第2章 二元一次方程组（单元测试·培优卷）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第2章 二元一次方程组（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（22-23七年级下·云南楚雄·期末）若是关于的二元一次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知和都满足方程，则的值分别为（   ） A． B． C．5，3 D．5，7 4．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （     ） A． B．3 C．2 D． 5．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组则的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．（22-23七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）在等式中，当时，；当时，．则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 8．（19-20七年级上·广西贺州·期末）已知（n为自然数），且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2023·浙江衢州·一模）若x、y是两个实数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·全国·期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）若是关于的二元一次方程，则的值等于 ． 13．（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知满足方程组，则 ． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组，则 ． 15．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知n个数，它们每一个数只能取0，1，这三个数中的一个，且满足，则的值是 ． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）根据图中所给的信息，购买4件T恤和6瓶矿泉水需要花费 元． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1）； （2） 20．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·广东佛山·期末）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 22．（本小题满分10分）（21-22七年级下·河南南阳·阶段练习）知识积累：解方程组． 解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法． （1）拓展提高：运用上述方法解下列方程组：． （2）能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是　　． 23．（本小题满分10分）（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　 　． （2）解方程； （3）已知关于x、y的方程组，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·四川达州·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元． （1）求、的值； （2）如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ （3）小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C A D B C A 1．B 【分析】首先把所给的方程化为，然后根据二元一次方程的定义可得和的系数不为零，即可求得的取值范围． 解：∵， ∴， 根据二元一次方程的定义可得： ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 2．C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 3．A 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程的应用，将和代入方程，得k、b的方程组，解方程组即可． 解：将知和代入方程，得： ， 解这个方程组，得． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确求出、的值是解题的关键． 先求出方程组的解，然后代入方程中即可求出的值． 解：， ②①得，，即， 把代入①得，， 把、的值代入中，得， 解得：． 故选：C． 5．C 【分析】将整体代入即可． 解：∵， ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查了代数式求值，本题不需要方程， 只需要整体思想的应用求解． 6．A 【分析】将两组的值代入可得一个关于的方程组，解方程组即可得． 解：由题意得：，即， 解得， 故选：A． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 7．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟知方程组无解的含义．由第二个方程可得，将此式代入第一个方程可以得到一个关于解的方程，当分母为零时原方程组无解，即可得的值． 解：原方程组， 由（2）式得，代入（1）式得： ， 解得，当时原方程组无解，． 故选：D 8．B 【分析】先根据已知条件，列出关于，的方程组，求出，，再根据定义代入计算即可． 解：，，， ， 得：， 把代入得：， ， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，求出，的值． 9．C 【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可． 解：当，时，原方程组为：，方程组无解； 当，时，原方程组为：，解得，； 当，时，原方程组为：，方程组无解； 当，时，原方程组为：，方程组无解； 综上得，原方程组的解为：， ∴， 故答案选C． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键． 10．A 【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解． 解： 由②×3，得 6x+9y+3z=102④， 由④-①，得 3x+7y+2z=63⑤， 由⑤-①，得 5y+z=24， ∴a=24， 由③×3，得 3x+6y+9z=78⑥， 由⑥-①，得 4y+8z=39， ∴b=4， 故选：A． 【点拨】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 11． 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案． 解：将代入方程，得， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解二元一次方程组，理解二元一次方程的概念是解题的关键．根据二元一次方程的概念列出方程组求解即可解答． 解：∵是关于的二元一次方程， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 解：将方程组中的两个方程相加得，， 即， ∴， 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 15． 【分析】本题考查的是规律型：数字的变化类以及解二元一次方程组，结合数列中数的特点找出规律列出方程组是解答此题的关键． 设该数列中含有a个1，b个，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出a、b的值，再将其代入到中即可得出结论． 解：设该数列中含有a个1，b个， 根据题意得， ∴ ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 17．92 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设1件T恤的单价为元，一瓶矿泉水的单价为元，根据图中信息，列出方程组进行求解即可． 解：设1件T恤的单价为元，一瓶矿泉水的单价为元，由题意，得： ，解得：， ∴购买4件T恤和6瓶矿泉水需要花费（元）； 故答案为：92． 18．、、 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得： 解得：， 答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、． 故答案为：、、． 19．（1）；（2） 【分析】（）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想和加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 解：（1）解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：，得③， ，得， ④， 将④代入③，得， ⑤， ，得， 解得, 将代入⑤，得， 解得， ∴方程组的解为． 20． 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用题意解方程即可，熟练计算是解题的关键． 解：解法一：， ，得，即③， ，得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； 解法二：， ，得，即， 所以③．把③代入②， 得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 21．（1）600人，13辆；（2）租用45座12辆，60座1辆费用最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，解题关键是找到题目中的等量关系． （1）根据题目中等量关系：45座客车的座位数45座客车车辆数总人数，60座客车座位数（45座客车车辆数-3）等于总人数，列方程组求解即可； （2）设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则得，取正整数解，计算相应的费用，并与只租用45座客车和只租用60座客车的费用进行比较即可得出答案． 解：（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得，解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． （2）解： 设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则 ， 解得整数解为，，， 当时，费用：， 当时，费用：， 当时，费用： ， 由（1）得只租用45座客车，则需要14辆，费用：， 只租用60座客车，则需要10辆，费用：， ， 租用12辆45座客车，1辆60座客车费用最省． 22．（1）；（2） 【分析】（1）仿照原题提供的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答． 解：（1）解：设1＝x，2＝y， ∴原方程组可变为： ， 解这个方程组得：， ， 所以：； （2）解：设， 可得：， 解得：． 故答案为： 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． 23．（1）9；（2）；（3）25 【分析】（1）将变形为，再整体代入计算即可； （2）将方程①变形为，将方程②变形为，把③代入④，解得：，把代入③，解得：，即可得方程组的解； （3）将方程①变形为，将方程②变形为，再由即可求解． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：， 由①得， 由②得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴； （3）解：， 由①得， 由②得， 由得． 【点拨】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．注意整体思想的运用． 24．（1），；（2）吨；（3）吨 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出关于，的二元一次方程组，即可求解； （2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解； （3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解． 解：（1）由题意得： 解①，得：， 将代入②，解得：， ． （2）， 设小王家这个月用水吨（），由题意得： ， 解得：， 答：小王家这个月用水吨． （3）设小王家11月份用水吨， 当时，， 解得：； 当时， 解得（舍去）， 答：小王家11月份用水吨． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$