 具体解题时，要审清题意，看清已知条件，明确目标问题，准确运用有关基本知识、方法，避免因出现错误而失分. 题型一： 弦长与面积问题 （24-25高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． (1)若，求点A的坐标； (2)求的取值范围； (3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理． 将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系． 涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和. 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 3．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 题型二：定点、定值、定直线问题 1．（23-24高三下·江西·开学考试）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、. 求证：直线过定点； 2．（23-24高三上·上海·期中）已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． (1)求椭圆E的离心率； (2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； (3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 1.把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 2.由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）. 3.从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. 2.两大解法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. （2）引进变量法，其解题流程为： 定直线问题的思路：定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系. 1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知双曲线：的左、右焦点为、，直线与双曲线交于，两点. (1)已知过且垂直于，求； (2)已知直线的斜率为，且直线不过点，设直线、的斜率分别为、，求的值； (3)当直线过时，直线交轴于，直线交轴于.是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为． (1)若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为．若，求 (3)在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由. 3．（2022·上海嘉定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点是线段的中点，求点的坐标； (3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上． 题型三： 最值与取值范围问题 1．（24-25高三上·上海·期末）已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值. 圆锥曲线中最值（范围）问题的求解方法 几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 1.解决解析几何解答题重在“设”——设点，设线 2.应用设而不求法解题一般分成程序化的三步： 第一步，联立直线与曲线的方程，并将消元所得方程的判别式和根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的横（纵）坐标的和与积，来表示题目中涉及的数量关系； 第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中，在求解时，要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算. 3.解题时注意以下两种方法的应用 （1）几何法，若题目中的条件带有明显的几何特征，可利用曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法，把要求最值的几何量表示为关于某个参数的函数解析式，再利用函数的单调性、基本不等式求解. 1．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，该点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线、的斜率分别记为，. (1)若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程； (2)若，求证为定值并求出该定值； (3)在（2）的情况下，求的最大值. 题型四： 证明与存在性问题 1．（2024·上海·三模）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 3．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 有关证明问题的解题策略 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立关于某个变量的函数，用代数方法证明. 存在性问题的解题策略 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 1．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线于两点. (1)若，求点到直线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若点，直线分别交双曲线于两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．（22-23高三上·上海宝山·阶段练习）已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： (3)设直线l与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF为平行四边形，证明：直线l过定点，并求出这个定点的坐标. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 5．（24-25高三上·上海青浦·期中）已知椭圆的离心率为，点在上.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为，，点在上（异于椭圆的顶点），直线与轴相交于点，点，若的面积是面积的两倍，求点的坐标； (3)过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点. 1．（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； (3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 3．（2024·上海金山·二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、． (1)证明：点到右焦点的距离为； (2)设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； (3)当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 4．（2023·上海青浦·二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点． (1)若点的横坐标为，用表示线段的长； (2)若，求点的坐标； (3)证明：直线与抛物线相切． 5．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. (1)若是的左焦点，且，求的值； (2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； (3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 6．（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上． (1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； (2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 7．（2024·上海黄浦·二模）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； (3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点， ，，求证：且存在常数使得 . 8．（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 1．(2024上海卷20）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 2.（2023年上海卷20）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）． （1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值； （2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离； （3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围． 3．（2022年上海卷20）设有椭圆方程Γ：1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣40，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（，0）、F2（，0）． （1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b； （3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值． 4．（2021年上海卷20）已知Γ：y2＝1，F1，F2是其左、右焦点，直线l过点P（m，0）（m），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上． （1）若B是上顶点，||＝||，求m的值； （2）若•，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程； （3）证明：对于任意m，使得∥的直线有且仅有一条． 5．（2020年上海卷20）已知双曲线Γ1：1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|xA|的部分． （1）若xA，求b的值； （2）当b，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2； （3）过点D（0，2）斜率为的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围． 6.（2019年上海卷20）已知椭圆1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点． （1）若直线l垂直于x轴，求|AB|； （2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标； （3）若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得SS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$