精品解析：山东省日照市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024级高一上学期期末校际联合考试 数学 2025.01 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答題卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 设a，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在的区间为 A. B. C. D. 5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 32 D. 36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 的最小值为6 11. 现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B. 不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C. 丙队积分为3分的概率为 D. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1，3)，则不等式|f(2x－1)|<3的解集为____. 14. 已知函数是定义在上的增函数，当时，.若，其中，则__________.. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. （1）求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 17. 日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明，绿茶用85oC的水泡制，等到茶水温度降至55℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 8500 79.00 7360 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从85℃开始，经过后的温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：①（，）；②（，，）；③（，，）. （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据：，） 18. 已知函数（，）是奇函数. （1）求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； （2）当时，函数值域是，求实数与的值： （3）当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 19. 已知集合，任取，，定义. （1）当且时，写出满足的所有元素； （2）若，，且满足，求的最大值； （3）若子集满足：，，，成立，求集合中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一上学期期末校际联合考试 数学 2025.01 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答題卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有意义满足的条件即可求解. 【详解】由已知可得，所以且， 所以函数的定义域是. 故选：. 3. 设a，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可得充分性不成立，由不等式的性质可得必要性成立，即可求解. 【详解】令，，满足，但，； 当且时，能得到， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：. 4. 函数的零点所在的区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】由题意知,,,,,, 因为,所以是函数的零点所在的一个区间. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题. 5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为事件相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 7. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据题意，分和讨论求解. 【详解】当时，由，可得，即，解得， 当时，由，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 32 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合思想来求双变量的最大值即可. 【详解】由函数，若对任意的，不等式恒成立， 作出两个二次函数图象和动直线， 利用数形结合分析： 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大， 此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为， 则求导可得，所以过切点的切线方程为：， 当切线过点时，有，解得或， 因为，所以此时满足题意，故切线方程为：， 此时，故， 故选：D. 【点睛】方法点睛：运用数形结合思想，可以作出两个二次函数，在共同的定义域内的部分图象，再作出一次函数直线介于两图象之间，从而分析斜率达到最小，轴截距达到最大的位置，通过图形可得过点A作函数的切线即可满足题意. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 【答案】AD 【解析】 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 11. 现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B. 不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C. 丙队积分为3分的概率为 D. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平分析判断；对C，分两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，讨论求解；对D，根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】对于A，甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜丙，乙胜丁，不可能同时发生，故它们是互斥事件，故A正确； 对于B，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，故B错误； 对于C，丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场， 若丙胜1负2场，则其概率为， 若丙平3场，则其概率为， 所以丙队积分为3分的概率为，故C正确； 对于D，甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算得解. 【详解】由，即，则，得. 故答案为：2. 13. 函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1，3)，则不等式|f(2x－1)|<3的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的增减性和经过A(－2，－3)和B(1，3)，确定|f(2x－1)|<3自变量取值范围，再解不等式即可 【详解】因为y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1，3)，所以f(－2)＝－3，f（1）＝3.又|f(2x－1)|<3，所以－3<f(2x－1)<3，即f(－2)<f(2x－1)<f（1）．因为函数y＝f(x)是R上的增函数， 所以－2<2x－1<1，即即所以， 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查由函数的增减性求自变量取值范围，常用以下方法： （1）分析函数的增减性和奇偶性； （2）采用去“”的方式解关于自变量的不等式. 14. 已知函数是定义在上的增函数，当时，.若，其中，则__________.. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，用列举法一一验证即可. 【详解】由题意，成立，否则若，则，即， 矛盾，故， 可知，所以，所以， 若，得，所以，矛盾； 若，得，所以，这与是上的增函数矛盾； 所以， ，得，，得， ，可得. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用反证法证明成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【小问1详解】 由题意可得，，. 【小问2详解】 由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 16. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. （1）求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 【答案】（1）0.06，174.1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率，用每组数据中点值乘以相应频率相加即得平均数； （2）确定第6组和第8组的人数，分别编号后用列举法写出样本空间，计数后可计算出概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 所以第七组的频率为； 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第八组的频率为， 估计该校的800名男生的身高的平均数为； 【小问2详解】 第六组有4人，记为a，b，c，d， 第八组的人数为，记这2人分别为A，B， 因此样本空间可记为，共包含15个样本点， 记事件E：随机抽取的两名男生在同一组， 则，包含7个样本点， 所以，所以抽取的两名男生在同一组的概率为. 17. 日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明，绿茶用85oC的水泡制，等到茶水温度降至55℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从85℃开始，经过后的温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：①（，）；②（，，）；③（，，）. （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据：，） 【答案】（1）选择②， （2）6.5min 【解析】 【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式. （2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【小问1详解】 根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢， 选择②（，，）作为函数模型. 将表中前三组的数据代入，得，解得， 所以函数模型的解析式为：. 小问2详解】 由（1）中函数模型，得，得， ，. 所以刚泡好的绿茶大约放置6.5min能达到最佳饮用口感. 18. 已知函数（，）是奇函数. （1）求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； （2）当时，函数的值域是，求实数与的值： （3）当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】（1），在上单调递增. （2），. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义列式求出，分和讨论，利用复合函数单调性判断； （2）分析所给区间是函数定义域的子集，从而得出的范围，确定函数的增减性，再由单调性求其值域即可； （3）先分析二次函数在上单调递减，利用函数单调性得到，即可分析出关系式． 【小问1详解】 由已知条件得对定义域中的均成立， 所以，即， 整理得，对定义域中的均成立，即，所以， 当时，无意义，故舍去，当时，为奇函数，故. 所以， 当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递减，则在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，故函数的定义域为， ①若，则，所以函数在区间上为增函数， 要使的值域为，则，无解； ②若，则，所以函数在区间上为减函数， 要使的值域为，则，解得，， 综上，，. 【小问3详解】 由题可得：， 则函数的对称轴为， 因为，所以，故函数在上单调递减， 要使得时恒成立，则， 由，得； 又，即，所以， 即，所以， 故，所以. 又因为，故，解得， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减. 19. 已知集合，任取，，定义. （1）当且时，写出满足的所有元素； （2）若，，且满足，求的最大值； （3）若的子集满足：，，，成立，求集合中元素个数的最大值. 【答案】（1），，，； （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合新定义列举可得； （2）先根据，得到，再求解的最值； （3）用反证法说明中满足第个分量等于0的元素至多有一个，仅有两种情况满足题意，从而得出结论. 【小问1详解】 因为，， 所以满足的所有元素为，，，. 【小问2详解】 记，， 注意到，所以， 所以， 同理， 因为，所以， 所以，，…，，，，…，中有个量的值为1，n个量的值为0. 显然， 当且仅当时，等号成立. 例如，，此时，满足，. 所以最大值为. 【小问3详解】 由题意，， 对于任意，2，…，n，，，， 当时，恒有， 当，时，， 当，时，则， 记表示a，b中的最大值，则可转化为， 因为，，，成立， 且，所以. 所以，， 则对于中满足第个分量等于0的元素至多有一个.现证明如下： 假设中满足第个分量等于0的元素存在两个，即有，，， 则，，与已知矛盾； 故S中可能有的元素分为以下两种情况： ①每个分量都是1的，至多存在1个，②某个分量是0的至多各有1个，总计n个，所以， 当或时，满足题意且. 故所求最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，利用反证法证明对于中满足第个分量等于0的元素至多有一个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$