第一次月考复习易错题（13个考点41题）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

第一次月考复习易错题 范围：第1-2章 1． 等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D，    中,，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 3．如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．15根 B．16根 C．17根 D．无数根 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了图形类规律探索，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题关键．根据题意发现一般规律，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案． 【详解】解：添加一根钢管时，，即， 添加两根钢管时，； ，即， 添加三根钢管时，； ，即， ； …… 观察发现，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为， 等腰三角形的底角小于， ， ， 即最多能添加这样的钢管的根数为根， 故选：． 4．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)不会变化，． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论； （3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于， 点的横坐标为， 在和中， ， 故答案为：； （2）， 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）与的面积比不会变化， 理由∶如图③，作轴于， ， 在和中， ， 在和中， ， ． 5．如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 二．等边三角形的性质与判定 7．如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ∵是等边三角形，， ， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、角平分线的判定定理 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．如图①，点分别是等边边上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续交于点M． （1）求证：； （2）点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图②，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120° 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到； （3）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到． 【详解】解：（1）证明：如图1，是等边三角形， ，， 又点、运动速度相同， ， 在与中， ， ； （2）点、在、边上运动的过程中，不变． 理由：， ， 是的外角， ， ， ； （3）如图，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变． 理由：同理可得，， ， 是的外角， ， ， 即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 10．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 三．线段垂直平分线的性质 11．某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）    A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长． 【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线， ∵MN是BC的垂直平分线， ∴CD=DB， ∵AB=10， ∴CD+AD=10， ∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 四.角平分线的性质与判定 13．如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出 ，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．      请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点；   ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． 15．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G． （1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【知识点】角平分线性质定理及证明、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断． （2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG．理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB， ∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC， ∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°， ∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°， ∴∠MCN=30°+30°=60°， ∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN， ∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中， ∴△MCF≌△NCG（ASA）， ∴CF=CG（全等三角形对应边相等）． 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等． 5． 直角三角形的性质与判定 16．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 17．如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)求∠FAE的度数； (3)求证：CD＝2BF+DE． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、等边对等角 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 19．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 六.由不等式组解集的情况求参数 20．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟知解一元一次不等式组及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 21．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出，然后根据不等式组的解集为，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解不等组式得：， ∵不等式组的解集为， ∴的范围为． 故选：D． 22．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴，且三个整数解为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 七.一次函数与不等式的关系 23．已知点，，当一次函数与线段有交点时，k的取值范围是（   ） A．且 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，由已知得直线恒过点，分别求出直线和直线的比例系数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线（k为常数）恒过点， 当直线刚好过点A时，将代入中得：， 解得， 此时， 当直线刚好过点B时，将代入中得：， 解得， 此时， ∴当直线与线段有交点时，的取值范围为：或， ∴k的取值范围为：或， 故选：D． 24．已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且， ∴随的增大而增大， ∴，解得：， 故选：C． 25．如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象，可以发现当时，一次函数的图象在的图象的上方，从而可以得到不等式的解集． 本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可知， 当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴的解集为． 故答案为： ． 26．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合时，则时对应x的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于，且随的增大而增大， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 27．如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1) (2)此时碗的数量最多为10个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和一元一次不等式的解法是解题的关键． 利用待定系数法解答即可； 根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为为常数，且． 将和分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵x为非负整数， ∴此时碗的数量最多为10个． 28．某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别价格 A款跳绳 B款跳绳 进货价（元/根） 15 20 销售价（元/根） 25 32 (1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数； (2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进A款跳绳15根，B款跳绳20根 (2)再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根，根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳根，销售利润为w元，先根据题意，列出不等式，求出m的取值范围，再根据总利润=A的利润+B的利润，得出w关于m的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根． 根据题意，得， 解得． 答：购进A款跳绳15根，B款跳绳20根． （2）解：设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳根，销售利润为w元． 根据题意，得， 解得． 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而减小． ∴当时，w取最大值，且． 此时． ∴再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元． 29．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 【答案】(1)该超市的采购总费用y与x的函数关系式为 (2)商场能获得的最大利润为2880元 (3) 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品，根据总费用等于两种礼品的费用之和建立函数关系，再建立不等式组求解自变量的范围即可； （2）设总利润为W元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质可得答案； （3）设再次销售时总利润为T元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质分情况可得答案； 【详解】（1）解：该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品， 根据题意得：， 由题意得：， 解得：， 答：该超市的采购总费用y与x的函数关系式为：； （2）解：设总利润为W元，根据题意得： ， ， 随x的增大而增大，又， 当时，W最大，最大值为2880， 答：商场能获得的最大利润为2880元； （3）解：设再次销售时总利润为T元，根据题意得： ①当即时，T随x的增大而增大， 又， 当时，T有最小值为， 解得，舍去： ②当即时，T随x的增大而减小， 又， 当时，T有最小值为， 解得：，符合题意． ③当即时，，舍去 综上所述，． 八.一元一次不等式的整数解 30．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的整数解、加减消元法 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， 解得 得：， 解得 ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为， 故选：B． 31．若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 32．解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，该不等式组的整数解为0，1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的整数解为0，1，2，3． 九.不等式的性质 33．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以，所以，故A不符合题意； B、因为，所以，故B符合题意； C、因为，所以，故C不符合题意； D、因为，所以，故D不符合题意． 故选：B． 十.不等式的解集 34．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集 【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组． 【详解】根据题意，得 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 则的取值范围为． 故选D． 35．已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，求不等式组的解集，根据长方形和正方形面积计算公式求出，进而得到，再根据满足条件的整数有且只有2个得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵满足条件的整数有且只有2个， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 36．八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键． （1）根据表示不大于A的最大整数即可得； （2）根据新定义知，解之可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 十一.最短路径问题 37．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 38．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段问题(轴对称综合题)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 十二.用一元一次不等式解决实际问题 39．购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用．根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，设采购了n辆购物车，车身总长为L，结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答． 【详解】解：设采购了n辆购物车，车身总长为L， ∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ ∵已知该商场的直立电梯长为， 令， 解得： ∵一次可以运输两列购物车， ∴一次性最多可以运输18辆购物车； 故答案为：． 40．春节期间，甲、乙两个商场针对某品牌冰箱的促销方案如下： 商场 甲 乙 第一次优惠 八折 降价500元 第二次优惠 打折后消费1500元及以上，减免200元 降价后消费2000元及以上，减免400元 (1)设某冰箱的原价为x（）元，在享受两次优惠后，甲商场该冰箱实付价为_________元，乙商场该冰箱实付价为_________元． (2)小华在甲商场购买了一台冰箱，小东在乙商场购买了一台冰箱，均享受了两次优惠，以下是他们的对话． 小华：真有意思，我买的冰箱原价比你的冰箱原价低，但我的实付价却比你的实付价高 小东：更有意思的是，我买的冰箱原价比你的冰箱原价高了105元，实付价却恰好比你的实付价低了105元 分别求小华和小东购买的冰箱的原价 (3)若某冰箱的原价高于2500元，请你帮忙计算在哪家商场购买比较划算？ 【答案】(1) (2)小华购买的冰箱的原价为2450元，小东购买的冰箱的原价为2555元 (3)见解析 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用及不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列方程． （1）依据表格，即可求得； （2）设小华购买的冰箱的原价为y元，则小东购买的冰箱的原价为元，根据题意列出方程求解即可； （3）分别令，令，令，求出各自x的范围，即可作答． 【详解】（1）解：设某冰箱的原价为x（）元，在享受两次优惠后， 甲商场该冰箱实付价为元， 乙商场该冰箱实付价为元． （2）解：设小华购买的冰箱的原价为y元，则小东购买的冰箱的原价为元． 由题意，得， 解得． （元）． 答：小华购买的冰箱的原价为2450元，小东购买的冰箱的原价为2555元． （3）解：设该冰箱的原价为x元 令，解得， 令，解得， 令，解得． 当时，在乙商场购买比较划算； 当时，在两家商场购买价格相同； 当时．在甲商场购买比较划算． 13． 一次函数与几何综合 41．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考复习易错题 范围：第1-2章 1． 等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 2．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）      A． B． C． D． 3．如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．15根 B．16根 C．17根 D．无数根 4．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 5．如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 6．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 二．等边三角形的性质与判定 7．如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 9．如图①，点分别是等边边上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续交于点M． （1）求证：； （2）点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图②，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，求的度数． 10．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 三．线段垂直平分线的性质 11．某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）    A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 12．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 四.角平分线的性质与判定 13．如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 14．综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．      请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    15．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G． （1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 5． 直角三角形的性质与判定 16．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 17．如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)求∠FAE的度数； (3)求证：CD＝2BF+DE． 19．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 六.由不等式组解集的情况求参数 20．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 21．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 七.一次函数与不等式的关系 23．已知点，，当一次函数与线段有交点时，k的取值范围是（   ） A．且 B．或 C．或 D．或 24．已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是 ． 26．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 27．如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 28．某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别价格 A款跳绳 B款跳绳 进货价（元/根） 15 20 销售价（元/根） 25 32 (1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数； (2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 29．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 八.一元一次不等式的整数解 30．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 31．若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 32．解不等式组，并写出它的所有整数解． 九.不等式的性质 33．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10. 不等式的解集 34．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 36．八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 十一.最短路径问题 37．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 38．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 十二.用一元一次不等式解决实际问题 39．购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 40．春节期间，甲、乙两个商场针对某品牌冰箱的促销方案如下： 商场 甲 乙 第一次优惠 八折 降价500元 第二次优惠 打折后消费1500元及以上，减免200元 降价后消费2000元及以上，减免400元 (1)设某冰箱的原价为x（）元，在享受两次优惠后，甲商场该冰箱实付价为_________元，乙商场该冰箱实付价为_________元． (2)小华在甲商场购买了一台冰箱，小东在乙商场购买了一台冰箱，均享受了两次优惠，以下是他们的对话． 小华：真有意思，我买的冰箱原价比你的冰箱原价低，但我的实付价却比你的实付价高 小东：更有意思的是，我买的冰箱原价比你的冰箱原价高了105元，实付价却恰好比你的实付价低了105元 分别求小华和小东购买的冰箱的原价 (3) 若某冰箱的原价高于2500元，请你帮忙计算在哪家商场购买比较划算？ 13． 一次函数与几何综合 41．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$