河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷以核心知识为载体，通过生活情境与综合问题设计，考查数学眼光、思维与语言的应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量、解三角形、充分条件、立体几何|第3题结合逻辑推理，第10题以杏花雨春游情境考统计量，体现数学观察现实世界| |填空题|3题/15分|概率、异面直线所成角、函数性质|第12题系统元件概率模型，第14题抽象函数不等式，考查数学思维严谨性| |解答题|5题/77分|复数、函数奇偶性、立体几何、利润模型|第18题企业生产利润函数建模，第19题菱形中立体几何综合，突出数学语言表达与问题解决|

高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 2. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 6．在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 7. 已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知直线 及平面 . 下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（   ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 13. 如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 14. 已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若是纯虚数，求实数的值: （2）若的实部与虚部相等，求. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，求的值． 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，，. （1）证明：； （2）证明：平面. 18．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ 19. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案: 1.【答案】D 【解析】 【分析】依据,直接计算即可. 【详解】由题可知:,所以. 故选:D 2.【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出的值,再结合三角形大边对大角的性质,判断出正确选项. 【详解】在中,由正弦定理得,, 所以, 由于,所以,又,所以. 3.【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性,结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】由于指数函数是单调递增的,所以, 所以当时,,即”是“”的充分条件; 当时,不一定成立,即”不是“”的必要条件; 综上所述,“”是“”的充分不必要条件,故A正确. 4.【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得:,所以 5.【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断. 【详解】对于A,若,,则与可以平行或相交,故A项错误; 对于B,若,,则与可以平行,异面,相交,故B项错误; 对于C,若,,,则与可以平行,异面,相交,故C项错误; 对于D,若,由线面平行的定义,存在,使得, 由得,而,得,故D项正确. 6.6.B 【分析】连接,则为直线与平面所成角,从而得到,所以当取最小值时取得最大值,求出的最小值,即可求出,连接,由勾股定理求出,即可得到点在以为圆心,为半径的圆(圆弧)上,且圆心角为,即可求出轨迹长. 【详解】连接,因为平面,所以为直线与平面所成角, 所以,又直线与平面所成角的最大值是, 所以,当且仅当取最小值时取得最大值, 因为,所以当时取最小值,此时, 所以, 又点在底面内,且,连接, 因为平面,平面,所以, 所以, 所以点在以为圆心,为半径的圆(圆弧)上,且圆心角为, 所以点的轨迹长为. 故选:B 7.【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线,则与共线,列出方程求出,再利用投影向量的公式可得答案. 【详解】, 若,,三点共线, 则与共线,, 解得,,, 则在上的投影向量的坐标为. 故选:D. 8.【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式,并结合已知表示出新数据的平均数以及方差,再求新数据方差的最小值. 【详解】设的平均数为,的平均数为,总体的平均数为,总体的方差为, 则, , 当且仅当时,等号成立. 所以数据,的方差的最小值为12. 9.【答案】BD 【解析】 【分析】由题设结合空间线,面关系可判断选项正误. 【详解】对于A,当 时,可能与平行,相交(包含垂直),故A错误; 对于B,因,,则在 内存在直线,使得,从而,故B正确; 对于C,若 ,则可能与平行或异面,故C错误; 对于D,当 时,结合线面垂直性质可得,故D正确. 10.【答案】AC 【解析】 【详解】将原始数据按从小到大排序:, 所以这组数据的极差为,故A正确; 这组数据的众数为,这组数据的中位数为,故B不正确; 由于,所以这组数据的下四分位数为8,故C正确; 这组数据的平均数为,所以方差,故D不正确 11.11.ACD 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A;由平面即为平面,结合平面判断B;由线面角的定义及已知求其正切值判断C;根据已知求外接球的半径,即可求表面积判断D. 【详解】由题设,,则, 由平面,平面,则, 都在平面内,则平面, 平面,则,A对; 由平面,即为平面,又平面,, 所以平面,即与平面相交,B错; 由平面,则直线与平面所成角为, 又 所以,C对; 由为等腰直角三角形,且,则,故其外接圆半径, 由平面,,则三棱锥外接球半径, 所以外接球的表面积,D对. 故选:ACD. 12.【答案】 【解析】 【分析】先计算元件至少有一个正常工作的概率,从而可得系统正常工作的概率. 【详解】因为元件至少有一个正常工作的概率为, 所以系统正常工作的概率为. 故答案为: 13.【答案】## 【解析】 【详解】连接,两者交于点,连接, 在正三棱柱中,可得,因点为的中点,则, 故异面直线与所成角即为直线与所成角,即或其补角. 不妨设,易得,,, 在中,由余弦定理,, 故异面直线与所成角的余弦值为. 14:【答案】 【解析】 【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解. 【详解】由题可知,是上的增函数,则不等式等价于,即, 函数在上单调递增,且, 所以不等式的解集为, 从而不等式的解集为. 15:【答案】(1) (2) 【解析】 【小问1详解】 因为复数为纯虚数, 所以, 解得. 【小问2详解】 根据题意得,, 解得:, 将代入复数的表达式中,得: , 故. 16:【答案】(1)是偶函数, 证明如下:由,可得, 则的定义域为,关于原点对称. , 所以是偶函数. (2)2 【解析】 【分析】(1)由奇偶函数的定义证明即可. (2)令函数,先求出是奇函数,则,即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令函数,则, 由(1)可知是偶函数, 因为 所以是奇函数,从而, . 17:【答案】(1)在正三棱柱中,平面,平面, 所以, 因为为等边三角形,为的中点,所以, 因为,、平面,所以平面, 因为平面,故. (2)连接交于点,连接, 在三棱柱中,,,故四边形为平行四边形, 因为,则为的中点, 又因为为的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面. 【解析】 【分析】(1)证明出平面,再利用线面垂直的性质可证得结论成立; (2)连接交于点,连接,由中位线的性质可得,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18.(1) (2)475台; (3)年产量在11台到4800台之间时,企业不亏本. 【分析】(1)根据利润函数=销售收入函数−成本函数,由此即可求出结果; (2)由利润函数是二次函数,可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值; (3)要使企业不亏本,则利润,根据分段函数,分类解不等式,即可求出结果. 【详解】(1)设利润为y万元, 得 , 即. (2)显然当时,企业会获得最大利润, 此时,, ,即年产量为475台时,企业所得利润最大. (3)要使企业不亏本,则. 即 或, 得或,即. 即年产量在11台到4800台之间时,企业不亏本. 19:【答案】(1)证明:因为点在底面上的射影是与的交点, 所以平面,因为平面,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为,且平面,所以平面. (2) (3) 【解析】 【分析】(1)由题可得平面,所以,根据菱形的性质可得,再根据线面垂直的判定定理即可证明; (2)由平面,得到是直线与平面所成角,在直角中,即可求解; (3)设点到平面的距离为,根据,列出方程,即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:因为平面,所以直线与平面所成角,即为, 又因为菱形的边长为且,可得为等边三角形,且, 因为是等边三角形,所以, 在直角中,可得, 因为,所以. 【小问3详解】 解:由题意,可得,与都是边长为是等边三角形, 所以,且, 所以, 因为,所以, 设点到平面的距离为,由,可得, 即,解得, 所以点到平面的距离为. 学科网(北京)股份有限公司 $