大题04 数列（5大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题04 数列 数列也是高考的必考知识点，填空题考察时难度不大，一般考查等差数列、等比数列的基本量和简单的通项及求和等问题，教改之后难度略有降低，2023年高考出现在第21题压轴题与导数综合，2024年高考则出现在第18题（2）中，与函数一起考察. 题型一： 数列的通项公式 1．（24-25高三上·上海松江·期中）（1）已知等差数列的前项和为，求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，其中，求的通项公式. 【答案】（1），（2）， 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，即，解得， ，， . （2）当时，， 当时，， 所以，. 2．（1）已知数列满足（n为正整数），且．求数列的通项公式． （2）记为数列的前n项和．已知，．求的通项公式． （3）已知数列中，，．求数列的通项公式． （4）设数列满足，对于n为正整数，都有．求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）因为， 所以，所以 ． 又，所以当时也适合上式，所以； （2）因为时，， 所以，两式相减得到 ，化简整理得 ， 所以，当时，， 又当，， 又，解得， 所以，当时， ． 又当时，，满足， 当时，，不满足． 综上所述，； （3）因为，，故， 所以，整理得， 又，，， 所以为定值．故数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，得； （4）因为①， 所以②， ②①得．所以数列的奇数项 与偶数项分别是公差为2的等差数列， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，， 所以. 常见求解数列通项公式的方法有如下六种： （1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式． （2）累加法：形如的解析式． （3）累乘法：形如 （4）公式法：区分是等差数列还是等比数列，直接套公式； （5）取倒数法：形如的关系式 （6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式． 1．（2021·上海奉贤·一模）已知数列满足恒成立. （1）若且，当成等差数列时，求的值； （2）若且，当、时，求以及的通项公式； 【答案】（1） ；（2）， 【解析】（1）若且， 所以，即， 当成等差数列时，， 所以，解得： ； （2）， 令可得，即， 令可得，即 所以，因为，所以，解得， 由可得， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， ， ， ， 以上式子累乘得： ， 所以. 2．（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． 求的通项公式； 【答案】， 【解析】因为， 当时，有， 当时，有， 所以， 经检验，满足上式， 所以，； 3．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和． 证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】证明见解析，； 【解析】证明：， ， 又， 是以4为首项，公比为5的等比数列， ， ， ， ，，而满足上式， 所以． 4．（22-23高三上·上海黄浦·阶段练习）已知数列，，满足，，． 若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； 【答案】， 【解析】由题意可得，，因为，所以， 整理得，解得（舍），或 所以 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以 则， ， ， （）， 各式相加，可得， 当时，也符合该式，故. 题型二：数列的前n项和 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意，所以，当时，， 两式作差得， 所以，则数列为常数数列，且，所以； （2）由于， 所以，数列为首项为，公比为的等比数列，. 2．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则，① 当时，，则； 当时，，② 则①②得，， 则，则， 又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 所以，则. （2）， 则 ， 设， 则， 所以 ， 所以，则. 3．（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）因为， 当时，有， 当时，有， 所以， 经检验，满足上式， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 4．已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， (1)求数列的前项和； (2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则， 解得或，又数列为递增数列，所以， ，. （2）由（1）得，， 则， . 因为是单调递增，，又，所以有最小值. 5．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由题意可知，，即，即， 整理可得，因为， 所以，， 因此，. 所以，，， 则等比数列的公比为， 故. （2）由（1）可得， 所以， . 数列求和的几种常用方法 1.公式法 （1）直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和. （2）①12＋22＋32＋…＋n2＝，②13＋23＋33＋…＋n3＝[]2. 2.分组求和法 （1）利用分组转化法求和的常见类型 （2）思路：将数列转化为若干个可求和的新数列，从而求得原数列的前n项和.如an＝bn＋cn＋…＋hn，则ak＝bk＋ck＋…＋hk. 注意　 对含有参数的数列求和时要对参数进行讨论. 3.错位相减法 （1）适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列. （2）求解思路： Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn　①， qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1　②， ①－②得（1－q）Sn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn）－anbn＋1，进而利用公式法求和. 4.裂项相消法 （1）利用裂项相消法求和的基本步骤 （2）常见数列的裂项方法 数列（n为正整数） 裂项方法 {}（k为非零常数） ＝（－） {} ＝（－） {} ＝（－） {} ＝－ 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于同一常数”，可用倒序相加法求和.解题时先把数列的前n项和表示出来，再把数列求和的式子倒过来写，然后将两个式子相加，即可求出该数列的前n项和的2倍，最后求出该数列的前n项和. 1．（22-23高三上·上海静安·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列． 则：①， 当时，，解得：． 当时，②， ①②得：，整理得：， 所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列． 所以：． （2）由于：，所以，则， 所以①， ②， ①②得：， 解得：． 2．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知数列为等差数列，首项为1，的前项和记为，若对一切均满足．数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，由得：，所以，即， 又， 所以. （2）由，得. 所以，， 当时，； 当时，， ， 所以， 即. 3．（23-24高三下·上海·期中）已知数列满足： 且，. (1)证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值 ． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【解析】（1）因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即，所以； （2） ， 又，故， 即，所以， 解得. 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）设公差为，由，且，可得， 解得，所以，. （2）由（1）可得， 所以 ， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 5．（22-23高三上·上海嘉定·阶段练习）数列的前项和， (1)若为等差数列，求公差､首项､的值； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和. 【答案】(1)公差为，首先为， (2) 【解析】（1）由题意，，当时，， 当时，， 则，， 由，则，解得， 故等差数列，公差为，首项为，. （2）由（1）可知，，， ， . 题型三：数列中的存在性、最值问题 1．（24-25高三上·上海·期中）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在等差数列中，，设公差为， 由，，构成等比数列，可得， 即有，解得 因为当时，，不满足题意，舍去， 所以，. （2）由（1）得，则，递增， ， 由，， 可得时，正整数的最小值为． 2．（2022·上海·模拟预测）已知无穷数列满足，. （1）若； （i）求证：； （ii）数列的前项和为且，求证：； （2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由. 【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）证明见解析；（2）. 【解析】（1）（i）由可得， ①当时，∵，∴，∴， ②假设时，，则， ∴时，，， 由①②可知对一切正整数都有， ∴， ∴， ∴， ∴， 但当时，， ∴． （ii）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由（i）知，可得，即， ∴． （2）∵对任意的，都有， 且，∴显然，由（1）证明知， ①若，则，∴，∴； ②若，则为常数列，∴； ③若，则，∴， 又， 若，则，则， ∴， ∴当时，有， ∴当时，，不符合题意． 综上可知，. 3．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明是等差数列； (2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解析】（1）解：证明：因为数列的前n项和为， 所以当时，， 当时，， 所以，满足， 所以数列的通项公式为，， 所以，， 所以是等差数列； （2）解：因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 所以， 要使对一切正整数n都有成立． 即， 即， 所以，解得 . 故存在常数，当时，对一切正整数n都有成立. 4．（2018·上海静安·二模）已知数列中，.又数列满足：. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列是单调递增数列，求实数a的取值范围； （3）若数列的各项皆为正数，设是数列的前n和，问：是否存在整数a，使得数列是单调递减数列？若存在，求出整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,此时 【解析】(1), , , , 即, 又, 由,可知, 所以是以为首项,2为公比的等比数列; (2)由(1)知, 所以, 若是单调递增数列, 则对于,恒成立, 又 , 所以对于恒成立, 即对于恒成立, 由于单调递增,且, , 所以,又,则, 所以的取值范围为; (3)因为数列的各项皆为正数, 所以,则, , 若数列是单调递减数列,则,即 所以,即 又,所以, 即,即(), 故存在正整数,使得数列是单调递减数列. 求等差数列前n项和Sn的最值的方法 （1）通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，n可用不等式组来确定； ②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，n可用不等式组来确定. （2）二次函数法：由于Sn＝n2＋（a1－）n，故可用二次函数求最值的方法求Sn的最值，结合n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值. （3）不等式组法：一般情况下，Sn最大时，有（n≥2，n∈N*），解得n的范围，进而确定n的值和对应的Sn的值（即Sn的最值）. 1．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列前n项和，若，求正整数n的最小值． 【答案】(1)； (2)6. 【解析】（1）由题设， 所以，而， 所以. （2）由题设，则， 所以，显然在上递增， 时，， 时，， 所以成立，正整数n的最小值为6. 2．（23-24高三上·上海杨浦·开学考试）已知数列满足是正整数 (1)求数列的通项公式； (2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 时，． 两式相减得，， 又，，从而，所以等比数列，公比为， 所以，； （2）由（1）知，，，，，当时，， ，当时，，，即时，递减， 所以的最大值是， 对于任意正整数，都有，则，解得或， 所以的取值范围是． 3．（23-24高三上·上海静安·期中）等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为等差数列中，，， 设等差数列的首项和公差为， 所以，解得：， 故等差数列的通项公式为：. （2）， ，其中， 因为在上单调递增，所以， 又因为，所以， 因为存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立， 所以的最小值为. （3）因为，所以， 原不等式即，即， 由可得：，即， 令，令，所以， 所以， 当时，取得最小值为，即， 正数k的最大值为. 4．（2024·上海普陀·一模）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析，. 【解析】（1）已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； （2）假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； （3）令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 题型四：数列应用题 1．（2023·上海金山·一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. (1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ (2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 【答案】(1)936万元 (2)3000万元 【解析】（1）记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金， 则， 故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元. （2）， 由，得， 故运营成本最多控制在万元， 才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元. 2．（2023·上海闵行·模拟预测）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1: 表1 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 第n次 消费者每次的还价组成一个数列. (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式并求出； (2)若实际价格与定出的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润? 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据条件即可得到数列的通项公式，进而可直接计算； （2）根据价格比得关系，代入（1）中计算即可. 【解析】（1）， ， ， 观察可得， . （2）因为，所以， 故 故商家将有约的利润. 通过数学建模解决数学文化问题的步骤 读懂题意 会“脱去”题目中的背景，提取关键信息. 构造模型 由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型. “解模” 把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等. 1．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） (2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 【答案】(1)甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元 (2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析 【解析】（1）甲的基础工资收入总量 元 乙的基础工资收入总量 元 （2）， ，， 设，即，解得 所以当时，递增，当时，递减 又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．        2．（2022·上海杨浦·一模）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 【答案】(1)，； (2)20毫克 【解析】（1），； （2）依题意，， 所以，， 所以是等比数列，公比为， 所以，， ，， 数列是递增数列，且，所以， 即， 所以m的最大值是毫克． 3．（2022·上海崇明·一模）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米? (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于? 【答案】(1)2030； (2)2026﹒ 【解析】（1）设保障性租赁住房面积形成数列， 由题意可知，是等差数列，其中，， 则， 令≥475，即，而为正整数，解得， 故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米； （2）设新建住房面积形成数列， 由题意可知，是等比数列，其中，， 则， 由题意知，，则，满足上式不等式的最小正整数， 故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于． 题型五：数列与其它知识结合 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)1 (3)存在，3. 【解析】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号， 当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知（为实常数） (1)当时，求函数的最小值； (2)若对一切都成立，求的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列满足，证明：.（提示：当时，） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）当时，， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）由，得， 则即， 即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 当，即时取得最小值， 所以， 所以的取值范围为； （3）假设， 由（1）知， 故，所以， 故， 即，即①， 又由（1）知当时，， 所以，这与①矛盾， 所以，即， 同理可知， 所以. 1.数列与函数的综合问题的解题策略 （1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究. （2）已知数列条件，解决函数问题，一般要利用数列的有关公式对式子化简变形. 注意　 数列是自变量为正整数的特殊函数，要灵活运用函数的思想方法求解. 2.数列与不等式的综合问题的解题策略 （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者借助数列对应的函数的单调性求解. （2）对于与数列有关的不等式的证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，有时需构造函数，利用函数的单调性、最值来证明. 3.放缩技巧 （1）对（n∈N*）的放缩，根据不同的要求，大致有四种情况： ①＞＝－； ②＜＝－（n≥2）； ③＜＝（－）（n≥2）； ④＜＝2（－）. （2）对（n∈N*）的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况： ①＞＝－； ②＜＝－. 1．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知，. (1)求函数的单调区间； (2)若数列为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围； (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）因为，定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为，则， 可得 ， ， 对于不等式：，即， 整理得， 所以使得不等式：成立的正整数的取值范围. （3）因为，的定义域为， 且恒成立， 且，所以当时，， 由（1）可知数在单调递减，在单调递增， 因为，所以，，，， 又因为，则，所以， 又因为在单调递减，所以， 即，即， 所以，则，所以. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)具有，证明见解析 (3) 【解析】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 3．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，公比为 (3)存在 【解析】（1）由，得， 因为，则， 所以曲线在点的切线方程为， 令，则， 所以； （2）由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则， 设特征函数为，则， 情况1：当时，则， 此时，所以函数在定义域内为增函数， 令，解得，又因，故此时方程无解， 当时，，所以不能成周期数列； 当时，，所以不能成周期数列； 故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列； 情况2：当时，， 令，得或， 令，得或或， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以函数为奇函数， ，， 令，方程无解， 令，解得 当时，，， 所以数列是周期为的周期数列； 当时，，且与符号正负交替， 假设存在周期数列，则等价于存在，使得， 若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 若为奇数，中， 每一个括号内的式子都与是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 当时，， 可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列， 故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列， 此时， 综上所述，存在满足题意. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，. (1)若函数，求实数的取值范围; (2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； (3)求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由，即对一切恒成立，所以， 当时，在上单调递增，所以对任意，均有， 综上，实数的取值范围为：. （2）证明：由函数在上单调递减，即对一切，均有， 所以对一切，均有，可得:， 所以:，对一切， 对任意正实数，取，为表示为取整， 当时. （3）非必要性:取，在上不是增函数， 但，，，，， 充分性:假设对一切，均有， 所以， 由递推式， 因为为增函数，所以， 由可知:对一切均成立， 记可知，当时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在，使得. 1．（2023·上海普陀·二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题设，又且都不为1的正实数， 所以，而，故. （2）由，， 而数列前100项中有，其中属于数列有， 所以数列前100项是的前103项去掉三个元素， 则. 2．（2023·上海嘉定·三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上， 可得，即， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）解：不存在. 理由：由（1）得， 当时，可得， 又因为，所以， 反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增， 假设存在使得成等差数列， 可得，即， 两边同除以，可得 因为是偶数，是奇数，所以， 所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列. 3．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 3．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在， 【解析】（1）平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； 和角公式：， 故； 导数：，； （2）构造函数，， 由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． （3）当时，存在，使得， 由数学归纳法证明：，证明如下： ①当时，成立， ②假设当（为正整数）时，， 则成立. 综上：. 所以，有，即. 当时， ， 而函数的值域为， 则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比余弦二倍角公式，猜测. 证明如下： 类比时的数学归纳法，设， 易证，，，，， 所以若， 设，则，解得：或，即， 所以，于是. 综上：存在实数使得成立. 4．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 又，也符合上式，所以. （2）（i）先证：. 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：. 又，记，则 ， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕. （ii）由题意知，， 下面研究.将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：.， 记，则 ， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而.对于任意给定的正实数，令， 则取为大于且不小于的最小整数， 则当时，恒成立，因此，数列的极限为. （方法二）而对于任意，只需且时， 可得. 故存在，当时，恒有， 因而的极限. 5．（2024·上海宝山·二模）函数的表达式为. (1)若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； (2)函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为 ，证明：数列是严格减数列； (3)已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析. 【解析】（1）当时，，求导得，则， 所以直线的方程是. （2）由，得，则，令，得， ①当时，，此时函数没有零点； ②当时，由，知在上严格单调递增，在严格单调递减， 又在上严格单调递增，在严格单调递减， 因此时，在时有最小值，在时有最大值， 因为， 所以在上没有交点，即在上没有零点； 于是函数的零点满足， 因为在严格减，所以， 又因为，所以数列是严格减数列. （3）因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为任意，当时，都有且， 所以当时，在上有唯一的最大值， 由，得，，， 假设存在，使得成立， 即成立， 故当时，取得最大值； 当时，取得最大值， 由，可知 ①时，， 又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值， 故当时，取得最小值； 当时，取得最小值， 由，可知 ②时，， 若成立， 则由①②得：，即， 因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立， 因此当时，不存在，使得成立. 1．（2016年上海理科23）若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap+1＝aq+1，则称{an}具有性质P． （1）若{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3； （2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由； （3）设{bn}是无穷数列，已知an+1＝bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”． 【答案】解：（1）∵a2＝a5＝2，∴a3＝a6， a4＝a7＝3，∴a5＝a8＝2，a6＝21﹣a7﹣a8＝16，∴a3＝16． （2）设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0， b5﹣b1＝4d＝80， ∴d＝20，∴bn＝20n﹣19，q4，∴q，∴cn ∴an＝bn+cn＝20n﹣19． ∵a1＝a5＝82， 而a2＝21+27＝48，a6＝101．a1＝a5，但是a2≠a6，{an}不具有性质P． （3）充分性：若{bn}是常数列， 设bn＝C，则an+1＝C+sinan， 若存在p，q使得ap＝aq，则ap+1＝C+sinap＝C+sinaq＝aq+1， 故{an}具有性质P． 必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P， 则a2＝b1+sina1， 设函数f（x）＝x﹣b1，g（x）＝sinx， 由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点， ∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1＝sina1， ∴a2＝b1+sina1＝a1，∴an＝an+1， 故bn+1＝an+2﹣sinan+1＝an+1﹣sinan＝bn， ∴{bn}是常数列． 2．（2018年上海21）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”． （1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由； （2）设数列{an}的前四项为：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1，2，3，4}，求M中元素的个数m； （3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 【答案】解：（1）数列{bn}与{an}接近． 理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列， 可得an，bn＝an+1+11， 则|bn﹣an|＝|1|＝11，n∈N*， 可得数列{bn}与{an}接近； （2）{bn}是一个与{an}接近的数列， 可得an﹣1≤bn≤an+1， 数列{an}的前四项为：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8， 可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]， 可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等， 集合M＝{x|x＝bi，i＝1，2，3，4}， M中元素的个数m＝3或4； （3）{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 可得an＝a1+（n﹣1）d， ①若d＞0，取bn＝an，可得bn+1﹣bn＝an+1﹣an＝d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ②若d＝0，取bn＝a1，则|bn﹣an|＝|a1a1|1，n∈N*， 可得bn+1﹣bn0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1＝a2n﹣1﹣1，b2n＝a2n+1， 则b2n﹣b2n﹣1＝a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）＝2+d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意； ④若d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 即为an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1， 可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）＝2+d≤0， b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意． 综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）． 3．（2019年上海卷21）数列{an}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]，若ak与前n项中某一项相等，则称ak具有性质P． （1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值； （2）若{an}不为等差数列，求证：数列{an}中存在某些项具有性质P； （3）若{an}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100． 【答案】（1）∵数列{an}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]， ∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3， 当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5， 当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7 ∴a4的所有可能的值为：3，5，7； （2）∵{an}不为等差数列， ∴数列{an}存在am使得am＝am﹣1+d不成立， ∵对任意n∈[2，10]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]； ∴存在p∈[1，n﹣2]，使am＝ap+d，则 对于am﹣q＝ai+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得am﹣q＝am， 因此{an}中存在具有性质P的项； （3）由（2）知，去除具有性质P的数列{an}中的前三项，则数列{an}的剩余项均不相等， ∵对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]，则 一定能将数列{an}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d， ∴a1+a2+…+a100． 4．（2020年上海卷21）已知数列{an}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣am|，则称{an}满足性质P． （1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由； （2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围； （3）若{an}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{bn}符合bk＝ak+1（k＝1，2，…，m﹣1），{an}、{bn}都具有性质P，求所有满足条件的数列{an}． 【答案】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P； 对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P． （2）由题意：|a1﹣a1qn|≥|a1﹣a1qn﹣1|，可得：|qn﹣1|≥|qn﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}， 两边平方可得：q2n﹣2qn+1≥q2n﹣2﹣2qn﹣1+1， 整理可得：（q﹣1）qn﹣1[qn﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得qn﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立， 所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0， 所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1， 当0＜q≤1时，得qn﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≤0， 所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1． 当﹣1≤q＜0时：qn﹣1[qn﹣1（q+1）﹣2]≤0， 当n为奇数时，得qn﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，qn﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立； 故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去． 当q＜﹣1时，得qn﹣1[qn﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得qn﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立， 当n为偶数时，qn﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0， 所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2， 综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． （3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}， 因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2， 如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{an}不满足性质P；所以{an}的前5项有以下组合： ①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2； ②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2； ③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2； ④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2； 对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝2与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{an}、{bn}都具有性质P． 当p＝1时，有数列{an}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意． 当p＝m时，有数列{an}：m，m﹣，…，3，2，1满足题意． 当p＝2时，有数列{an}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意． 当p＝m﹣1时，有数列{an}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意． 所以满足题意的数列{an}只有以上四种． 5．（2022年上海卷21）数列{an}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足an+1＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3． （1）求a4可能值； （2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由； （3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求数列{an}的通项公式． 【答案】(1)7或9； (2)答案见解析； (3). 【解答】解：（1）a3＝2a2﹣a1＝5，a4＝2a3﹣a2＝7或a4＝2a3﹣a1＝9． （2）∵a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列，∴， a9＝2a8﹣ai＝30﹣ai＜30． 逆命题q：若a9＜30，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列是假命题，举例： a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，a6＝11，a7＝13，a8＝2a7﹣a5＝17，a9＝2a8﹣a7＝21． （3）因为， ∴，a2m+1＝2a2m﹣aj（j≤2m﹣1）， ∴a2m+2＝4a2m﹣2aj﹣ai， ∴， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an+1＞an恒成立： 当n＝1，a2＞a1明显成立， 假设n＝k时命题成立，即ak＞ak﹣1＞ak﹣1⋯＞＞a2＞a1＞0， 则ak+1﹣ak＝2ak﹣ai﹣ak＝ak﹣ai＞0，则ak+1＞ak，命题得证． 回到原题，分类讨论求解数列的通项公式： 1.若 j＝2 m﹣1，则a2m＝2aj+ai＝2a2m﹣1+ai＞a2m﹣1﹣ai矛盾， 2.若 j＝2 m﹣2，则，∴，∴i＝2m﹣2， 此时， ∴， 3.若 j＜2 m﹣2，则， ∴，∴j＝2m﹣1， ∴a2m+2＝2a2m+1﹣a2m﹣1（由（2）知对任意m成立）， a6＝2a5﹣a3， 事实上：a6＝2a5﹣a2矛盾． 综上可得． 6．（2023年上海卷21）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至am≤0停止，由这些项构成数列{an}． （1）设am（m≥2）属于数列{an}，证明：am＝lnam﹣1﹣1； （2）试比较am与am﹣1﹣2的大小关系； （3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析. 【解答】解：（1）证明：， 则过点（am﹣1，f（am﹣1））的切线的斜率为， 由点斜式可得，此时切线方程为，即， 令x＝0，可得y＝lnam﹣1﹣1， 根据题意可知，am＝lnam﹣1﹣1，即得证； （2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0）， 设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则， 易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减， 则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0）， 结合（1）可知，am＝lnam﹣1﹣1≤am﹣1﹣1﹣1＝am﹣1﹣2； （3）假设存在这样的k符合要求， 由（2）可知，数列{an}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k， 由（1）可知，公差d＝an﹣an﹣1＝lnan﹣1﹣an﹣1﹣1，2≤n≤k， 先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则， 易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个an﹣1，使得g（an﹣1）＝d， 若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3， 当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1， 由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0， 则存在，使得h（x0）＝0， 于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列． 综上，k＝3． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题04 数列 数列也是高考的必考知识点，填空题考察时难度不大，一般考查等差数列、等比数列的基本量和简单的通项及求和等问题，教改之后难度略有降低，2023年高考出现在第21题压轴题与导数综合，2024年高考则出现在第18题（2）中，与函数一起考察. 题型一： 数列的通项公式 1．（24-25高三上·上海松江·期中）（1）已知等差数列的前项和为，求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，其中，求的通项公式. 2．（1）已知数列满足（n为正整数），且．求数列的通项公式． （2）记为数列的前n项和．已知，．求的通项公式． （3）已知数列中，，．求数列的通项公式． （4）设数列满足，对于n为正整数，都有．求数列的通项公式． 常见求解数列通项公式的方法有如下六种： （1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式． （2）累加法：形如的解析式． （3）累乘法：形如 （4）公式法：区分是等差数列还是等比数列，直接套公式； （5）取倒数法：形如的关系式 （6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式． 1．（2021·上海奉贤·一模）已知数列满足恒成立. （1）若且，当成等差数列时，求的值； （2）若且，当、时，求以及的通项公式； 2．（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． 求的通项公式； 3．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和． 证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 4．（22-23高三上·上海黄浦·阶段练习）已知数列，，满足，，． 若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； 题型二：数列的前n项和 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求的值. 2．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， (1)求数列的前项和； (2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 5．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 数列求和的几种常用方法 1.公式法 （1）直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和. （2）①12＋22＋32＋…＋n2＝，②13＋23＋33＋…＋n3＝[]2. 2.分组求和法 （1）利用分组转化法求和的常见类型 （2）思路：将数列转化为若干个可求和的新数列，从而求得原数列的前n项和.如an＝bn＋cn＋…＋hn，则ak＝bk＋ck＋…＋hk. 注意　 对含有参数的数列求和时要对参数进行讨论. 3.错位相减法 （1）适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列. （2）求解思路： Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn　①， qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1　②， ①－②得（1－q）Sn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn）－anbn＋1，进而利用公式法求和. 4.裂项相消法 （1）利用裂项相消法求和的基本步骤 （2）常见数列的裂项方法 数列（n为正整数） 裂项方法 {}（k为非零常数） ＝（－） {} ＝（－） {} ＝（－） {} ＝－ 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于同一常数”，可用倒序相加法求和.解题时先把数列的前n项和表示出来，再把数列求和的式子倒过来写，然后将两个式子相加，即可求出该数列的前n项和的2倍，最后求出该数列的前n项和. 1．（22-23高三上·上海静安·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 2．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知数列为等差数列，首项为1，的前项和记为，若对一切均满足．数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（23-24高三下·上海·期中）已知数列满足： 且，. (1)证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值 ． 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 5．（22-23高三上·上海嘉定·阶段练习）数列的前项和， (1)若为等差数列，求公差､首项､的值； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和. 题型三：数列中的存在性、最值问题 1．（24-25高三上·上海·期中）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 2．（2022·上海·模拟预测）已知无穷数列满足，. （1）若； （i）求证：； （ii）数列的前项和为且，求证：； （2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由. 3．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明是等差数列； (2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由． 4．（2018·上海静安·二模）已知数列中，.又数列满足：. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列是单调递增数列，求实数a的取值范围； （3）若数列的各项皆为正数，设是数列的前n和，问：是否存在整数a，使得数列是单调递减数列？若存在，求出整数；若不存在，请说明理由. 求等差数列前n项和Sn的最值的方法 （1）通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，n可用不等式组来确定； ②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，n可用不等式组来确定. （2）二次函数法：由于Sn＝n2＋（a1－）n，故可用二次函数求最值的方法求Sn的最值，结合n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值. （3）不等式组法：一般情况下，Sn最大时，有（n≥2，n∈N*），解得n的范围，进而确定n的值和对应的Sn的值（即Sn的最值）. 1．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列前n项和，若，求正整数n的最小值． 2．（23-24高三上·上海杨浦·开学考试）已知数列满足是正整数 (1)求数列的通项公式； (2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 3．（23-24高三上·上海静安·期中）等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 4．（2024·上海普陀·一模）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 题型四：数列应用题 1．（2023·上海金山·一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. (1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ (2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 2．（2023·上海闵行·模拟预测）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1: 表1 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 第n次 消费者每次的还价组成一个数列. (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式并求出； (2)若实际价格与定出的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润? 通过数学建模解决数学文化问题的步骤 读懂题意 会“脱去”题目中的背景，提取关键信息. 构造模型 由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型. “解模” 把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等. 1．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） (2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 2．（2022·上海杨浦·一模）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 3．（2022·上海崇明·一模）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米? (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于? 题型五：数列与其它知识结合 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知（为实常数） (1)当时，求函数的最小值； (2)若对一切都成立，求的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列满足，证明：.（提示：当时，） 1.数列与函数的综合问题的解题策略 （1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究. （2）已知数列条件，解决函数问题，一般要利用数列的有关公式对式子化简变形. 注意　 数列是自变量为正整数的特殊函数，要灵活运用函数的思想方法求解. 2.数列与不等式的综合问题的解题策略 （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者借助数列对应的函数的单调性求解. （2）对于与数列有关的不等式的证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，有时需构造函数，利用函数的单调性、最值来证明. 3.放缩技巧 （1）对（n∈N*）的放缩，根据不同的要求，大致有四种情况： ①＞＝－； ②＜＝－（n≥2）； ③＜＝（－）（n≥2）； ④＜＝2（－）. （2）对（n∈N*）的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况： ①＞＝－； ②＜＝－. 1．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知，. (1)求函数的单调区间； (2)若数列为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围； (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 3．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，. (1)若函数，求实数的取值范围; (2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； (3)求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件. 1．（2023·上海普陀·二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 2．（2023·上海嘉定·三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 3．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 4．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 5．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 6．（2024·上海宝山·二模）函数的表达式为. (1)若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； (2)函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为 ，证明：数列是严格减数列； (3)已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 1．（2016年上海理科23）若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap+1＝aq+1，则称{an}具有性质P． （1）若{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3； （2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由； （3）设{bn}是无穷数列，已知an+1＝bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”． 2．（2018年上海21）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”． （1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由； （2）设数列{an}的前四项为：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1，2，3，4}，求M中元素的个数m； （3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 3．（2019年上海卷21）数列{an}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]，若ak与前n项中某一项相等，则称ak具有性质P． （1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值； （2）若{an}不为等差数列，求证：数列{an}中存在某些项具有性质P； （3）若{an}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100． 4．（2020年上海卷21）已知数列{an}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣am|，则称{an}满足性质P． （1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由； （2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围； （3）若{an}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{bn}符合bk＝ak+1（k＝1，2，…，m﹣1），{an}、{bn}都具有性质P，求所有满足条件的数列{an}． 5．（2022年上海卷21）数列{an}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足an+1＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3． （1）求a4可能值； （2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由； （3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求数列{an}的通项公式． 6．（2023年上海卷21）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至am≤0停止，由这些项构成数列{an}． （1）设am（m≥2）属于数列{an}，证明：am＝lnam﹣1﹣1； （2）试比较am与am﹣1﹣2的大小关系； （3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$