专题01 平面向量中的范围与最值问题七种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题01 平面向量中的范围与最值问题七种考法 一、方法讲解 1.三角向量不等式 ，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 2.定义法 ①利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 ②运用基木不等式求其最值问题 3.坐标法和基底法 基底法： ①利用其底转化向量 ②根据向量运算律化简目标 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 坐标法： ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 ②将平面向量的运算坐标化 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.几何意义法 ①先确定向量所表达的点的轨迹 ②根据直线与曲线位置关系列式求解 5.极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （2）极化恒等式： ————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） ( A B C M ) 6.等和线 （1）平面向量共线定理推论 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 7.向量对角线定理 8.中线长定理 推广：为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 二、重难点例题及变式 类型一、利用三角向量不等式 例．设向量，则的最小值为 . 【变式训练1】已知，则向量的范围是 ． 【变式训练2】已知，，则的范围是 . 类型二、利用定义法求参数的取值范围 例．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 【变式训练1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（  ） A．3 B．2 C． D． 类型三、利用基底法和坐标法求参数的取值范围 例．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【变式训练1】已知的内角的对边分别为，若，，为的中点，为的中点，，则的最大值为 . 【变式训练2】在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 类型四、利用几何意义法求参数的取值范围 例．已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【变式训练1】在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（  ） A．4 B． C．3 D． 【变式训练2】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 类型五、利用极化恒等式求参数的取值范围 例．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【变式训练1】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．3 D． 类型六、利用等和线、等差线、等商线求参数的取值范围 例．如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .    【变式训练1】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【变式训练2】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 类型七、利用中线长定理求参数的取值范围 例．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【变式训练1】半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______. 【变式训练2】如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 三、能力测试练 1．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（  ） A．2 B． C．1 D． 2．在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（  ） A． B． C． D．3 3．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 4．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 5．（多选）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（  ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 6.（多选）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（  ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 7.在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 8．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 9．如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求的值； (3)试确定点的位置，使得最小. 10．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量中的范围与最值问题七种考法 一、方法讲解 1.三角向量不等式 ，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 2.定义法 ①利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 ②运用基木不等式求其最值问题 3.坐标法和基底法 基底法： ①利用其底转化向量 ②根据向量运算律化简目标 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 坐标法： ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 ②将平面向量的运算坐标化 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.几何意义法 ①先确定向量所表达的点的轨迹 ②根据直线与曲线位置关系列式求解 5.极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （2）极化恒等式： ————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） ( A B C M ) 6.等和线 （1）平面向量共线定理推论 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 7.向量对角线定理 8.中线长定理 推广：为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 二、重难点例题及变式 类型一、利用三角向量不等式 例．设向量，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 【变式训练1】已知，则向量的范围是 ． 【答案】 【解析】设， 所以①, 一方面，， 当且仅当与同向，与同向时取得最大值， 另一方面，， 其中，当且仅当与反向时取得最小值． 故． 故答案为： 【变式训练2】已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，， ，…①； ，…②； ①②得：，， （当且仅当时取等号）， 则，； （当且仅当与同向时取等号）， 的取值范围为. 故答案为： 类型二、利用定义法求参数的取值范围 例．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】/ 【解析】设，则，设向量、的夹角为， 若，则，可得， 由题意可得，解得， 所以，，， 所以，， 当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值， 且. 故答案为：. 【变式训练1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：C. 【变式训练2】已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（  ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图:令，，则，故. 因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上. 设，连接，因为，所以点在直线上. 因为，所以，即，所以. 结合图形可知，当时，即取得最大值，且. 故选：D. 类型三、利用基底法和坐标法求参数的取值范围 例．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 【变式训练1】已知的内角的对边分别为，若，，为的中点，为的中点，，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为为的中点，为的中点， 所以, 因为，所以，所以 则， 所以. 因为，所以由余弦定理得， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【变式训练2】在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当点在上时，设， 则，即，故， 当点在上时，设， 则，即，解得， 故， 当点在上时，设， 则，即，故 综上，的取值范围是. 故选：B. 类型四、利用几何意义法求参数的取值范围 例．已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 / 【解析】因为，，， 所以， 又，所以， 因为，，，如图，设，，， 则，， 又向量与的夹角为，则，又， 所以四点共圆，又， 所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理，所以的最大值为. 故答案为：； 【变式训练1】在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（  ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 【变式训练2】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 类型五、利用极化恒等式求参数的取值范围 例．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练1】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 【变式训练2】点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 类型六、利用等和线、等差线、等商线求参数的取值范围 例．如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .    【答案】 4 【解析】设，令， 因为，所以， 所以， 又与分别共线，所以，解得. 因为， 所以，即， 解得，即. 因为， 所以， 所以， 因为共线，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：4；. 【变式训练1】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练2】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 因为，所以 又，所以 ，所以 , 三点共线，，化简得； ，当且仅当，，取等； 故答案为：. 类型七、利用中线长定理求参数的取值范围 例．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有. 设为和的夹角. 则 ， ， （当即时取等） 因为，所以当时，有最小值. ， （当即时取等） 当时，有最大值为3， 即有最大值3，所以的取值范围是. 故答案为： 【变式训练1】半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上， 所以， ， 因为 ， 所以，， 因为， 当且仅当、同向且、反向时，， 当时，则，所以，， 所以，，所以，， 因为，则， 故当且四边形为菱形时，， 因此，. 故答案为： 【变式训练2】如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图可知,，， 因为是的中点，所以， 所以， 即， 所以， 由条件可得，，， 因为P为AC边上的一个动点， 故当P为AC中点时，最小，此时， 当P为A或C时，最大，， 所以， 所以，又因为， 所以. 故选：C. 三、能力测试练 1．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】设的中点为， 则 （当为中点时取等号）. 故选：C. 2．在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】 以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴， 因为，所以, 因为，所以, , 当时，的最大值为3. 故选：D. 3．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 4．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，由两边平方得，，整理得，， 因是非零不共线向量，则，即，解得，， 此时函数是增函数，故，即的取值范围为. 故选：D 5．（多选）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（  ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 【答案】BD 【解析】因为，所以， 又， 因为、、三点共线，所以， 又，为正实数，所以， 当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确； ， 当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确. 故选：BD 6.（多选）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（  ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 【答案】BCD 【解析】 如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错； 在三角形中由余弦定理得, 解得，则，， ， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系， ，，，，，，，，， 当点在上时，， 当点在上时，设，， ， 则，，， 所以当时，最大为， 当点在上时，设，， ， 则，，， 当时，最大为， 综上可得，当点在点处时最大为，故B正确； 根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小， 此时，故C正确； 取中点，则， 因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 7.在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；. 8．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 【答案】 6 【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 9．如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求的值； (3)试确定点的位置，使得最小. 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析 【解析】（1），，，， ，， ， ； （2） （3）设()，则， ， 当时，即时，最小. 10．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【答案】（1）；（2）－3 【解析】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$