第五章 一元函数的导数及应用 章末题型大总结（11类热点题型+精讲精练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第五章 一元函数的导数及应用 章末题型大总结 题型01导数的定义及应用 解题锦囊 1．函数在某点处的导数的定义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()=. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据导数的定义可得，求得得解. 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 【变式1】（（24-25高二下·山东济宁·开学考试）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 【变式4】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知函数，则（   ） A．1 B．0 C．－1 D． 【答案】C 【分析】根据求导公式计算. 【详解】由题意得， 故． 故选：C. 【变式5】（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 题型02 导数的运算 解题锦囊 导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【典例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A． B．1 C． D．e 【答案】B 【分析】先求导函数，再根据导函数值结合对数运算计算求解. 【详解】， 由，得，则，解得． 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 【变式3】（24-25高二上·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B. 【变式4】（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的四则运算及赋值即可求解. 【详解】解：， 则， 故选：A 题型03导数的几何意义及应用 解题锦囊 求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. （3）　“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点. 【典例3】24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出原函数的导函数，依题得到，由二次函数的性质和正切函数的图象性质即得的取值范围. 【详解】设点，由求导得， 依题意，， 因，故得，又，故得. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 【变式4】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得，可得结果. 【详解】设切点坐标为， 易知，因此， 所以切线方程为，即， 可得，即，可得， 所以. 故选：D 【变式5】（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线的方程，即可根据公切线得，构造函数，求导即可得解. 【详解】设直线与图象相切的切点为， 由，则切线斜率为， 切线方程为，即， 又，且，即， 所以过点与曲线相切的直线方程为， 联立解得，所以， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时取等号， 故由得，所以. 故选：C 【变式6】（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【详解】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 【变式7】（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】因为， 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：；. 题型04求函数的单调区间 解题锦囊 （1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． （2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． ②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 【典例4】（24-25高二·全国·课堂例题）已知函数，讨论的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先求出的导数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a的取值进行分类讨论． 【详解】． ①当时，，所以在上单调递增． ②当时，令，得． 当或时，； 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减． 综上可知，当时，的增区间为，没有减区间． 当时，的增区间为；减区间为． 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间. 【详解】因为，所以， 令，则， 根据四个选项，可知 则，所以，所以， 所以的单调递增区间为， 因为，所以为函数的一个单调递增区间. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由可得； （2）由题意，对实数分类，，，进而可得. 【详解】（1）由于，故， 解得或． （2）首先有． 若，则在上递减； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式4】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型05已知函数的单调性求参数 解题锦囊 （1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． （2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． （3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点。 【典例5】（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题干问题转化为在区间上恒成立，参变分离得，利用对勾函数单调性求得，即可得解. 【详解】由已知得， 函数在区间上单调递增， 在区间上恒成立． 对于恒成立． 而由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减， ． 的取值范围是． 故选：D 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在上有解，整理可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得， 所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是. 故选：C． 【变式2】（24-25高三下·山西·开学考试）函数在上单调递增的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【详解】∵函数在单调递增，∴， 即在上恒成立．令，由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴是函数在单调递增的充要条件． 故选：A 【变式3】（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 【变式4】（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 【变式5】（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围即可. 【详解】函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 【变式6】（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 【变式7】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）函数在上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据在上单调递增得到恒成立，然后分和分析得到，最后再结合端点处的函数值列不等式求解即可. 【详解】由题意可知时，时，； 因为在上单调递增， 所以时，恒成立，即，可得， 当，时，，在上单调递增，成立， 又，可得，综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 题型06求函数的极值解题锦囊 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 【典例5】（24-25高二上·湖南怀化·期末）函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据函数极值的定义求解即可. 【详解】由题知的定义域为，且. 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值， 故选：A 【变式1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【详解】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 【变式4】（23-24高二下·全国·课后作业）函数有（    ） A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4 C．极小值，极大值3 D．极小值2，极大值3 【答案】D 【分析】求出导函数，令导函数为并求根，判断根左右两侧的符号，根据极值定义求出极值即可． 【详解】易知， 令，则或， 当时，，即在内单调递增， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以当时，函数有极大值， 当时，函数有极小值． 故选：D． 题型07已知极值求参数解题锦囊 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． ． 【典例7】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】对求导，得到，由题知，解得，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题知，解得， 此时， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 故满足题意，所以， 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可； 【详解】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当在上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 【变式3】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点， 而函数在上单调递增，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 【变式4】（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 【变式5】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，分离参数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合分类讨论以及极值的定义求解. 【详解】由题意可得， 令，则，记，则， 当时，此时在上单调递增， 当时，此时在上单调递减，故， 当，且， 若，则，此时存在， 当时，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增，此时只有极小值无极大值，不符合题意舍去， 当，则，存在，使， 故当，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增， 当，，此时，，故在上单调递减，此时是的极大值点，符合要求， 当，即时，此时，此时，，故单调递减，不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：C. 【变式6】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【分析】求导，令求出或2，检验后得到. 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 题型08求函数的最值 解题锦囊 利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 【典例8】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则， 当时，，可得，则单调递增； 当时，，可得，则单调递减； 由，，，则的最小值为. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断出函数的单调性即可得解. 【详解】的定义域为， 所以当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以的最小值为． 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值. 【详解】的定义域为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最大值为， 又， 所以的最大值为，最小值为． 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【详解】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 【变式4】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 【变式5】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 【变式6】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知函数． (1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程； (2)设，求在的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【详解】（1）设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． （2）由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在单调性为：单调递减，单调递增， 所以． 又 ，所以最大值为： 所以在的最小值为，最大值为： 题型09不等式恒（能）成立问题 【典例9】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式化为，构造，利用导数研究函数的单调性得，进而问题化为对任意正实数t恒成立，构造，导数求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由，不等式，即， 即，即， 设，则上式为， 由，则在R上单调递增，可得， 由，得，令，则， 因此对任意正实数x恒成立，即对任意正实数t恒成立， 令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，则. 故选：D 【变式1】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知对恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式进行变形，然后构造函数，根据其单调性得到，进而转化为恒成立问题，最后通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，对求导，可得. 因为时，，，所以，这表明在上单调递增. 已知对恒成立，当时，，则有， 当时，可变形为. 因为在上单调递增，且，（），所以由可得，即对恒成立. 设，对求导，可得. 当时，，所以，，则. 这说明在上单调递减，那么在上的最大值为. 因为对恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·山西运城·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求出，分离参数可求答案. 【详解】由，得，求导得， 因为，所以恒成立. 令， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以，即最小值为1. 故选：C. 【变式3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 【变式4】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 【变式5】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【详解】由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则， 故m的最小值为4． 故选：D. 【变式6】（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 题型10导数与函数的零点问题 【典例10】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有且仅有一个实数根转化为两个函数和只有一个交点的问题，然后通过求在处的切线斜率，结合函数图象来确定的取值范围. 【详解】已知在上有且仅有一个实数根，可化为. 方程有且仅有一个实数根，等价于函数和的图象在上只有一个交点. . 将代入到导数中，可得，即在处的切线的斜率为. 直线恒过原点. 为了使和在上只有一个交点，结合函数图象可知，当直线的斜率满足或时满足条件. 解不等式，可得；解不等式，可得. 所以的取值范围是.     故选：A. 【变式2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为且图象有两个交点，利用导数研究的性质并画出函数图象草图，数形结合求参数范围. 【详解】由题，方程有两个实数根，即， 所以且图象有两个交点， 设，则，令，解得， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 所以有极小值， 当时，且，当时，， 作出函数的大致图象， 故，解得. 故选：C 【变式3】（24-25高二上·重庆·期末）已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为与有三个交点，导数研究的性质并确定极值，列不等式求参数范围. 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 【变式4】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由题意列出方程组，求出的值，再结合导数与单调性的关系，即可求得答案. （2）结合（1）求出函数的极大值极小值，结合零点与函数图象交点的关系，即可求得答案. 【详解】（1）由，得， 故，解得， 故， 令，得或；令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得的极大值为，极小值为， 当x趋向于正无穷大和负无穷大时，也分别趋向于正无穷大和负无穷大， 故函数恰有3个零点，即的图象有3个交点， 故. 【变式5】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性； （2）分离参数，并构造函数，利用导数得出的大致图像，进而由与的图象有两个交点结合图像得出所求范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，即，解得. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 综上，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由题意在上有两个不同的根. 可化为， 令，则问题转化为与的图象有两个交点. , 令，则，. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，则， 当时，的增长速度远慢于的增长速度，所以. 因为与的图象有两个交点，所以. 综上，的取值范围为. 题型11极值点偏移问题 【典例11】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数与单调性的关系讨论求解； （2）构造函数，利用导数讨论其单调性，并结合即可证明. 【详解】（1）由题意， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又该函数在单调递增，故， 综上可知，的取值范围为 （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，令， 则， 所以在上单调递减，，即， 令，则，故， 又在上单调递增，，所以， 故 【变式1】（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得； （2）由题意结合导数可得，，即可得， ，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，得到函数，利用导数计算其单调性即可得解. 【详解】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 【变式2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分析极值点情况即可得解. （2）由（1）的信息可设，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 当时，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，2是函数的极大值点，且是唯一极值点， 所以的取值范围是. （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由，，不妨令， 要证，只证，即证，就证， 令，求导得 ，于是函数在上单调递减，， 而，则，即，又， 因此，显然，又函数在上单调递增，则有， 所以. 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可； （2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及应用 章末题型大总结 题型01导数的定义及应用 解题锦囊 1．函数在某点处的导数的定义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()=. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【变式1】（（24-25高二下·山东济宁·开学考试）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【变式4】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知函数，则（   ） A．1 B．0 C．－1 D． 【变式5】（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 题型02 导数的运算 解题锦囊 导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【典例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A． B．1 C． D．e 【变式2】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 【变式3】（24-25高二上·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03导数的几何意义及应用 解题锦囊 求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. （3）　“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点. 【典例3】24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【变式5】（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式6】（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 【变式7】（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 题型04求函数的单调区间 解题锦囊 （1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． （2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． ②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 【典例4】（24-25高二·全国·课堂例题）已知函数，讨论的单调区间． 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【变式4】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 题型05已知函数的单调性求参数 解题锦囊 （1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． （2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． （3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点。 【典例5】（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·山西·开学考试）函数在上单调递增的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【变式7】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）函数在上单调，则的取值范围是 . 题型06求函数的极值解题锦囊 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 【典例5】（24-25高二上·湖南怀化·期末）函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 【变式1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【变式2】（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·全国·课后作业）函数有（    ） A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4 C．极小值，极大值3 D．极小值2，极大值3 题型07已知极值求参数解题锦囊 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． ． 【典例7】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【变式1】（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【变式2】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式3】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 题型08求函数的最值 解题锦囊 利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 【典例8】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【变式5】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式6】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知函数． (1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程； (2)设，求在的最值． 题型09不等式恒（能）成立问题 【典例9】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知对恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山西运城·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式4】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【变式6】（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 题型10导数与函数的零点问题 【典例10】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·重庆·期末）已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【变式5】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 题型11极值点偏移问题 【典例11】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【变式1】（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【变式2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$