第04讲 两角和与差的余弦（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第04讲 两角和与差的余弦 课程标准 学习目标 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系。 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。 1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公式并熟记； 2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟记； 3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角函数求值问题。 知识点01 两角差的余弦公式 1、公式与简记：，简记为； 2、公式理解： （1）公式中的，是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。 如：，时，. （3）要掌握公式的逆用：如 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课堂例题） 【答案】 【分析】可以写成，再根据两角差的余弦公式计算即可. 【详解】 ． 知识点02 两角和的余弦公式 1、公式与简记：，简记为； 2、公式理解记忆： （1）两角和的余弦公式中，也是任意角； （2）理顺公式间的联系：； （3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式，，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。 【即学即练2】（24-25高一·河北衡水·期中）若为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】为锐角，且， ，， . 故答案为： 题型01 逆用公式化简求值 【典例1】（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】 . 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·山东东营·期末）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用两角和余弦公式化简计算即可. 【详解】. 故选：C 【变式2】（2024·山东·一模）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和余弦公式即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 【变式3】（2025高二·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用逆用余弦差角公式得到答案. 【详解】. 故选：A 【变式4】 （24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案. 【详解】. 故选：C 【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解. 【详解】． 故选：C 题型02 求非特殊角的余弦值 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为. 故选：C. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：B 【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值： . 【答案】0 【分析】由，得，然后利用两角和与差的余弦公式化简计算即可 【详解】解： ， 故答案为：0 【变式3】（24-25高一下·上海·课后作业）求值： ． 【答案】 【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】解：. 故答案为：. 题型03 给值求值 【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出， 再利用和角的余弦公式进行求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用余弦和角公式展开，代入即可. 【详解】因为在中，，，则，. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值． 【详解】， ， 故选：A. 【变式3】已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系及角的范围可得和，再由可得解. 【详解】为锐角，且，. 为第三象限角，且， ， .故选A. 【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，计算出，再由展开公式即可. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：B. 【变式5】（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则 . 【答案】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再利用两角差的余弦公式进行求解. 【详解】 . 故答案为：. 题型04 给值求角 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值. 【详解】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 【变式2】（24-25高三上·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及差角余弦公式、三角形内角的性质得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 又为三角形的内角，则，而， 所以. 故选：B 【变式4】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式化简，再结合诱导公式及余弦函数单调性求解. 【详解】由，得， 因此，由，得， 又余弦函数在上递减，则，所以. 故选：C 【变式5】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则 ； 【答案】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又，所以. 所以， 同时也能确定. 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 题型05 余弦公式的灵活运用 【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意切化弦结合三角恒等变换可得，结合运算求解即可. 【详解】由，即，可得， 则， 可得， 因为，即， 可得， 又因为，即，所以． 故选：B． 【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果. 【详解】由，即， 由，即，而，则， 所以，可得. 故选：B 【变式2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角恒等变换得，进一步即可求解. 【详解】， 解得， 所以. 故选：D. 【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴，∴，∴， ∴，∴. 故选：A. 【变式4】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到即，由，得到，结合，即可求得的值. 【详解】由， 可得， 两式平方相加，可得：， 即， 又由，可得，所以，所以 因为，且，所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】C 【分析】根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知是以轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，再求，结合数量积坐标运算公式及两角差余弦公式可得结论. 【详解】由已知可得， 所以，， 所以， 故选：D． 3．（2024·陕西西安·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由两角差的余弦公式求解即可； 【详解】因为，所以， 所以或． 故选：D 5．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值. 【详解】因为，， 所以， 解得， 因此. 故选：A. 6．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系得，再根据两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】∵，，所以， 则， 故选：C． 7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，，由两角差的余弦公式展开可得，根据同角三角函数的基本关系可得和的值，代入即可求解. 【详解】解：，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．存在，的值，使 B．不存在无穷多个，的值，使 C．对于任意的，，都有 D．不存在，的值，使 【答案】AD 【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可. 【详解】令，则，，此时，故A正确； 令，，，此时，故B错误； 由两角和的余弦公式可知，对于任意的和，，故C错误； 不存在，的值，使，若存在和，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一·全国·课后作业）若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可． 【详解】解：因为∈[0，2π]，sinsincoscoscos＝0， 则或， 故选：CD． 11．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，，，，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由已知条件两边平方相加，消去 得，可知A正确，B错误，再根据角的范围可得，所以C正确，D错误.从而可得答案. 【详解】由已知，得，. 两式分别平方相加，得， ，，A正确，B错误. ，，，，， ，C正确，D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了平方关系式，考查了两角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函数值求角，属于基础题. 三、填空题 12．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，是第三象限角，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系得出，，再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得， 又由，是第三象限角，得， 所以. 故答案为：. 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及两角和与差的三角函数公式.根据化简可求得，根据，可得，利用两角差的余弦公式将展开即可求解. 【详解】由题可得，，∵，∴； 又，所以； ∴. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得，由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的余弦公式即可得解． 【详解】在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆交于点， ，设，则， 又，，， ． 故答案为：． 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 两角和与差的余弦 课程标准 学习目标 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系。 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。 1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公式并熟记； 2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟记； 3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角函数求值问题。 知识点01 两角差的余弦公式 1、公式与简记：，简记为； 2、公式理解： （1）公式中的，是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。 如：，时，. （3）要掌握公式的逆用：如 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课堂例题） 知识点02 两角和的余弦公式 1、公式与简记：，简记为； 2、公式理解记忆： （1）两角和的余弦公式中，也是任意角； （2）理顺公式间的联系：； （3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式，，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。 【即学即练2】（24-25高一·河北衡水·期中）若为锐角，且，则 ． 题型01 逆用公式化简求值 【典例1】（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(    ) A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·山东东营·期末）（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（2024·山东·一模）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高二·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【变式4】 （24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 题型02 求非特殊角的余弦值 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）计算（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值： . 【变式3】（24-25高一下·上海·课后作业）求值： ． 题型03 给值求值 【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则 . 题型04 给值求角 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则 ； 题型05 余弦公式的灵活运用 【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则 . 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（    ） A．1 B． C． D．-1 2．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知是以轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于两点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．或 5．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．存在，的值，使 B．不存在无穷多个，的值，使 C．对于任意的，，都有 D．不存在，的值，使 10．（24-25高一·全国·课后作业）若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，，，，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，是第三象限角，则的值是 ． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则 ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $