4.4.3探索三角形相似的条件(3) 学案 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

4.4探索三角形相似的条件（3) 【学习目标】 1.通过画图理解“三边成比例的两个三角形相似”，并规范书写格式. 2.认识两种相似基本图形：“一线三垂直”相似型、“一线三等角”相似型； 3.会用选择合适的方法判定相似，并进行相关的推理与计算. 【知识回顾】 1. 相等的两个三角形相似. 2.射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 符号语言： 【预习探究】 1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 符号语言： 2.一线三直角 3.一线三等角 【新知精析】 ★题型一：网格中相似三角形的判定 例1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 针对训练： 1.已知在△ABC和△DEF中，AB=4，BC=5，AC=8，DE=6，DF=12，那么EF= 时，△ABC∽△DEF. 2.依据下列条件，判定△ABC∽△A/B/C/能相似的有（ ）（1）∠C=C/=90°,∠A=25°∠B/=65°； （2）∠C=90°，AC=6cm，BC=4cm，∠C/=90°，A/C/=9，B/C/=6. （3）AB=10，BC=12，AC=15；A/B/=1.5，B/C/=1.8，A/C/=2.25.（4）△ABC∽△A/B/C/为等腰三角形，且有一个角为80. A．1对 B．2对 C.3对 D．4对 3.如图，已知，求证：△ABC∽△DBE． ★题型二：利用“三边成比例的两个三角形相似”证明和计算 例2.如图，已知A（3，0），B（0，4），C（4，2），作CD⊥x轴于D，连接AB，BC，AC，证明：△ABC∽△ACD． 针对训练： 4.如图，E为正方形ABCD的边上的中点，AB=1，MN⊥DE交AB延长线于点M，交DC的延长线于点N，则CN= ， NE= . 4题图 5题图 5.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的重点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB·CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3． （1）求CD的长； （2）求证：△CDE∽△BDC． ★题型三：一线三等角型相似三角形 例3.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE的长. 针对训练： 7.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2，P为AD上的一点，满足 ∠BPC＝∠A． （1）求证；△ABP∽△DPC（2）求AP的长． 【拓展培优】 例4.如图1，已知A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC=90°. （1）求证：AE·BE=AD·BC； （2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一条直线上，且∠A=∠B=∠DEC，则（1）中的结论总成立.你同意嘛？请选择其中之一说明理由. 【思维特训】 如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，＝． （1） 当＝＝时，求证：△ABC∽△A′B′C′． 证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格． （2）当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$