大题05 概率统计（4大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题05 概率统计 教材改革之后考察占比加大到20%，客观题3道，解答题以应用题形式出现，多出现在第19题。 概率与统计解答题，每年必考，难度中等或中等偏上.该类问题以真实情境为载体，注重考查学生的应用意识、阅读理解能力以及数据分析、数学建模和数学运算素养，充分体现了概率与统计的工具性和综合性. 从近几年的命题情况看，命题热点有（1）概率问题，核心是概率计算及离散型随机变量的分布列与期望的求解，其中互斥、对立、相互独立事件的概率，条件概率，全概率是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具；（2）统计问题，核心是样本数据的获得及分析方法，重点是统计图表的应用，随机变量的分布列，样本的数字特征、一元线性回归模型及独立性检验；（3）概率与统计的综合，概率统计与其他知识（如函数、数列）的综合. 具体解题时，需要先过“审题关”，再过“公式关”，最后过“运用关”，否则，极易出现错误，导致“会而不对”. 题型一： 概率 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 100次 小 190次 10次 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小第一次投篮，请证明小获胜概率大； （ⅱ）若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由． 【答案】(1)不正确 (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）答案见解析，理由见解析； 【解析】（1）由题意小总出手200次，命中120次，命中率为：， 小总出手200次，命中136次，命中率为， 故小获校，所以小的想法不正确； （2）（ⅰ）证明：若第一次投篮人物为小，， 小获胜的概率为，小获胜的概率为， 则， 所以若小第一次投篮，小获胜概率大， （ⅱ）若第一次投篮人物为小，， 小获胜的概率为，小获胜的概率为， 则 ， 其中 由指数函数的单调性可知：随着的增大而增大， 计算可得：， 所以当也就是时，， 当也就是时，， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大. 2．（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表: （单位:个） 产品 产品 产品 普通装      180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 款产品有30 个. (1)求 的值； (2)用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率; (3)对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差 （精确到 0.01 ）. 【答案】(1)100； (2)； (3). 【解析】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. （2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取 2 个产品，至少有1个精品装产品的概率为 （3）由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 3．（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【答案】(1)1600 (2) (3) 【解析】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： （3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 4．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 【答案】(1) (2)不合理,理由见解析 【解析】（1）设事件表示第一回合该中国队运动员赢球，事件表示第二回合该中国队运动员赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分， 由已知，， ， 则 ， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设运动员甲先发球，记事件表示第i回合该运动员甲赢球， 记事件表示运动员甲先得第一分， 则， 则， 所以，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理. 1.求随机事件的概率的思路 （1）计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数； （2）由频率公式求出频率，进而由频率估计概率. 2.求解古典概型问题的步骤 （1）求出样本空间Ω包含的样本点个数n； （2）求出事件A包含的样本点个数k； （3）代入公式P（A）＝求解，即为事件A的概率. 3.求复杂事件概率的方法 （1）直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解. （2）间接法：当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 4.判断事件是否相互独立的方法 （1）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. （2）利用“事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·P（B）”判断. 5.求条件概率的常用方法 定义法 先分别计算概率P（AB）和P（A），然后代入公式P（B｜A）＝. 样本 点法 先求事件A包含的样本点数n（A），再求事件AB包含的样本点数n（AB），得P（B｜A）＝. 缩样法 即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型的概率公式求解. 6.全概率公式的应用步骤 （1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）（i＝1，2，…，n）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率； （3）代入全概率公式求P（B）. 1．（2024·上海宝山·一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为            所以两颗骰子点数不同的概率为. （2）甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表： 所以.                另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则. 则； ； ； ； ； .               所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 . （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为 .          若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；     由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；               于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列. 因为， 所以甲最终获胜的总概率为. 2．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一. 为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数（结果均精确到0.1）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2)众数 ，平均数 (3) 【解析】（1）由频率分布直方图知：，可得. （2）根据频率分布直方图中矩形最高组的组中值即为众数可知，众数为， 平均数为. （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 3．（2024·上海嘉定·一模）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： (1)根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； (2)根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； (3)在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 【答案】(1)； (2)茎叶图见解析； (3)甲乙获胜的概率分别为，奖金分别为万元和万元. 【解析】（1）用表示甲队在第局获胜，则表示乙队第局获胜， 所以所求样本空间. （2）甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图，如图， （3）乙队获胜的事件为，则，， 因此甲队获胜的概率为， 由此分配10万元奖金，甲队分得（万元），乙队分得万元. 4．（24-25高三上·上海·期中）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数； (2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在的学生中抽取12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取2人作为组长，求至少有一名组长的竞赛成绩在内的概率. 【答案】(1)；平均数为 (2) 【解析】（1）由题意，， 平均数为 ； （2）与两个区间的频率之比为， 因此抽取的12人中，区间上有10人，区间上有2人， 任取2人的方法数为，其中至少有1人竞赛成绩在内的方法数是， 所以概率为． 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【解析】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 6．（2024·上海长宁·一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 【答案】(1)80 (2)①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析 【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得：， 又“青年人”占比为， 所以所抽取的“青年人”人数为人； （2）①先将10名参会者进行编号：1、2、、10，并将10个号码写在完全相同的纸片上， 放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人， ②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为， 所以10人中“中年人”共有5人， 2人均为“中年人”的概率， 2人中至少有1人为男性的概率， 2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率， 因为，所以事件A与事件B不独立. 题型二：随机变量的分布列 1．（2023·上海闵行·三模）某学校有两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晩餐） 甲 30天 20天 40天 10天 乙 20天 25天 15天 40天 为了吸引学生就餐，餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为，而餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张. 假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)记为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求的分布列和数学期望； (3)餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去餐厅就餐的概率为，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率为，若餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去餐厅就餐的概率是，求. 【答案】(1)0.3，0.4 (2)，分布列见解析 (3) 【解析】（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐”， 事件D为“乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐”， 因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的天数为40， 所以. （2）由题意知，可以取的值为：0，1，2 ，，， 故的分布为： . （3）设表示事件“去餐厅就餐获奖”， 表示事件“学生甲午餐去餐厅就餐”， 由题知，，，，， 则， 解得. 即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率. 2．（23-24高三上·上海虹口·期中）某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）． 【答案】(1)，事件不相互独立. (2)答案见解析 【解析】（1）由给定的数表知，，，， 而，， 故，因此事件不相互独立， 所以，事件不相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰都异色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 300 200 100 奖金额的期望（元）. 3．（24-25高三上·上海·期末）某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 350 250 600 女生 250 150 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X 表示随机抽取的3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：参考数据 其中 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)不能 (2)分布列见解析， 【解析】（1）零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关， 则， 依据的独立性检验，没有理由认为假设不成立， 即不能认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； （2）由题意，按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取的12名学生中，男生有7名，女生有5名， 则X的取值可能为：0，1，2，3，且服从超几何分布，， 则， ， 故X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望. 4．中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 【答案】(1)， . (2). 【解析】（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计. 则， ，. （2）由（1）知，则有，记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B， 由题意 ， 所以 . 答：参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为. 5．（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 【答案】(1)0.8186 (2)①分布列见解析，；②选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好，理由见解析 【分析】（1）先求出7个地方的人均得分，进而，利用原则和正态曲线的性质计算即可求解； （2）①可能的取值为元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②由①知，即可下结论. 【解析】（1）样本中各地的人均得分分别为 ， 所以7个地方的平均分为， 即，所以. ， ， 所以； （2）①：由题意，得出的话费可能的取值为元， 得50元的情况为低于平均值，概率为； 得100元的情况为有1次机会获得100或2次机会获得50元， 概率为； 得150元的情况为有1次机会获得100和1次机会获得50元， 概率为； 得200元的情况为有2次机会都获得100元，概率为， 所以的分布列为： 50 100 150 200 故； ②：由①知， 所以小李应选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好. 离散型随机变量分布列的性质的应用 1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值及检验分布列是否正确； 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 （1）理解X的含义，写出X的全部可能取值； （2）求X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）. 二项分布问题的解题关键 1.定型 （1）在每一次试验中，事件发生的概率相同. （2）各次试验中的事件是相互独立的. （3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 2.定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 3.正态分布三个常用数据 P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 说明　在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 超几何分析的方法技巧 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的特征是：（1）考查对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布. 3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 解决正态分布问题的思路 1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个. 2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下： （1）P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5； （2）对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）； （3）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）； （4）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）. 1．（2023·上海闵行·二模）随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解、两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于旅游景点的问卷100份，关于旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下： 非常满意 满意 一般 差评 景点 50 30 5 15 景点 35 30 7 8 假设用频率估计概率，且游客对，两个旅游景点的满意度评价相互独立. (1)从所有（人数足够多）在旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多）在旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率； (2)根据上述数据，你若旅游，你会选择、哪个旅游景点?说明理由. 【答案】(1)； (2)选择景点，理由见解析. 【解析】（1） 设“这4人中恰有2人给出“非常满意”的评价”为事件，由表中数据可知，游客在景点给出“非常满意”评价的概率为， 游客在景点给出“非常满意”评价的概率为， 则. （2） 设一位游客对景点的满意度评分为，一位游客对景点的满意度评分为， 由数表中数据得的分布为： 1 2 3 4 的分布为： 1 2 3 4 则， ， ， ， 显然，所以选择景点. 2．（2023·上海浦东新·二模）为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题． (1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率； (2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由． 【答案】(1) (2)该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题；理由见解析 【解析】（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为， 将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”．则 ， （2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题， 设该代表队必答环节的得分为，， ，，， ，， 则的分布为： 此时得分期望 情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题， 设该代表队必答环节的得分为，, ，，， ，， 则的分布为： 此时得分期望 由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】(1)有关 (2) (3)，，， 【解析】（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. （2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得， 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ； （3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，. 又，所以，. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【解析】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 6．（2024·上海·三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数． (1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由； (2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望． 【答案】(1)不相互独立 (2)分布列见解析，期望为1. 【解析】（1）依题意，，， 显然， 所以、不是相互独立的. （2）两个点数奇偶性不同的概率为，两个点数奇偶性相同的概率也是， 记取出白球的个数为，则可能的取值为：0，1，2， ，， ， 所以的分布为： 0 1 2 期望. 7．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】(1)有关 (2)①，不独立，理由见解析；②977 【解析】（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． （2）①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件、不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 题型三：回归分析 某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该地被调查村的村户年平均收入； (2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01） (3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【答案】(1)（万元） (2) (3)采用分层抽样，理由见解析 【解析】（1）该地被调查村的村户年平均收入的估计值为（万元）； （2）样本的相关系数为 ； （3）采用分层抽样，理由如下： 由（2）知被调查村的村户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性， 由于各被调查村产业资金投入差异很大，因此被调查村的村户年平均收入差异也很大， 所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地更准确的验收估计． 判断两个变量相关性的3种方法 画散点图 若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关. 利用样本相关系数 r＞0时，正相关；r＜0时，负相关；｜r｜越接近于1，线性相关性越强. 利用经验回 归方程 ＞0时，正相关；＜0时，负相关. 回归模型问题的类型及解题方法 （1）求经验回归方程： ①利用数据，求出，； ②利用公式，求出回归系数； ③利用经验回归直线过样本点的中心（，），求 . （2）利用经验回归方程进行预测：直接将已知的自变量的某个数值代入经验回归方程求得特定要求下的预测值. （3）判断回归模型的拟合效果：利用残差平方和或决定系数R2判断，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好. 1．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【解析】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 2．（2024·上海·模拟预测）某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 (1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数.（精确到0.1，精确到1，精确到0.0001） (2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)列联表见解析，能认为 【分析】（1）利用最小二乘法求出，即可得出回归方程，再根据公式求出相关系数即可； （2）根据题意可将列联表补充完整，根公式求得，再对照临界值表即可得出结论. 【解析】（1）， ， 又由， 可得， 则， 所以变量关于的线性回归方程为， ， ； （2）设零假设为：是否报废与是否保养无关， 由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台， 补充列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于. 题型四：独立性检验 （24-25高三上·上海·开学考试）2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 (1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ (2)能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 【答案】(1)20，12； (2)有关. 【解析】（1）应在A组抽取，应在B组抽取； （2）由题意可得， 因此有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关. 独立性检验的一般步骤 （1）提出零假设H0； （2）判断显著性水平α，并根据样本数据制成2×2列联表； （3）根据公式＝计算； （4）比较与显著性水平对应临界值的大小关系，根据检验规则得出推断结论. （24-25高三上·上海·期中）2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元. (1)设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望； (2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率； (3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表. 年龄低于45岁 6 14 42 31 7 年龄不低于45岁 4 6 47 35 8 根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？ 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 合计 附：，，，与的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 【答案】(1)分布列见解析；元 (2)0.8192 (3)列联表见解析，居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联 【解析】（1）由题意可知：A和烧制成功率分别为0.8和0.9， 随机变量的可能取值为，则有： ， ， 所以随机变量的分布列为 10 70 110 0.02 0.08 0.18 0.72 随机变量的期望（元）. （2）设烧制4个A成功的件数为，则， 设烧制4个A所得的利润为，则， 令，解得， 所以. （3）根据题意完善列联表可得： 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 80 20 100 年龄不低于45岁 90 10 100 合计 30 170 200 零假设：居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄没有关联， 则， 依据显著性水平的独立性检验，可知零假设不成立， 所以居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联. 1．（2025·上海·模拟预测）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. (1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； (2)若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； (3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 【答案】(1)600个 (2) (3)个 【解析】（1）因为在这100个零件中，合格的零件为60个， 故质量合格的零件所占样本比例为. 而在这1000个零件中，质量合格的零件数为：(个). （2）由可得，， 又因为，， 因此可得：. 代入数据可得：. （3）用表示抽查的结果，若第个零件与第个零件被选中，则记； 若结果是其余情况，则记，. 由线性期望的性质可得： (个). 2．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【答案】(1)74.5；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，解得 所以平均数等于 （2）由题意，内有8人，内有2人， 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为. （3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人， 所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 3．（2025·上海·模拟预测）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． (1)求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【解析】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 4．（2024·上海宝山·二模）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 【答案】(1) (2)分布列见解析，3 (3)答案见解析 【解析】（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为； （2）由题意知的所有可能取值为，，，， 则， ， 随机变量的分布为， 0 2 4 6 期望； （3）设甲三次投篮的得分，则，，，， 可求得随机变量的分布为， 0 2 4 6 所以 ， 又可算得， 因为，， 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定. 5．（2024·上海徐汇·二模）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个） 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 服用 中草药甲 合计 (1)若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； (2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为中草药甲对预防此疾病有效果 (2)分布列见解析，期望为 【解析】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果. （2）记表示服用中草药乙后治疗有效，表示未服用过中草药甲，表示服用过中草药甲， 由题意可得，，且，， 则， 即中草药乙的治疗有效率，则， 所以， ， ， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以随机变量的数学期望. 6．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 【答案】(1)分布列见解析，39 (2)，98:27 【解析】（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为， ， ， ， ， ， 所以的分布为 ， 即的数学期望为39； （2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件， 则，， 由， 可得，所以， 所求比值. 估计60岁及以上人员的合格率约为，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27. 7．（2024·上海崇明·二模）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总　计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； (3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望． 附：，． 【答案】(1)有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2) (3) 【解析】（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关， 根据的列联表中的数据，可得，从而否定原假设， 所以有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）根据表格中的数据，可得： . （3）根题意，按分层抽样，得到不吸烟者人，吸烟者人， 这7人里再随机选取3人，可得随机变量的可能值为0，1，2，3， 则， ， 则随机变量的分布列为： 所以，随机变量的数学期望为. 8．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 【答案】(1)88.5 (2) (3)有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异 【解析】（1）根据题意，将这40个数据从小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78, 81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94 ，故取第30人和第31人时间的平均值为； （2）设选出的工人为优秀为事件A，第一种正产方式A 的基本事件数是2个， 第二种生产方式A的基本事件数是10个， 所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为. （3） 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 2 10 12 合格 18 10 28 总计 20 20 40 ， 故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异. 9．（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. (1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； (2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为， 则. （2）依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即， 则的分布为： 即， 则， 则所求的的期望. 10．（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 【答案】(1) (2) (3)先派出甲 【解析】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为， 由（2）可知，， 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为， 则， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 11．（2024·上海闵行·二模）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 【答案】(1)； (2)0.9； (3)小张答对题数的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81. 【解析】（1）设小张答对的题数为，则. （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知，，， 则， ； （3）设小张答对的题数为，则的可能取值是， 且，， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则，， ， . 1．（2024年上海卷19）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到． (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 【答案】(1)12500；(2)0.9h；(3)有 【解析】（1）580人中体育锻炼时长不少于1小时人数占比， 该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为； （2）该地区初中学生锻炼平均时长约为 ； （3）由题意可得列联表， 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 ①提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关， ②确定显著性水平，， ③， ④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 2．（2023年上海卷19）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）， 若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）． 取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）， 则P（B|A）． ∵P（A）P（B），∴P（A）P（B）≠P（AB）， 即事件A和事件B不独立． （2）由题意知X＝600，300，150， 则外观和内饰均为同色的概率P， 外观和内饰都异色的概率P， 仅外观或仅内饰同色的概率P＝1， ∵， ∴P（X＝150），P（X＝300），P（X＝600）， 则X的分布列为： X 150 300 600 P 则EX＝150300600277（元）． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题05 概率统计 教材改革之后考察占比加大到20%，客观题3道，解答题以应用题形式出现，多出现在第19题。 概率与统计解答题，每年必考，难度中等或中等偏上.该类问题以真实情境为载体，注重考查学生的应用意识、阅读理解能力以及数据分析、数学建模和数学运算素养，充分体现了概率与统计的工具性和综合性. 从近几年的命题情况看，命题热点有（1）概率问题，核心是概率计算及离散型随机变量的分布列与期望的求解，其中互斥、对立、相互独立事件的概率，条件概率，全概率是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具；（2）统计问题，核心是样本数据的获得及分析方法，重点是统计图表的应用，随机变量的分布列，样本的数字特征、一元线性回归模型及独立性检验；（3）概率与统计的综合，概率统计与其他知识（如函数、数列）的综合. 具体解题时，需要先过“审题关”，再过“公式关”，最后过“运用关”，否则，极易出现错误，导致“会而不对”. 题型一： 概率 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 100次 小 190次 10次 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小第一次投篮，请证明小获胜概率大； （ⅱ）若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由． 2．（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表: （单位:个） 产品 产品 产品 普通装      180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 款产品有30 个. (1)求 的值； (2)用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率; (3)对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差 （精确到 0.01 ）. 3．（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 4．（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 1.求随机事件的概率的思路 （1）计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数； （2）由频率公式求出频率，进而由频率估计概率. 2.求解古典概型问题的步骤 （1）求出样本空间Ω包含的样本点个数n； （2）求出事件A包含的样本点个数k； （3）代入公式P（A）＝求解，即为事件A的概率. 3.求复杂事件概率的方法 （1）直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解. （2）间接法：当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 4.判断事件是否相互独立的方法 （1）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. （2）利用“事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·P（B）”判断. 5.求条件概率的常用方法 定义法 先分别计算概率P（AB）和P（A），然后代入公式P（B｜A）＝. 样本 点法 先求事件A包含的样本点数n（A），再求事件AB包含的样本点数n（AB），得P（B｜A）＝. 缩样法 即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型的概率公式求解. 6.全概率公式的应用步骤 （1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）（i＝1，2，…，n）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率； （3）代入全概率公式求P（B）. 1．（2024·上海宝山·一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 2．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一. 为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数（结果均精确到0.1）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 3．（2024·上海嘉定·一模）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： (1)根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； (2)根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； (3)在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 4．（24-25高三上·上海·期中）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数； (2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在的学生中抽取12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取2人作为组长，求至少有一名组长的竞赛成绩在内的概率. 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 6．（2024·上海长宁·一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 题型二：随机变量的分布列 1．（2023·上海闵行·三模）某学校有两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晩餐） 甲 30天 20天 40天 10天 乙 20天 25天 15天 40天 为了吸引学生就餐，餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为，而餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张. 假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)记为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求的分布列和数学期望； (3)餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去餐厅就餐的概率为，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率为，若餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去餐厅就餐的概率是，求. 2．（23-24高三上·上海虹口·期中）某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）． 3．（24-25高三上·上海·期末）某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 350 250 600 女生 250 150 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X 表示随机抽取的3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：参考数据 其中 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 5．（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 离散型随机变量分布列的性质的应用 1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值及检验分布列是否正确； 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 （1）理解X的含义，写出X的全部可能取值； （2）求X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）. 二项分布问题的解题关键 1.定型 （1）在每一次试验中，事件发生的概率相同. （2）各次试验中的事件是相互独立的. （3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 2.定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 3.正态分布三个常用数据 P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 说明　在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 超几何分析的方法技巧 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的特征是：（1）考查对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布. 3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 解决正态分布问题的思路 1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个. 2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下： （1）P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5； （2）对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）； （3）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）； （4）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）. 1．（2023·上海闵行·二模）随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解、两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于旅游景点的问卷100份，关于旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下： 非常满意 满意 一般 差评 景点 50 30 5 15 景点 35 30 7 8 假设用频率估计概率，且游客对，两个旅游景点的满意度评价相互独立. (1)从所有（人数足够多）在旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多）在旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率； (2)根据上述数据，你若旅游，你会选择、哪个旅游景点?说明理由. 2．（2023·上海浦东新·二模）为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题． (1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率； (2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 6．（2024·上海·三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数． (1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由； (2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望． 7．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 题型三：回归分析 某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该地被调查村的村户年平均收入； (2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01） (3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 判断两个变量相关性的3种方法 画散点图 若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关. 利用样本相关系数 r＞0时，正相关；r＜0时，负相关；｜r｜越接近于1，线性相关性越强. 利用经验回 归方程 ＞0时，正相关；＜0时，负相关. 回归模型问题的类型及解题方法 （1）求经验回归方程： ①利用数据，求出，； ②利用公式，求出回归系数； ③利用经验回归直线过样本点的中心（，），求 . （2）利用经验回归方程进行预测：直接将已知的自变量的某个数值代入经验回归方程求得特定要求下的预测值. （3）判断回归模型的拟合效果：利用残差平方和或决定系数R2判断，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好. 1．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 2．（2024·上海·模拟预测）某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 (1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数.（精确到0.1，精确到1，精确到0.0001） (2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型四：独立性检验 （24-25高三上·上海·开学考试）2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 (1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ (2)能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 独立性检验的一般步骤 （1）提出零假设H0； （2）判断显著性水平α，并根据样本数据制成2×2列联表； （3）根据公式＝计算； （4）比较与显著性水平对应临界值的大小关系，根据检验规则得出推断结论. （24-25高三上·上海·期中）2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元. (1)设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望； (2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率； (3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表. 年龄低于45岁 6 14 42 31 7 年龄不低于45岁 4 6 47 35 8 根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？ 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 合计 附：，，，与的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 1．（2025·上海·模拟预测）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. (1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； (2)若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； (3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 2．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 3．（2025·上海·模拟预测）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． (1)求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 4．（2024·上海宝山·二模）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 5．（2024·上海徐汇·二模）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个） 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 服用 中草药甲 合计 (1)若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； (2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 6．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 7．（2024·上海崇明·二模）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总　计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； (3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望． 附：，． 8．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 9．（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. (1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； (2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 10．（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 11．（2024·上海闵行·二模）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 1．（2024年上海卷19）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到． (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 2．（2023年上海卷19）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$