第十八章 平行四边形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十八章 平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( ) A. B. C. D. 2．如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且,添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( ) A. B. C. D. 3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作，，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为和，则与的大小关系为( ) A. B. C. D.不能确定 4．如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D.平分 5．已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是( ) A.平方厘米 B.平方厘米 C.1平方厘米 D.平方厘米 6．下面是关于如图的不完整推理过程： ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； 为使推理成立,横线上可以添加的条件是( ) A. B. C. D. 7．如图,E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点,且,P为CE上任意一点,于点Q,于点R,则的值是( ) A. B.2 C. D. 8．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为( ) A.10° B.15° C.25° D.40° 9．如图为破裂的正方形玻璃，已知裂痕，，分别长，，，，则该正方形玻璃的边长为( ) A.5 B. C. D.6 10．如图,在中,,,两顶点A,B在y轴、x轴上滑动,点C在第一象限内,连接,则的最大值为( ) A.7 B.8 C.9 D. 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图,直线,点E、N位于直线上,点F、M、G位于直线上,且,若的面积为5,则的面积为______. 12．如图，在中，点E，F在对角线上，添加一个适当的条件，使四边形是平行四边形，这个条件可以是__________.(填一个条件即可，不添加任何辅助线) 13．如图，在矩形ABCD中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形. 14．将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______________. 15．如图, 在边长为6的菱形ABCD 中, , 点E 是 BC的中点, 连接ED 交 AC于点G, 若点F 是AG 的中点, 则EF 的长为__________. 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，. (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段AB、AO的中点，连接EF，，，求BC的长及四边形ABCD的面积. 17．（8分）如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若,,,求平行四边形ABCD的面积. 18．（8分）如图,过的顶点B作,以B为圆心,的长为半径画弧,交于点E,连接. (1)请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由； (2)若,求的度数. 19．（9分）中，D是射线上一点，连接，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F. 【探究】如图1，连接，若点D在线段上，且. （1）证明：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由. 【拓展】如图2，当点D在点B右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形. 20．（9分）如图,是矩形的对角线. (1)作线段的垂直平分线(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明)； (2)设的垂直平分线交于点E,交于点F,连接,. ①判断四边形的形状,并说明理由； ②若,,求四边形的周长. 21．（8分）阅读下面材料，完成相应的任务. 阿波罗尼奥斯定理 阿波罗尼奥斯(约公元前262－190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家.阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍. 如图，在中，点D为的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得. 下面是该定理的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E. 在中，由勾股定理，得. 同理可得，. 点D为的中点，. … 任务： (1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整； (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知点P为矩形内任意一点，求证：. 22．（12分）综合与探究 在中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若，，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2. ①当，时，求BE的长； 求证：. 23．（13分）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形. （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________. （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点H，展开，折痕为； 第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边上，展开，折痕为. 试说明：矩形是1阶奇妙矩形. （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注. （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由. 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：平行四边形对角相等,故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形,故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形,故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故D正确； 故选：D. 2．如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且,添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：A、∵、,∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵、,∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵,∴,. 在和中,,∴,∴, ∴四边形ABCD是平行四边形； D、由、,则四边形ABCD可能是平行四边形,也可能是等腰梯形. 故选：D. 3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作，，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为和，则与的大小关系为( ) A. B. C. D.不能确定 答案：A 解析：四边形ABCD是平行四边形，，， ，，，， 四边形GBEP、HPFD是平行四边形， 在和中，，，， ， ； 同理可得：，， 即，也即. 故选A. 4．如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D.平分 答案：D 解析：在矩形中，，但， 即便也无法证明与全等， 无法证明，故选项A不符合题意； 无法证明， 无法证明，故选项B不符合题意； 连接， 仅有，，无法证明与全等， 无法证明，故选项C不符合题意； 过点D作，，连接，， 在矩形中，， ， 又， ，即平分，故选项D符合题意， 故选：D. 5．已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是( ) A.平方厘米 B.平方厘米 C.1平方厘米 D.平方厘米 答案：A 解析：直角三角形斜边上的中线长为2厘米， 直角三角形的斜边长为4厘米， 直角三角形的周长为厘米， 直角三角形的两条直角边长的和为厘米， 设直角三角形两条直角边的长分别为a厘米、b厘米， ①， 又②，由①②可得， 直角三角形的面积为（平方厘米），故选A. 6．下面是关于如图的不完整推理过程： ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； 为使推理成立,横线上可以添加的条件是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)； 故选D. 7．如图,E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点,且,P为CE上任意一点,于点Q,于点R,则的值是( ) A. B.2 C. D. 答案：A 解析：如图, 连接BP,设点C到BE的距离为h, 则, 即 , , 正方形ABCD的边长为4, . 故选:A. 8．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为( ) A.10° B.15° C.25° D.40° 答案：C 解析：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC. ∵AB=CD，∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形. ∵∠MPN=130°， ∴∠PMN==25°. 故选C. 9．如图为破裂的正方形玻璃，已知裂痕，，分别长，，，，则该正方形玻璃的边长为( ) A.5 B. C. D.6 答案：A 解析：过点D作线段延长线的垂线，垂足为H，连接. ，， 四边形是矩形. ，. ， 在中，， 设正方形玻璃的边长为x，则. 在中，， 即， 解得：. 即正方形玻璃的边长为. 故选：A. 10．如图,在中,,,两顶点A,B在y轴、x轴上滑动,点C在第一象限内,连接,则的最大值为( ) A.7 B.8 C.9 D. 答案：C 解析：如图,取AB中点P,连接OP、CP, 则, 由勾股定理得,, 利用三角形两边之和大于点三边可知：,OC的长的最大值为9, 故选：C. 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图,直线,点E、N位于直线上,点F、M、G位于直线上,且,若的面积为5,则的面积为______. 答案：10 解析：, , . 故答案为：10. 12．如图，在中，点E，F在对角线上，添加一个适当的条件，使四边形是平行四边形，这个条件可以是__________.(填一个条件即可，不添加任何辅助线) 答案：答案不唯一，如或 解析： 如图，连接交于点O， 四边形为平行四边形， ，，若，则有，即， 四边形为平行四边形. 故答案为∶(答案不唯一). 13．如图，在矩形ABCD中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形. 答案：4 解析：四边形ABCD是矩形 ， 设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则， 四边形ABPQ是矩形 故答案为：4. 14．将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______________. 答案： 解析：由题意知，，， 四边形是平行四边形， 如图，作于E，于F，由等宽可得， ， ，即， 四边形是菱形， ， 故答案为：. 15．如图, 在边长为6的菱形ABCD 中, , 点E 是 BC的中点, 连接ED 交 AC于点G, 若点F 是AG 的中点, 则EF 的长为__________. 答案： 解析：如图, 连接BD. 四边形 ABCD是菱形, . 又 ，是等边三角 形. 又 点E 是BC 的中点,. 又,， ，， . 连接DF, 点 F是斜边上的中点, . 连接BF, 易知，， . 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，. (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段AB、AO的中点，连接EF，，，求BC的长及四边形ABCD的面积. 答案：(1)见解析； (2)48 解析：(1)，， 四边形ABCD是矩形， ，， . (2)E，F分别为AB、AO的中点， ， 又四边形ABCD是矩形， ， 又，， ， 四边形ABCD的面积为. 17．（8分）如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若,,,求平行四边形ABCD的面积. 答案：(1)证明见解析 (2)24 解析：(1)证明：∵, ∴, ∵O是AC的中点, ∴, 在和中, , ∴, ∴, 又∵, ∴四边形ABCD是平行四边形； (2)由(1)得：四边形ABCD是平行四边形, 又∵, ∴平行四边形ABCD是菱形, ∴平行四边形ABCD的面积. 18．（8分）如图,过的顶点B作,以B为圆心,的长为半径画弧,交于点E,连接. (1)请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由； (2)若,求的度数. 答案：(1)是,理由见解析 (2) 解析：(1)四边形是平行四边形, 理由如下： ,, 四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形, , . 19．（9分）中，D是射线上一点，连接，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F. 【探究】如图1，连接，若点D在线段上，且. （1）证明：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由. 【拓展】如图2，当点D在点B右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形. 答案：【探究】（1）见解析； （2）当时，四边形是矩形.理由见解析； 【拓展】中，，且时，四边形是正方形. 解析：E是的中点， ， ， ，， ， ， ， ； （2）当时，四边形是矩形. 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形. 拓展： 中，，且时，四边形是正方形， 理由如下： 四边形是正方形， ，， 且， 四边形为平行四边形， ， E是的中点， B是的中点， ， ， 在中，，且时，四边形是正方形. 20．（9分）如图,是矩形的对角线. (1)作线段的垂直平分线(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明)； (2)设的垂直平分线交于点E,交于点F,连接,. ①判断四边形的形状,并说明理由； ②若,,求四边形的周长. 答案：(1)图见解析 (2)①四边形是菱形,理由见解析 ②四边形的周长为25 解析：(1)所作线段的垂直平分线如图所示： (2)①四边形是菱形,理由如下：如图, 由作图可知：, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形, ∵是的垂直平分线, ∴, ∴四边形是菱形； ②∵四边形是矩形,, ∴,, 由①可设,则, ∵, ∴,即, 解得：, ∴四边形的周长为. 21．（8分）阅读下面材料，完成相应的任务. 阿波罗尼奥斯定理 阿波罗尼奥斯(约公元前262－190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家.阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍. 如图，在中，点D为的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得. 下面是该定理的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E. 在中，由勾股定理，得. 同理可得，. 点D为的中点，. … 任务： (1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整； (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知点P为矩形内任意一点，求证：. 答案：(1)见解析 (2)见解析 解析：(1) . (2)如图，连接，相交于点O，连接. 四边形是矩形， ，，. . 根据阿波罗尼奥斯定理， 得，. . 22．（12分）综合与探究 在中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若，，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2. ①当，时，求BE的长； 求证：. 答案：(1)见解析； (2)①2； ②见解析； 解析：(1)证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ，， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形BEDF是平行四边形； (2)①如图，过点D作于点N， ，，， ， ， ，， ， ， ， ②证明：，， ，， ， ，， ， ， ，， ， . 23．（13分）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形. （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________. （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点H，展开，折痕为； 第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边上，展开，折痕为. 试说明：矩形是1阶奇妙矩形. （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注. （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由. 答案：（1） （2）见解析 （3），理由见解析 解析：（1）当时，， 故答案为：. （2）如图（2），连接， 设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ， 在，中， 解得： 矩形是1阶奇妙矩形. （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点H，展开，折痕为； 第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边上，展开，折痕为. 矩形是2阶奇妙矩形， 理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ， 在，中， ， 解得： 当时， 矩形是2阶奇妙矩形. （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ， 在，中， 整理得， 四边形的边长为 矩形的周长为， 四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$