大题03 函数（5大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题03 函数 函数及其性质也是这两年高考必考，命题稳定，命题热点有讨论函数的单调性，利用函数的单调性比较大小、解不等式、求最值等，也常与函数的奇偶性考察恒成立、零点等问题。作为填空题考察时较为基础，作为选择题考察时可基础可压轴，如果是选择压轴题，一般比较抽象，考察命题的真假；在解答题中，近两年都出现在第18题，主要考察函数的性质，第21题则是以压轴题的形式出现. 题型一： 函数的单调性与最值 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. 证明函数在上严格增； 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 1.判断函数的单调性的方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）导数法；（4）性质法. 2.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解. 注意　（1) 若分段函数是单调函数，则不仅要各段上函数单调性一致，还要在整个定义域内单调，即要注意分界点处的函数值大小. （2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. （3）“函数f（x）的单调区间为M ”与“函数f（x）在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M . （4）注意“增（减）函数”与“单调递增（减）”的区别，只有在定义域上单调递增（减），才能称它是增（减）函数. 规律总结 1）函数单调性的两个等价变形 若∀x1，x2∈D（x1≠x2），则 （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在区间D上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在区间D上单调递减. 2）函数单调性的常用结论 （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数； （2）当f（x）≠0时，函数f（x）与－f（x），在公共定义域内单调性相反； （3）复合函数y＝f（g（x））的单调性与y＝f（t），t＝g（x）的单调性有关，即“同增异减”. 3）对勾函数y＝ax＋（a＞0，b＞0）的单调性与最值 如图， （1）单调性：增区间为（－∞，－），（，＋∞）；减区间（－，0），（0，）. （2）最值：当x＞0时，函数y＝ax＋在x＝处取得最小值2；当x＜0时，函数y＝ax＋在x＝－处取得最大值－2. 注意　 对勾函数y＝ax＋（a＞0，b＞0）的图象有两条渐近线：x＝0，y＝ax. 3.求函数最值（值域）的方法 （1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法. 注意　(1) 对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域. (2)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. 1.（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 2．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性（不需要说明理由）； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)若在上的值域是()，求a的取值范围. 3.（23-24高三上·上海静安·开学考试）已知函数，（其中，，为常数） (1)当，，时，求函数在上的值域； (2)当，，时，判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)当，时，方程有三个不同的解，求实数的取值范围. 4．（2024·上海·三模）设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①；    ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 题型二：函数的奇偶性 1.（24-25高三上·上海·开学考试）已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数，. (1)①判断函数的奇偶性，并用定义证明； ②判断函数的单调性，无需说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 1. 函数的奇偶性 注意　 （1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件； （2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集. 规律总结 1）常见的奇（偶）函数 （1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数； （2）函数f（x）＝＝为奇函数，函数g（x）＝loga为奇函数； （3）函数f（x）＝loga（x＋）为奇函数，函数g（x）＝loga（－x）也为奇函数. 2）函数奇偶性的拓展结论 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称. 2.函数的周期性 （1）周期函数 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f（x）的⑩　最小　正周期. 注意　 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5. 常用结论 1）函数周期性的常用结论 设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b. （1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期； （2）若f（x＋a）＝±，则2a是函数f（x）的周期； （3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期. 3.函数图象的对称性 已知函数f（x）是定义在R上的函数， （1）若f（a＋x）＝f（b－x） 恒成立，则y＝f（x） 的图象关于直线⑪　x＝　对称. （2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫　（，）　对称. 注意　 （1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反. 常用结论 函数f（x）图象的对称性与周期的关系 （1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜； （2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜； （3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜ 1．已知函数，其中是常数. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，且函数在严格单调减，求实数的最大值. 2.（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 3.（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）已知 （实数为常数）． (1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由； (2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围． 题型三：函数不等式 （24-25高三上·上海·开学考试）已知，曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 利用函数的单调性求解或证明不等式的策略 （1）将不等式转化为f（x1）＞f（x2）的形式， （2）根据函数f（x）的单调性“脱去”函数符号“f ”化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式求解，注意必须在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“f ”，而是常数，则应将常数转化为函数值. 1.（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）给出函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求的取值范围. 2（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)当，，解关于的不等式. 题型四：函数的零点、恒成立问题 1.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）函数，． (1)若，是否存在实数，使得是奇函数； (2)若，且的图象与x轴的正半轴有两个交点，求实数的取值范围； (3)若，， ，已知对任意的，都存在使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 2.．（23-24高三上·上海虹口·期中）设a是实常数，并记． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由． 1.已知函数零点情况求参数取值范围的方法 （1）直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围. （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题. （3）数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解. 已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简单的方程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过观察图象特征，求得参数的取值范围. 2.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． 3.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 1．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 2．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数. (1)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围; (2)若函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 3．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知为实数，记. (1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； (2)若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； (3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 题型五：函数的应用题 （24-25高三上·上海·期中）为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案. (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款； (2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由； (3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数，k≠0） 指数函数模型 f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1） 对数函数模型 f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1） 对勾函数模型 f（x）＝ax＋（a＞0，b＞0） 2.指数、对数、幂函数模型性质的比较 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0，＋∞）上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越①　快　 越来越②　慢　 随n值变化而各有不同 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与③　y　轴平行 随x的增大逐渐表现为与④　x　轴平行 随n值变化而各有不同 联系 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 2.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 3．（2019·上海松江·一模）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型：①；②；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？ 1．（2024·上海闵行·一模）已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 2．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 3．（2024·上海杨浦·一模）已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. (1)若，求函数的值域； (2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 4．（2024·上海·三模）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 5．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 6．（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 1．（2023年上海卷18）已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 2．（2022年上海卷18）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 3．（2021年上海卷19）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 4．（2021年上海卷21）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的． （1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？ （2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3． （3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”． 5．（2020年上海卷19）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v，x为道路密度，q为车辆密度． v＝f（x）． （1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围； （2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值． 6．（2019年上海卷18）已知f（x）＝ax，a∈R． （1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集； （2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围． 7．（2018年上海19）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题03 函数 函数及其性质也是这两年高考必考，命题稳定，命题热点有讨论函数的单调性，利用函数的单调性比较大小、解不等式、求最值等，也常与函数的奇偶性考察恒成立、零点等问题。作为填空题考察时较为基础，作为选择题考察时可基础可压轴，如果是选择压轴题，一般比较抽象，考察命题的真假；在解答题中，近两年都出现在第18题，主要考察函数的性质，第21题则是以压轴题的形式出现. 题型一： 函数的单调性与最值 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. 证明函数在上严格增； 【答案】证明见解析 【解析】因，任取，且， 由 ， 因，则，，故， 即. 故函数在上严格增. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【解析】（1）由题知，，因为是上的严格减函数，是上的严格增函数， 所以，即，解得. 当时，，， 显然时，，时，， 则在区间上严格减，在区间上的严格增， 所以满足要求. （2）因为，， 令，得或， 当即时，，是上的严格增函数， 所以，不满足要求； 当即时，，是上的严格减函数， 所以，满足要求； 当即时，若时，，若时，， 所以在区间上严格减，在区间上的严格增， 又， 则当时，，，解得， 当时，，满足要求， 当时，，满足要求， 综上，的取值范围. （3）由，得或，列表如下： 0 0 0 严格增 极大值 严格减 极小值 严格增 所以，. 令，因为，所以， 由函数的示意图（如图所示）， 可得有三个不相等的实数解，，，其中，，， 根据函数的单调性，且， 则，，即和均有且只有一个实数解， 设为和，则； 又， 而，是上的严格增函数， 所以， 所以，所以有且只有一个实数解，记为，显然， 综上，当时，方程有且仅有三个不相等的实数根， 所以函数有且仅有三个零点. 1.判断函数的单调性的方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）导数法；（4）性质法. 2.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解. 注意　（1) 若分段函数是单调函数，则不仅要各段上函数单调性一致，还要在整个定义域内单调，即要注意分界点处的函数值大小. （2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. （3）“函数f（x）的单调区间为M ”与“函数f（x）在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M . （4）注意“增（减）函数”与“单调递增（减）”的区别，只有在定义域上单调递增（减），才能称它是增（减）函数. 规律总结 1）函数单调性的两个等价变形 若∀x1，x2∈D（x1≠x2），则 （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在区间D上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在区间D上单调递减. 2）函数单调性的常用结论 （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数； （2）当f（x）≠0时，函数f（x）与－f（x），在公共定义域内单调性相反； （3）复合函数y＝f（g（x））的单调性与y＝f（t），t＝g（x）的单调性有关，即“同增异减”. 3）对勾函数y＝ax＋（a＞0，b＞0）的单调性与最值 如图， （1）单调性：增区间为（－∞，－），（，＋∞）；减区间（－，0），（0，）. （2）最值：当x＞0时，函数y＝ax＋在x＝处取得最小值2；当x＜0时，函数y＝ax＋在x＝－处取得最大值－2. 注意　 对勾函数y＝ax＋（a＞0，b＞0）的图象有两条渐近线：x＝0，y＝ax. 3.求函数最值（值域）的方法 （1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法. 注意　(1) 对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域. (2)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. 1.（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【解析】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 2．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性（不需要说明理由）； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)若在上的值域是()，求a的取值范围. 【答案】(1)非奇非偶； (2)； (3). 【解析】（1）由于，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数； （2）∵在上恒成立，且， ∴在上恒成立， 令（当且仅当时取等号），则. 故a的取值范围是. （3）函数在定义域上是增函数. 所以，即， 故方程有两个不相等的正根，注意到， 故只需要且，则. 3.（23-24高三上·上海静安·开学考试）已知函数，（其中，，为常数） (1)当，，时，求函数在上的值域； (2)当，，时，判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)当，时，方程有三个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【解析】（1）当，，时，由， ， 在上单调递增，当时，的值域为. （2）当，，时，由， ， 对任意且， ， 即， 所以在上的单调递增. （3）由得即， 令，， 由图象容易得到： 当时，两图象只有一个交点，不合题意；    当时，由，令，，    所以，当时，符合题意. 当时，令，有，所以要使得两图象有三个交点，必须，    所以当或时，方程有三个不同的解. 则实数的取值范围为. 4．（2024·上海·三模）设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①；    ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）①是，对任意，，符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. （2）显然，设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）证明：充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足， 即，取， 则显然， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 题型二：函数的奇偶性 1.（24-25高三上·上海·开学考试）已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知函数为偶函数， 则， 即恒成立， 化简可得，即， 又不恒为， 所以； （2）由以， 当时，， 此时， 又，则函数在上单调递减， 由在上单调递减， 所以， 解得，即. 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数，. (1)①判断函数的奇偶性，并用定义证明； ②判断函数的单调性，无需说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①为定义域上的奇函数，证明见解析；②在上单调递增，证明见解析 (2) 【解析】（1）①为定义域上的奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 又， 为奇函数； ②在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， ，，且， ，，，， ，即， 在上单调递增； （2）由①知，为奇函数， 等价于， 由②知在上单调递增， ，解得或， 不等式的解集为：； 1. 函数的奇偶性 注意　 （1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件； （2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集. 规律总结 1）常见的奇（偶）函数 （1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数； （2）函数f（x）＝＝为奇函数，函数g（x）＝loga为奇函数； （3）函数f（x）＝loga（x＋）为奇函数，函数g（x）＝loga（－x）也为奇函数. 2）函数奇偶性的拓展结论 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称. 2.函数的周期性 （1）周期函数 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f（x）的⑩　最小　正周期. 注意　 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5. 常用结论 1）函数周期性的常用结论 设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b. （1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期； （2）若f（x＋a）＝±，则2a是函数f（x）的周期； （3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期. 3.函数图象的对称性 已知函数f（x）是定义在R上的函数， （1）若f（a＋x）＝f（b－x） 恒成立，则y＝f（x） 的图象关于直线⑪　x＝　对称. （2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫　（，）　对称. 注意　 （1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反. 常用结论 函数f（x）图象的对称性与周期的关系 （1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜； （2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜； （3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜ 1．已知函数，其中是常数. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，且函数在严格单调减，求实数的最大值. 【答案】(1)非奇非偶，理由见解析 (2)2 【解析】（1）当时，，则， 所以是奇函数； 当且时，，， 且，此时是非奇非偶函数. （2）任取，有， 因此恒成立，即， 因为，，只需，即， 因此的最大值为. 2.（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 (3)证明见解析， 【解析】（1）由题意， ，， 令，即有， 可得或， 或； （2）函数定义域， ①当为奇函数时，有， ， ，； ②当为偶函数时，， ， ， ； ③当时，函数为非奇非偶函数； 综上所述，当时，为奇函数； 当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （3）当时，，任取，，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是严格增函数， 由（2）知，当时，为偶函数， 则由，可得， 即，即， 解得. 3.（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）已知 （实数为常数）． (1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由； (2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，不具有奇偶性； (2) 【解析】（1）当时，， 则或，解之得或， 即，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性； （2）当时，，为单调递增函数， 故， 令，则， 故， 由对勾函数的性质可知在上单调递减， 故，所以， 即的取值范围为. 题型三：函数不等式 （24-25高三上·上海·开学考试）已知，曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知，得， 又函数在点处的切线斜率为， 即， 解得； （2）由（1）得，， 则恒成立， 即在上单调递增， 又， 即函数为奇函数， 由，可知， 即，解得， 即不等式的解集为. 利用函数的单调性求解或证明不等式的策略 （1）将不等式转化为f（x1）＞f（x2）的形式， （2）根据函数f（x）的单调性“脱去”函数符号“f ”化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式求解，注意必须在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“f ”，而是常数，则应将常数转化为函数值. 1.（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）给出函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：若，则不等式为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为. （2）解：设，可得其定义域是， 则，所以是偶函数， 设，则，， 故，所以， 因为，所以，即， 故在上是严格减函数， 又因为，所以是偶函数，且在上是严格减函数， 所以，不等式等价于， 由单调性可得，解得的取值范围是. 2（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)当，，解关于的不等式. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【解析】（1）因为是奇函数， 所以， 即，解得， 又时，其定义域为，此时为非奇非偶函数， 所以. （2）由（1）得，所以，即， 根据对数函数的定义域和单调性可得，由于，所以， 所以，即， 因此，当，即时，不等式的解为， 当，即时，不等式的解为， 综上所述，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 题型四：函数的零点、恒成立问题 1.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）函数，． (1)若，是否存在实数，使得是奇函数； (2)若，且的图象与x轴的正半轴有两个交点，求实数的取值范围； (3)若，， ，已知对任意的，都存在使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【解析】（1）时，若为奇函数，则时，代入表达式有，即，与事实矛盾， 故不存在满足题意的实数； （2）时，. 依题意可得函数有2个正的零点，即方程有2个不等正根，也即有2个不等正根， 所以， 解得； （3）时，，. 依题意可得，而当时，. 当时， 若，即时，. 此时根据得，解得，与矛盾，不符题意； 若，即时，. 此时根据得，解得，故； 若，即时，. 此时根据得，解得，故； 综上所述：实数的取值范围是. 2.．（23-24高三上·上海虹口·期中）设a是实常数，并记． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，3和-3 【解析】（1）当时，，则， 令，解得， 故函数的单调减区间为； （2）假设存在a，使得函数在实数范围内有且三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列， 设这三个零点为，， 则 ， 又，则， 而，故， 即，则或， 当时，，， 函数在R上单调递增，不可能有3个零点，不合题意； 当时，，解，得或或， 即函数在实数范围内有且三个零点，且或成等差数列， 当时，，解，得或或， 即函数在实数范围内有且三个零点，且或成等差数列， 故满足条件的a的值为和. 1.已知函数零点情况求参数取值范围的方法 （1）直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围. （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题. （3）数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解. 已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简单的方程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过观察图象特征，求得参数的取值范围. 2.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． 3.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 1．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 2．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数. (1)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围; (2)若函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）对于任意,恒成立，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点， 所以，即，解得实数的取值范围为. 3．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减 (2) 【解析】（1）因为函数为奇函数，定义域为R，则， 所以，即， 此时，满足，即为奇函数， ，定义域为R，对，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在R上单调递减； （2）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又因为函数在R上单调递减， 所以，因为存在实数，使得， 所以，解得， 所以的取值范围为. 4．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知为实数，记. (1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； (2)若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； (3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）当时，， 所以当时，. 所以. （2）当函数为偶函数时，必有，解得， 经检验，此时确为偶函数. 此时，令，解得， 故当时，，函数是严格减函数； 当时，，函数是严格增函数， 结合函数为偶函数，所以等价于. 化简得，即对恒成立. 令， 则有当时，为严格减函数， 当时，为严格增函数， 结合， 可知 解得. （3）充分性：当时，在上是严格增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在上是严格增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线，由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上是严格增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，是严格减函数， 当时，是严格增函数， 函数在处取到最小值. 必要性： 当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上是严格增函数，不存在最小值，故， 所以在上是严格增函数， 由于，所以，即， 故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 题型五：函数的应用题 （24-25高三上·上海·期中）为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案. (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款； (2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由； (3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围. 【答案】(1) (2)不满足条件②，理由见解析 (3) 【解析】（1）由于，故， （2）因为当时，, ，所以当时不满足条件②. （3）由条件①可知,在上单调递增， 在恒成立， 在恒成立，所以 由条件②可知，，即不等式在上恒成立， 等价于， 当时，取最小值，所以 综上，参数的取值范围是. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数，k≠0） 指数函数模型 f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1） 对数函数模型 f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1） 对勾函数模型 f（x）＝ax＋（a＞0，b＞0） 2.指数、对数、幂函数模型性质的比较 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0，＋∞）上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越①　快　 越来越②　慢　 随n值变化而各有不同 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与③　y　轴平行 随x的增大逐渐表现为与④　x　轴平行 随n值变化而各有不同 联系 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)台，万元 【解析】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 2.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】(1)该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 (2)该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】（1）由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 3．（2019·上海松江·一模）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 【答案】(1)，3.1（秒） (2)汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 【解析】（1）由题意得，， 当时，， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定障碍物的时间（秒）， 即最短时间为3.1秒； （2）根据题意，要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由得，，即， 解得，（米/秒），（千米/小时）， 汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型：①；②；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？ 【答案】(1)答案见解析 (2)不符合公司要求，符合公司要求，理由见解析 【解析】（1）设奖励函数模型为，则公司对奖励函数模型的基本要求是： 当时，是严格增函数，恒成立，恒成立. （2）①对于函数模型， 易知当时，为增函数，且， 所以恒成立，但是，不满足恒成立， 所以不符合公司要求； ②对于函数模型， 当时，，所以为增函数， 且 ，所以恒成立， 令，则，所以，所以恒成立， 所以符合公司要求. 1．（2024·上海闵行·一模）已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）当时，函数， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数的值域是. （2）当时，，由，得， 则，整理得， 而，，因此， 所以实数的取值范围. 2．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为 和 ,严格单调减区间为 和 . (2) 【解析】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 3．（2024·上海杨浦·一模）已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. (1)若，求函数的值域； (2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1） ，， 因为，所以，，所以当， 即时，取得最小值，最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为2， 故函数值域为； （2），故，， ，， 对任意的恒成立， 令，， 则，其中，， 显然，令，， 则，， 令，， ， 令，则在上单调递减， 又在上单调递增， ，故在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 其中，若，即时，在上恒成立， 在上单调递增，， 故在上单调递增， ，满足要求， 若，则，故存在适当的，使得时，， 故在上单调递减，又， 故在恒成立，不合要求， 综上，实数的取值范围是； （3），， 由于，故， ， 因为在上是严格增函数，， 所以，， 故在上单调递增， 又，故在恒成立， 两边同时除以得， 由于为上的任意数，故函数在上是严格增函数. 4．（2024·上海·三模）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2) (3)证明见解析 【解析】（1）当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. （2）方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. （3）证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 5．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 6．（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)①当时，函数有对称中心，理由见解析；②答案见解析. 【解析】（1）解：当时，函数 ，可得， 若时，，故函数在上单调递增，函数在上无最值； 若时，令，可得， 当时，，函数在上为严格减函数； 当时，，函数在上为严格增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值． 综上：当时，函数在上无最值；当时，最小值为，无最大值． （2）解：因为“为偶函数”“对于任意的，都有” 即对于任意的，都有，并且； 即对于任意的，，可得， 所以是为偶函数的充要条件． 因为“为奇函数”“对于任意的，都有”， 即对于任意的，都有，并且， 即对于任意的，，可得， 所以是为奇函数的充要条件， 当时，是非奇非偶函数. （3）解：①当时，函数有对称中心， 当时，对于任意的，都有，并且 ． 证明：当时，令，解得为函数的零点， 由， 可得 ； ② 答案1：当时，函数有对称轴． 即当时，对于任意的，都有，并且 ， 参考证明：当时，由， 可得 ， 答案2：当时，的图象关于y轴对称， 即对于任意的，都有， 答案3：当时，函数的零点为，即 1．（2023年上海卷18）已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) c＝1，实数a的取值范围是（，）∪（，+∞）． 【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）x1， 要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}， ∵y＝x是奇函数，y＝1是偶函数， ∴函数f（x）＝x1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数． （2）若函数过点（1，3），则f（1）3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1， 此时f（x），若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点， 即f（x）0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点， 设g（x）＝x2+（3a+1）x+1， 则，得，得，即a， 若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根， 则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a或a＝﹣1， 则实数a的取值范围是a且a且a≠﹣1， 即（，）∪（，+∞）． 2．（2022年上海卷18）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 【答案】(1) a＝﹣2，m＝1．(2) [3，6）． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）， 将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像， 由函数图像经过点（3，0）和（5，0）， 所以， 解得a＝﹣2，m＝1． （2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x， 等价于， 解得， 当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3， 当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6； 综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]， a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）． 3．（2021年上海卷19）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【答案】(1) 31.5亿元．(2) 第25个季度 【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项a1＝1.1，公差d＝0.05， ∴S20＝20a1d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5， 即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%， 则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）•18%， 令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）•18%，（n∈N*）， 即要解f（n）＞0， 则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064•（1+4%）n﹣1﹣0.009， 令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10， 即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增， 由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得， 经检验，f（24）＜0，f（25）＞0， 所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%． 解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润与该季度营业额的比为an， 则1.041+0.04（1）， ∴数列{an}满足a1＞a2＞a3＞a4＝a5＜a6＜a7＜……， 注意到，a25＝0.178…，a26＝0.181…， ∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%． 4．（2021年上海卷21）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的． （1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？ （2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3． （3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”． 【答案】(1) f（x）在[0，+∞）关联；在[0，1]不关联； (2) [，5]；(3)证明见解析. 【解答】解：（1）f（x）在[0，+∞）关联，在[0，1]不关联， 任取x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），∴f（x）在[0，+∞）关联； 取x1＝1，x2＝0，则x1﹣x2＝1∈[0，1]， ∵f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）＝2∉[0，1]，∴f（x）在[0，1]不关联； （2）∵f（x）在{3}关联，∴对于任意x1﹣x2＝3，都有f（x1）﹣f（x2）＝3， ∴对任意x，都有f（x+3）﹣f（x）＝3， 由x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，得f（x）在x∈[0，3）的值域为[﹣1，3）， ∴f（x）在x∈[3，6）的值域为[2，6）， ∴2≤f（x）≤3仅在x∈[0，3）或x∈[3，6）上有解， x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，令2≤x2﹣2x≤3，解得x＜3， x∈[3，6）时，f（x）＝f（x﹣3）+3＝x2﹣8x+18，令2≤x2﹣8x+18≤3，解得3≤x≤5， ∴不等式2≤f（x）≤3的解为[，5]， （3）证明：①先证明：f（x）是在{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的⇒f（x）在[1，2]是关联的， 由已知条件可得，f（x+1）＝f（x）+1， ∴f（x+n）＝f（x）+n，n∈Z， 又∵f（x）是在[0，+∞）关联的， ∴任意x2＞x1，f（x2）＞f（x1） 成立， 若1≤x2﹣x1≤2， ∴x1+1≤x2≤x1+2， ∴f（x1+1）≤f（x2）≤f（x1+2），即f（x1）+1≤f（x2）≤f（x1）+2， ∴1≤f（x2）﹣f（x1）≤2， ∴f（x）是[1，2]关联， ②再证明：f（x）在[1，2]是关联的⇒f（x）是在{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的， ∵f（x）在[1，2]是关联的，∴任取x1﹣x2∈[1，2]，都有f（x1）﹣f（x2）∈[1，2]成立， 即满足1≤x1﹣x2≤2，都有1≤f（x1）﹣f（x2）≤2， 下面用反证法证明f（x+1）﹣f（x）＝1， 若f（x+1）﹣f（x）＞1，则f（x+2）﹣f（x）＝f（x+2）﹣f（x+1）+f（x+1）﹣f（x）＞2，与f（x）在[1，2]是关联的矛盾， 若f（x+1）﹣f（x）＜1，而f（x）在[1，2]是关联的，则f（x+1）﹣f（x）≥1，矛盾， ∴f（x+1）﹣f（x）＝1成立，即f（x）是在{1}关联的， 再证明f（x）是在[0，+∞）关联的， 任取x1﹣x2∈[n，+∞）（n∈N），则存在n∈N，使得任取x1﹣x2∈[n，n+1]（n∈N）， ∵1≤x1﹣（n﹣1）﹣x2≤2， ∴f[x1﹣（n﹣1）]﹣f（x2）＝f（x1）﹣（n﹣1）﹣f（x2）∈[1，2]， ∴f（x1）﹣f（x2）⊆[n，n+1]⊆[0，+∞）， ∴f（x）是在[0，+∞）关联的； 综上所述，f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”， 故得证． 5．（2020年上海卷19）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v，x为道路密度，q为车辆密度． v＝f（x）． （1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围； （2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值． 【答案】解：（1）∵v，∴v越大，x越小， ∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0， 当40≤x≤80时，v最大为85， 于是只需令，解得x＞3， 故道路密度x的取值范围为（3，40）． （2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中， 得50＝﹣k•40+85，解得k． ∴q＝vx， 当0＜x＜40时，q单调递增，q＜100×40﹣1354000； 当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x， 此时q有最大值，为4000． 故车辆密度q的最大值为． 6．（2019年上海卷18）已知f（x）＝ax，a∈R． （1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集； （2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围． 【答案】（1）f（x）＝ax（a∈R）． 当a＝1时，f（x）＝x． 所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x1， 即：， 解得：﹣2＜x＜﹣1． 故：{x|﹣2＜x＜﹣1}． （2）函数f（x）＝ax在x∈[1，2]时，f（x）有零点， 即函数在该区间上有解， 即：， 即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域， 由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调， 故：x（x+1）∈[2，6]， 所以：， 故： 7．（2018年上海19）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义． 【答案】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）＝2x90＞40， 即x2﹣65x+900＞0， 解得x＜20或x＞45， ∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x≤30时， g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40； 当30＜x＜100时， g（x）＝（2x90）•x%+40（1﹣x%）x+58； ∴g（x）； 当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增； 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$