专题4.2 认识三角形（分层练习）（精选精练）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.2 认识三角形（分层练习）（精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（  ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 5．（2025·贵州黔南·一模）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·云南迪庆·期末）一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南漯河·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，四边形被其一条对角线分成两个三角形，若两个均为等腰三角形，则x值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 10．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图所示，直线，，，则的度数为 °．    11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，图中的值为 ． 13．（24-25八年级上·河南周口·期中）一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，如果，那么 ． 14．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，在中，，延长BC到点D，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得……依此规律，则 ．    三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的直角三角形中，斜边为，两直角边分别为，，设，，． （1）试用所学知识说明，斜边是最长的边； （2）试化简． 16．（本小题满分8分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，是中边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 17．（本小题满分10分）（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 18．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论证明 （1）已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 知识应用 （2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 20．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直线，平分，平分，，，则的度数是 ． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 22．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    23．（20-21八年级下·江西九江·期末）在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（21-22八年级上·北京·期中）如图，是的角平分线，，交于，求． 25．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，已知线段，，点在上，连接． （1）若，，求的度数； （2）已知点在线段上（不与点，重合），过点作交于点．求证：． 26．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点，除外）边上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 27．（本小题满分12分）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： （1）根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； （2）如图3，点在上，求证：； （3）如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5 29．（本小题满分5分）（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 30．（本小题满分10分）（2016·河北·中考真题）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°．…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 认识三角形（分层练习）（精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的性质， 根据三角形内角和为180度得出，在结合，即可得出，则可得出答案． 解：因为， 所以 所以， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 解：，，， ，， ， 故选： B． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（  ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余，判断即可． 解：∵， ∴，， 故与互为余角，与互为余角，故A、B正确，不符合题意； ∵， ∴，， 故与互为余角，与互为余角，故C正确，不符合题意，D不正确，符合题意； 故选：D． 5．（2025·贵州黔南·一模）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 解：如图所示，， 根据题意，， 在中，， ∴， 故选：C ． 6．（24-25八年级上·云南迪庆·期末）一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，三角形两边之差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．解决本题的关键是根据三角形三边之间的关系得到第三边的取值范围，在取值范围内选一个数即可． 解：设这个三角形的第三条边的长度为， 三角形两边的长分别是和， ， 整理得：， 这个三角形第三边的长可能是． 故选：C． 7．（24-25八年级上·河南漯河·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形高线的定义，熟记三角形高线的概念并灵活判断是解题的关键； 首先熟悉高线的概念：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高线，根据高线的概念，判断选项中线段是否为的高，即可得到答案. 解：根据三角形高的定义可知，选项D中是的高. 故选：D 8．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，四边形被其一条对角线分成两个三角形，若两个均为等腰三角形，则x值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的任意一半大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．根据三角形三边关系求解即可． 解：由图得：，， ∴， ∴值为3， 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】13或11 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当3为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为3， ，能组成三角形． 此时三角形的周长为； 综上可知，此三角形的周长为13或11． 故答案为：13或11． 10．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图所示，直线，，，则的度数为 °．    【答案】40 【分析】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解：如图，∵直线， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为．    11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差关系，由题意可得，即得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，一元一次方程，解题关键是运用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和得出关系式，由三角形外角性质可得结论． 解：∵三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和， ， 解得：， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河南周口·期中）一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先求出，再根据三角形的外角性质求出即可． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，在中，，延长BC到点D，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得……依此规律，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 解：、分别平分和， ，， 而，， ， ， 同理可得， 即， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的直角三角形中，斜边为，两直角边分别为，，设，，． （1）试用所学知识说明，斜边是最长的边； （2）试化简． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查线段长短比较及去绝对值问题，侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力，解题的关键是掌握线段长度比较方法． （1）利用垂线段最短即可确定出的长短关系，问题即可解答； （2）由三角形三边关系可以得到，结合（1）即可去掉绝对值号，然后合并同类项解答题目． 解：（1）解：因为点与直线上点，的连线中，是垂线段，所以． 因为点与直线上点，的连线中，是垂线段，所以， 所以，，中，斜边最长． （2）解：因为，，， 所以，，， 所以 ． 16．（本小题满分8分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，是中边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高，先根据是的高得出，再在中利用三角形内角和求出，接着根据平分得出，最后求的度数． 解：是中边上的高， ， ， 平分， ， ． 17．（本小题满分10分）（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 18．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论证明 （1）已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 知识应用 （2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质； （1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质先求出，． 解：（1）证明：如图1中，∵，， ∴． （2）如图2中，∵， ∴； ∵， ∴ 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边长为，然后根据三角形的三边关系可得关于的不等式组，解不等式组即可求出答案． 解：等腰三角形的周长为，腰长为，则底边长为， 根据三边关系可得，，解得，； ，解得，， 的取值范围是． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直线，平分，平分，，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义可得，作，由平行线的性质可得，，进而可求得． 本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 解：∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 23．（20-21八年级下·江西九江·期末）在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】20°或27.5°或35° 【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠B＝70°， ∴∠BAD＝∠B＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝20°； ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠B＝70°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（21-22八年级上·北京·期中）如图，是的角平分线，，交于，求． 【答案】 【分析】考查的是平行线的性质、角平分线的性质及三角形内角与外角的关系，根据三角形外角的性质得到的度数是关键； 利用三角形的外角性质先求，再根据角平分线的定义，可得，运用平行线的性质得的度数． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 25．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，已知线段，，点在上，连接． （1）若，，求的度数； （2）已知点在线段上（不与点，重合），过点作交于点．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． （1）直接根据三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和求解即可； （2）由三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角得，由平行线的性质得，进而可得结论． 解：（1）解：∵是的外角，，， ∴； （2）证明：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点，除外）边上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． （1）先根据三角形外角的性质得出，由三角形内角和得，进而求出，然后根据即可得出结论； （2）利用（1）的思路与方法解答即可． 解：（1）解：因为，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：．理由：设， 则， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 27．（本小题满分12分）（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： （1）根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； （2）如图3，点在上，求证：； （3）如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）成立，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 解：（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5 【答案】A 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案． 解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确； 由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知 B选项为∠2＞∠3， C选项为∠1=∠4+∠5， D选项为∠2＞∠5． 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断． 29．（本小题满分5分）（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 30．（本小题满分10分）（2016·河北·中考真题）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°．…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为 ． 【答案】6 【分析】MN⊥OB时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠1、∠3、∠9的度数，从而得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题． 解：如图： 当MN⊥OA时，光线沿原路返回，如图： ∴∠4=∠3=90°-7°=83°=90°-1×7°=83°， ∴∠6=∠5=∠4-∠AOB=83°-7°=76°=90°-2×7°， ∴∠8=∠7=∠6-∠AOB=76°-7°=69°=90°-3×7°， ∴∠9=∠8-∠AOB=69°-7°=62°=90°-4×7°， 由以上规律可知，∠A=90°-2n•7°， 当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为6°， 当MN⊥OB时，光线也能沿原路返回，如图： ∴∠1=∠2=90°-7°=83°=90°-1×7°=83°， ∴∠4=∠5=∠2-∠AOB=83°-7°=76°=90°-2×7°， ∴∠3=∠6=∠5-∠AOB=76°-7°=69°=90°-3×7°， ∴∠7=∠8=∠6-∠AOB=69°-7°=62°=90°-4×7°， ∴∠9=∠8-∠AOB=90°-5×7°=55°， 由以上规律可知，∠A=90°-（2n-1）•7°， 当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为13°， 综上，∠A的最小值为6°． 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键． 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