专题9.2 轴对称中的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

专题9.2 轴对称中的综合 · 典例分析 【典例1】如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 【解题过程】 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A． B． C． D．   2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 4．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，点D为的边上一点，点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（    ）    A．13 B．15 C．17 D．18 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，直线与直线相交，，点在内（不在、上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，……如此继续，得到一系列、、……与P重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 9．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    11．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有 个． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 14．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 16．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 19．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，直线是的对称轴，E，F是上的任意两点．若的面积为，求图中阴影部分的面积．    21．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路上设卡检查，再到公路上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？    23．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， （1）如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； （2）利用网格线作出与的对称轴； （3）结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）求出格点（顶点均在格点上）的面积______； （2）画出格点关于直线 对称的； （3）在上找一点 使得周长最小； （4）在上找一点，使得最大． 25．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    （1）连接，若求的周长； （2）若，求的度数． 26．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． （1）若，，求的长； （2）连接和，则和的位置关系为___________； （3）若，，，求的度数． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.2 轴对称中的综合 · 典例分析 【典例1】如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 【解题过程】 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A． B． C． D．   【思路点拨】 本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【解题过程】 解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了轴对称图形的特征，画轴对称图形,根据轴对称图形的特征逐步推理是解题的关键．从第4个图开始，根据轴对称图形的特征进行倒推，一直倒推到第一个图，即可判断答案． 【解题过程】 解：从第4个图反过来推得第三个图为： 再推得第二个图为： 最后推得第一个图为： 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【思路点拨】 本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，点D为的边上一点，点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（    ）    A．13 B．15 C．17 D．18 【思路点拨】 本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，进而得到得出的长，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【解题过程】 解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，，， ∴的周长． 故选：B． 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 【思路点拨】 本题考查成轴对称的性质，垂线段最短．连接，根据对称性得到，，三点共线，进而得到，根据垂线段最短，得到时，最小，利用等积法进行求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点M是上一点， ∴时，最小， 此时：， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选C． 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【思路点拨】 本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【解题过程】 解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 7．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，直线与直线相交，，点在内（不在、上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，……如此继续，得到一系列、、……与P重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查轴对称，根据题意画出图形进而得出每对称次回到点，进而得出符合题意的答案．根据题意得出点的变化规律是解题关键． 【解题过程】 解：如图所示：、、……，每对称次回到点， ∵与P重合，则能被整除， A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 8．（23-24八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【思路点拨】 本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，等积法求高，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，得到此时有最小值，再根据求出的长，即可得到答案． 【解题过程】 解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， 由对称的性质可知，，，， ，此时有最小值， ，，， ， ， ，即的最小值为， 故选：A 9．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【思路点拨】 本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 如图：在上取一点G，使，连接，作于H，可得出得到的最小值为的长，再求出的长即可． 【解题过程】 解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    【思路点拨】 本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义求解即可得． 【解题过程】 解：如图，共有以下5种选取涂黑方法：    故答案为：5． 11．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 【思路点拨】 本题考查设计轴对称图形，根据轴对称的性质，画出符合题意的点，即可得出结果． 【解题过程】 解：由题意，满足题意的点，如图所示： 满足题意的点，共有4个． 故答案为：4． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有 个． 【思路点拨】 此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【解题过程】 解：如图所示，格点三角形共有5个， 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 【思路点拨】 本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题的难点在于确定出不同的对称轴. 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【解题过程】 解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定、的位置．过的作关于的对称点，作于，交于，此时最短，即可求得的度数． 【解题过程】 解：过的作关于的对称点，作于，交于，此时，根据点到直线的距离最短可知最短， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 【思路点拨】 连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 【解题过程】 解：连接交于，如图，    ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键．作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 【解题过程】 解：作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴, 故答案为：4． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点，正确构造对称点是解题的关键． 作点P关于的对称点E,连接作点P关于的对称点F，连接由轴对称的性质可知，故当E，M，N，F四点共线时，的周长最小，再根据三角形的内角和定理和轴对称的性质即可求解． 【解题过程】 解：如图，作点P关于的对称点E,连接 ， 作点P关于的对称点F，连接 ， ，当E，M，N，F四点共线时，的周长最小． ， ， 又 ， ∴在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 【思路点拨】 本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解题过程】 解：作A点关于C的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接， ， ， 的周长 ，即此时的周长有最小值， 由轴对称的性质可得，， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，直线是的对称轴，E，F是上的任意两点．若的面积为，求图中阴影部分的面积．    【思路点拨】 本题考查了轴对称的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于的面积的一半是解题的关键．根据轴对称的性质判断出阴影部分的面积等于的面积的一半，然后计算即可得解． 【解题过程】 解：∵直线是的对称轴， ∴和关于直线成轴对称， ∴． ∵E，F是上的任意两点， ∴与关于直线成轴对称． ∴． ∴阴影部分的面积 ． 21．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【思路点拨】 本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【解题过程】 解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路上设卡检查，再到公路上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？    【思路点拨】 利用轴对称的性质及两点之间线段最短即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，作点A关于直线的对称点，作点B关于直线的对称点，连接，分别交直线，于点C，D，连接，则C，D两点为所设卡检查点． 点A关于直线的对称点为，点B关于直线的对称点为， ，， ， 根据两点之间线段最短，可得沿走，才能时总路程最短． 23．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， （1）如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； （2）利用网格线作出与的对称轴； （3）结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【思路点拨】 本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【解题过程】 （1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）求出格点（顶点均在格点上）的面积______； （2）画出格点关于直线 对称的； （3）在上找一点 使得周长最小； （4）在上找一点，使得最大． 【思路点拨】 （1）根据正方形面积减去三个直角三角形面积即可； （2）找出关于直线 对称的对应点，然后连接即可； （3）在（2）图中连接，交于点，则点即为所求； （4）延长交于点，则点即为所求； 此题考查了作图——轴对称变换，三角形三边关系，求三角形的面积，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【解题过程】 （1）解：面积为 ； （2）如图， ∴即为所求； （3）如图，连接，交于点， 由轴对称性质可知：， ∴周长为， 根据两点之间线段最短即可得知：当三点共线时周长最小， ∴点即为所求； （4）如图，延长交于点， ∵， ∴使得最大，则需三点共线时， ∴点即为所求． 25．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    （1）连接，若求的周长； （2）若，求的度数． 【思路点拨】 本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，即为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【解题过程】 （1）解：∵点P与点M关于对称， ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 26．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． （1）若，，求的长； （2）连接和，则和的位置关系为___________； （3）若，，，求的度数． 【思路点拨】 本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论； （3）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ； （2）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 故答案为：； （3）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$