专题9.6 图形的变换（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.6 图形的变换（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 3.作图步骤： （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 【知识点2】轴对称 1.定义： （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.作图步骤： （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 【知识点3】旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质: （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.作图步骤: （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 考点与题型目录 【考点一】平移 【题型1】平移图形的识别........................................................3 【题型2】利用平移的性质求值证明................................................4 【题型3】平移性质实际应用......................................................7 【题型4】尺规作图——平移.....................................................10 【考点二】轴对称 【题型5】轴对称图形的识别.....................................................13 【题型6】利用轴对称图形性质求值证明...........................................15 【题型7】利用轴对称图形性质求最值.............................................18 【题型8】折叠问题.............................................................22 【考点三】旋转 【题型9】旋转、平移、轴对称图形综合识别.......................................25 【题型10】旋转中心、旋转角、对应点............................................26 【题型11】利用旋转性质求值证明................................................28 【考点四】平移、轴对称、旋转综合 【题型12】平移、轴对称、旋转综合题............................................30 【题型13】平移、轴对称、旋转规律问题..........................................34 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平移图形的识别 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下面的左面图形平移后可以得到右面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小，属于基础题，一定要熟记平移的性质及特点． 根据平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，即可判断出答案． 解：A、两个图形大小不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； B、两个图形大小不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； C、两个图形箭头方向不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； D、左面的图形平移后可以得到右面图形，故本选项符合题意． 故选D． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小解答即可． 此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握图形平移的性质是解题的关键． 解：观察图形可知，A选项图案可以看作由“基本图案”经过平移得到， 故选：A． 【题型2】利用平移的性质求值证明 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【答案】（1），理由见解析；（2）平分，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 解：（1）解：．理由如下： 平分 由平移的性质，得， （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， 平分 ，即平分 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵ ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 解：∵, ∴, ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ∴, ∵， ∴, 故答案为：． 【题型3】平移性质实际应用 【例3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示． （1）如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； （2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． （3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】（1）；（2）木木的方法正确，见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 解：（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          【变式1】（23-24七年级下·河南周口·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 解：如图： 地毯的总长度至少为（米）． 此时，总面积为 （平方米）， 所以购买地毯至少需要（元）． 【题型4】尺规作图——平移 【例4】（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 （1）在图中画出平移后的 （2）画出点A到线段的垂线段； （3）若，与相交于点H，则______，______ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点F，E，D即可； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）利用平行线的性质解决问题． 解：（1）如图，即为所求； （2）线段即为所求； （3）由平移变换的性质可知，， ，， 平分， ， ， 故答案为：， 【变式1】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点拨】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【考点二】轴对称 【题型5】轴对称图形的识别 【例5】（24-25八年级上·山东临沂·期末）花钿（diàn）是我国古代女子妆容的精美装饰，以精致花朵形态设计并贴于两鬓、眉间或面颊．它采用金箔、丝绸等材质精心打造，并镶嵌璀璨珠宝或绣上繁复图案，既显匠人高超技艺，又衬女子温婉典雅，是妆容中不可或缺的元素．下列四种眉间花钿图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列图案中，不是轴对称的图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案． 解：A、为轴对称图形， B、为轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、为轴对称图形， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意； D、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【题型6】利用轴对称图形性质求值证明 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若的周长为_______． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 解：（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 【变式1】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，四边形与四边形关于边所在的直线对称．若，，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是由两个图形关于某直线对称，推得对应角相等． 先根据轴对称的性质和求出，再利用平行线的性质即可求出． 解：∵四边形与四边形关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7】利用轴对称图形性质求最值 【例7】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【答案】（1），，；（2）见解析 【分析】（1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可； （2）分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小． 解：（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：    ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， 所以，， 那么的周长为， 所以三点共线， 即两点之间，线段最短，那么的周长最小． 【点拨】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 【题型8】折叠问题 【例7】（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，，则，由此即可得； （2）根据折叠的性质可得，，再根据线段的和差可得，由此即可得． 解：（1）解：由折叠的性质得：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴． （2）解：∵在长方形纸片中，，， ∴由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据题意，画出示意图，再结合轴对称的性质即可解决问题． 解：当点在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴； 当点在下方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，的度数为：或． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差运算，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练运用轴对称的性质．设，，，根据折叠表示出，，，然后根据得到，求出，进而求解即可． 解：设，，， 根据折叠可知：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点三】旋转 【题型9】旋转、平移、轴对称图形综合识别 【例9】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（    ）    A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转 【答案】C 【分析】根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可． 解：将图甲顺时针先旋转一个小的角度，使得图形甲完全竖直，再进行翻折（轴对称变换）即可得到图形乙， 故选：C． 【点拨】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键． 【变式】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【答案】B 【分析】考查图形的三种变换方式：轴对称、平移、旋转．轴对称的特点是一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断即可． 解：A、本题图案包含轴对称变换．不符合题意； B、不存在平移变换，符合题意． C、将图形绕着中心点旋转的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； D、根据以上判断知本选项不符合题意． 故选：B． 【题型10】旋转中心、旋转角、对应点 【例10】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知四边形是正方形，点E在上，将经顺时针旋转后与完全重合，再将线段向右平移后与完全重合. （1）旋转的中心是 ；旋转角度是 ； （2）试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由. 【答案】（1）点A；；（2）； 【分析】本题考查了旋转和平移这两种图形变换，掌握相关性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可求解； （2）由旋转的性质可得：，；由平移的性质可得：，，据此即可求解． 解：（1）解：∵将经顺时针旋转后与重合， ∴旋转的中心为点，为旋转角， ∵四边形是正方形， ∴； （2）解：且，理由如下： 由旋转的性质可得：，， 由平移的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线， 它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． 故选：A． 【变式2】（21-22八年级下·福建三明·期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是 ．    【答案】/150度 【分析】由旋转的性质可知旋转角为，由平角的性质即可求出最后结果． 解：将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上， 旋转角为， ，， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【题型11】利用旋转性质求值证明 【例11】（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）如图，规定：在网格中每个小格的边长为1个单位长度，作三角形，其顶点都在网格顶点上，将三角形绕点顺时针旋转，得到三角形，点的对应点为，点在上，旋转后对应点为点，连接 （1）如图1，三角形绕点顺时针旋转得到三角形． ①旋转角为___________；在图1中画出点，并连接； ②若，则___________； （2）某同学发现，在旋转过程中会存在一个时刻，使是的平分线，如图2，求此时的度数 【答案】（1）①90，见解析；②58.4；（2） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）①利用旋转变换的性质判断即可；根据，画出图形； ②根据，计算即可； （2）判断出，可得结论． 解：（1）解：①由图可得， ∴旋转角为， 如图，，点即为所求； 故答案为：90； ②∵，， ∴， 故答案为：58.4； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点落在边上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质、等腰三角形判定与性质、角的和差等知识，根据旋转性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质得到，结合邻补角定义，数形结合表示角的和差是解决问题的关键． 解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键． 根据旋转的性质得出，再求出的度数即可解决问题． 解：，平分， ． 由旋转可知，． 又， ， 旋转的角度为． 故答案为：． 【考点四】平移、轴对称、旋转综合 【题型12】平移、轴对称、旋转综合题 【例12】（24-25八年级上·湖南郴州·开学考试）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； （2）把以点为中心，顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的； 【答案】（1）见解析：（2）①见解析；②见解析 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握平移作图、旋转作图，是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向右平移9个单位，再向下平移4个单位找出对应点、、即可； （2）分别将以为中心顺时针旋转找出对应线段、即可． 解：（1）分别将点A、B、C向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、， 连接各点，得平移后的， 如图所示： （2）①利用网格特点，分别将以为中心顺时针旋转找出对应线段、， 连接， 得旋转后的， 如图所示： 【变式1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图． （1）将线段平移，使平移后的线段经过点． ①请在图中画出一条符合要求的线段； ②写出线段平移至线段的方法； （2）第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平移作图，作旋转中心； （1）①根据平移的性质，使得点平移至，点平移至点，即可求解； ②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段； （2）连接交于点，即可求解． 解：（1）解：①如图所示，线段即为所求； ②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，线段经过点． （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A与翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平角的定义等知识点，熟知折叠前后对应角相等是解题的关键． 分在左边或右边两种情况，当在左边时，根据折叠的性质得到，由平角的定义求出，则，同理在右边，则． 解：当在左边时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 同理，在右边时，可得． 故答案为：或． 【题型13】平移、轴对称、旋转规律问题 【例13】（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 【答案】8097 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 解：∵中，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加12． 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 【答案】（1）；（2）①，②，（3）存在，t的值为或秒． 【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题． （2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题． ②本题求解过程与①类似． （3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 解：（1）解：、分别平分和 ，， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ． ②， ， ，， ， 故答案为：． （3）解：存在，t的值为或秒，理由如下： 由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前， 由（2）②可知， 即， 解得秒； ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有， 即有， 解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 【点拨】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几何图形中角度的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.6 图形的变换（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 3.作图步骤： （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 【知识点2】轴对称 1.定义： （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.作图步骤： （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 【知识点3】旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质: （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.作图步骤: （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 考点与题型目录 【考点一】平移 【题型1】平移图形的识别........................................................2 【题型2】利用平移的性质求值证明................................................3 【题型3】平移性质实际应用......................................................4 【题型4】尺规作图——平移......................................................5 【考点二】轴对称 【题型5】轴对称图形的识别......................................................6 【题型6】利用轴对称图形性质求值证明............................................7 【题型7】利用轴对称图形性质求最值..............................................8 【题型8】折叠问题..............................................................9 【考点三】旋转 【题型9】旋转、平移、轴对称图形综合识别.......................................10 【题型10】旋转中心、旋转角、对应点............................................11 【题型11】利用旋转性质求值证明................................................12 【考点四】平移、轴对称、旋转综合 【题型12】平移、轴对称、旋转综合题............................................13 【题型13】平移、轴对称、旋转规律问题..........................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平移图形的识别 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下面的左面图形平移后可以得到右面图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用平移的性质求值证明 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型3】平移性质实际应用 【例3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示． （1）如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； （2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． （3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【变式1】（23-24七年级下·河南周口·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【题型4】尺规作图——平移 【例4】（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 （1）在图中画出平移后的 （2）画出点A到线段的垂线段； （3）若，与相交于点H，则______，______ 【变式1】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【考点二】轴对称 【题型5】轴对称图形的识别 【例5】（24-25八年级上·山东临沂·期末）花钿（diàn）是我国古代女子妆容的精美装饰，以精致花朵形态设计并贴于两鬓、眉间或面颊．它采用金箔、丝绸等材质精心打造，并镶嵌璀璨珠宝或绣上繁复图案，既显匠人高超技艺，又衬女子温婉典雅，是妆容中不可或缺的元素．下列四种眉间花钿图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列图案中，不是轴对称的图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】利用轴对称图形性质求值证明 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若的周长为_______． 【变式1】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，四边形与四边形关于边所在的直线对称．若，，则 ． 【题型7】利用轴对称图形性质求最值 【例7】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【变式1】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【变式2】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【题型8】折叠问题 【例7】（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． （1）求的度数； （2）求的值． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【考点三】旋转 【题型9】旋转、平移、轴对称图形综合识别 【例9】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（    ）    A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转 【点拨】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键． 【变式】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【题型10】旋转中心、旋转角、对应点 【例10】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知四边形是正方形，点E在上，将经顺时针旋转后与完全重合，再将线段向右平移后与完全重合. （1）旋转的中心是 ；旋转角度是 ； （2）试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由. 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（21-22八年级下·福建三明·期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是 ．    【题型11】利用旋转性质求值证明 【例11】（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）如图，规定：在网格中每个小格的边长为1个单位长度，作三角形，其顶点都在网格顶点上，将三角形绕点顺时针旋转，得到三角形，点的对应点为，点在上，旋转后对应点为点，连接 （1）如图1，三角形绕点顺时针旋转得到三角形． ①旋转角为___________；在图1中画出点，并连接； ②若，则___________； （2）某同学发现，在旋转过程中会存在一个时刻，使是的平分线，如图2，求此时的度数 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点落在边上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ． 【考点四】平移、轴对称、旋转综合 【题型12】平移、轴对称、旋转综合题 【例12】（24-25八年级上·湖南郴州·开学考试）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； （2）把以点为中心，顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的； 【变式1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图． （1）将线段平移，使平移后的线段经过点． ①请在图中画出一条符合要求的线段； ②写出线段平移至线段的方法； （2）第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A与翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则 ． 【题型13】平移、轴对称、旋转规律问题 【例13】（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 【变式】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$