精品解析：江苏省常州市溧阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

溧阳市2024～2025学年度第一学期期末质量调研测试 九年级数学试题 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若锐角，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：，则这组数据的众数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ） A B. C. D. 6. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 已知为锐角，若，则______． 10. 若抛物线的图像与轴有且只有一个交点，______． 11. 已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则______． 12. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________． 13. 若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______． 14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 15. 小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用测量计算方法：在小溪这边的点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，已知小明的眼睛离地面距离为1.6米，点、点与古树在一条直线上，则古树的高度为______米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）． 16. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 17. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 18. 已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 20. 计算： （1）； （2） 21. 二次函数的图象经过点． （1）求二次函数对称轴； （2）当点坐标为时， ①求出此时二次函数的表达式； ②求出此时函数图像与直线的交点坐标． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在网格中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且； （2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长． 23. 如图，在中，是的直径，，点是上异于的任一点，连接，过点作射线，点是射线上一点，连接，当点在上运动时，始终保持． （1）当与相切时，求长度； （2）当时，求的值． 24. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）写出每天所得利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数） 25. 在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：______，______； 发现结论：______（填“”或“”）； （2）如图，在中，，，，求值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______； （3）在中，为锐角，，，．求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求出该二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）如图，若将（）中的二次函数顶点沿直线平移，移动后的抛物线的顶点为，与的交点为，当时，直接写出此时的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 溧阳市2024～2025学年度第一学期期末质量调研测试 九年级数学试题 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若锐角，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】∵锐角， ∴． 故选：B． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 已知一组数据：，则这组数据的众数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题出了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据这个定义即可求解． 【详解】解：在中，6出现的次数最多， 则这组数据的众数为6， 故选：D 4. 如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设件上衣分别为，对应的裤子分别为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中取自同一套的有种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故选：． 6. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则， 故选：C． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点，二次函数的性质．先利用配方法得到，则抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则可对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 所以C选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 所以A选项不符合题意，D选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为位于x轴上方， ∴抛物线与x轴有2个交点， 所以B选项不符合题意． 故选：D． 8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴2， ∴， ∴， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴可因式分解为， 故结论③错误，不符合题意； ∵可因式分解为， ∴方程可化为， ∴， 即， ∴ ， ∵，， ， 即方程有实数根， 故结论④错误，不符合题意， ∴正确的结论为②， 故选：A． 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 已知为锐角，若，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值． 根据为锐角，且，即可求出的度数． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故答案为：45． 10. 若抛物线的图像与轴有且只有一个交点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（是常数，）与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，决定抛物线与轴的交点个数． 根据抛物线与轴有且只有一个交点，可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式得到，进而求出的值． 【详解】解：抛物线的图像与轴有且只有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案：． 11. 已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数，由数据可得平均数为，再分中位数为，和解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据的平均数为， 若中位数为，则，解得； 若中位数为，则，解得； 若中位数为，则，解得； 综上，或或， 故答案为：或或． 12. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________． 【答案】 【解析】 【分析】先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：∵数据1，2，x，3，4的平均数是3， ∴ (1+2+x+3+4)÷5=3 ， 解得： x=5 ， ∴方差 S2=[(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)2]÷5=2 故答案为： 2 ． 【点睛】本题考查了平均数与方差，解题的关键在于明确平均数是所有数据的和除以数据的个数；方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数． 13. 若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键． 解：设扇形的圆心角度数为，则， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴此圆锥的高， 故答案为：． 14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性求得即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点关于对称轴的对称点为，， ∴， 故答案为：． 15. 小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用测量计算方法：在小溪这边的点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，已知小明的眼睛离地面距离为1.6米，点、点与古树在一条直线上，则古树的高度为______米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设米，用含x的代数式表示出和的长，再根据可得x的值，再代入三角函数值计算即可． 【详解】解：如图， 设米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴（米）， ∵小明的眼睛离地面距离为1.6米， ∴古树的高度为米， 故答案为：． 16. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 17. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值． 【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示， ， ， 设每个小正方形的边长为， 由图可知：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 18. 已知二次函数图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （3）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：方程化为一般式为， ∴， ∴或， ∴． 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后计算乘方，再计算乘除法，最后再计算加减法． （2）先把特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的对称轴； （2）当点坐标为时， ①求出此时二次函数的表达式； ②求出此时函数图像与直线的交点坐标． 【答案】（1）直线 （2）①②和 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）①用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可． ②联立一次函数与二次函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：二次函数的对称轴为： 直线． 【小问2详解】 解：将点代入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：． ②联立方程组， 解得：或， 则二次函数图像与直线的交点坐标为和， 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在网格中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且； （2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解直角三角形． （1）构造一个直角边分别为，的直角三角形即可； （2）构造一个直角边分别为，的直角三角形，且满足即可． 【小问1详解】 解：如图， 由勾股定理得：， ，， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，是的直径，，点是上异于的任一点，连接，过点作射线，点是射线上一点，连接，当点在上运动时，始终保持． （1）当与相切时，求的长度； （2）当时，求的值． 【答案】（1）的长度是 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）由是的直径，，得，由，，得，连接，由切线的性质得，则，所以是等边三角形，则，由，求得，再根据勾股定理即可求解 ； （2）连接，则，由，则，所以是等边三角形，则，再证明四边形是平行四边形，则，所以，由，得． 【小问1详解】 解：∵是的直径，， ， ， ， 如图1，连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴的长度是 ． 【小问2详解】 解：如图2，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数） 【答案】（1）12元或10元；（2）y=﹣4（x﹣11）2+144，售价为11元时，利润最大，最大利润为144元． 【解析】 【分析】（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论； （2）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值． 【详解】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元， 根据题意，得：（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]=140， 解得：x1=12、x2=10， 答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元． （2）根据题意，得：y=（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]=﹣4x2+88x﹣340=﹣4（x﹣11）2+144， 故当x=11时，y最大=144， 答：售价为11元时，利润最大，最大利润为144元． 【点睛】考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键． 25. 在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：______，______； 发现结论：______（填“”或“”）； （2）如图，在中，，，，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______； （3）在中，为锐角，，，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键． （1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可； （2）根据正切的定义，在中求的正切值即可； （3）过点作于点，在上截取，连接，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据角的正切值，设，则，得到，，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 设，则， ，，， ， ， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得：（舍），， ， ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求出该二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）如图，若将（）中的二次函数顶点沿直线平移，移动后的抛物线的顶点为，与的交点为，当时，直接写出此时的函数表达式． 【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的表达式，进而把表达式转化为顶点式即可求出点的坐标； （）分两种情况：①当点在第一象限时；②当点在第三象限时，分别画出图形，根据二次函数图象平移的性质及三角函数解答即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①当点在第一象限时，设点，过点作轴于点，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴函数表达式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或(不合，舍去)， ∴； ②当点在第三象限时，设，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，三角函数，掌握二次函数平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$