精品解析：江苏省宿迁市部分中学2024-2025学年高三下学期一模数学试卷

2025年江苏省宿迁市部分中学高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象横坐标缩短到原来的 倍，就是变为原来的2倍进行变换，即可得到答案． 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变， 就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：. 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算及复数的相等即可得出． 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 所以. 故选:C. 3. 若，，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的线性运算求出的坐标，再根据数量积的坐标运算求解. 【详解】，， ，即， 所以， . 故选：C. 4. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到. 【详解】由题可得，则，即． 因为，所以． 故选：A 5. 已知平面向量为单位向量，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出的值，再利用这个值计算. 【详解】已知，根据向量模长公式，可得. 展开得到. 因为，是单位向量，所以，即，. 代入上式可得，解得. 同样根据向量模长公式，. 将展开得到. 把，，代入可得：. 所以. 故选：B. 6. 已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，，联立方程后由根与系数关系可得，再由圆的性质及抛物线定义，可转化为求解即可. 【详解】由题可知，直线的斜率存在. 设直线的方程为，． 由得，故． 又，，所以． 圆的圆心为，半径， 所以，． 又，， 所以，， 所以. 故选：B． 7. 双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于 A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以设出双曲线的左焦点坐标并写出过双曲线的左焦点且斜率为1的直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果． 【详解】设双曲线的左焦点，则过点且斜率为1的直线方程为， 与渐近线方程联立可得、， 故中点坐标为，则有， 即，， ，，故选B． 【点睛】本题考查了双曲线的相关性质，主要考查双曲线的离心率的计算、双曲线的渐近线方程、中点坐标公式、两点间距离公式，考查化归与转化思想，体现了基础性与综合性，是中档题． 8. 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确的命题是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系逐项分析即可. 【详解】①因为，，所以，由可知，故正确，②，，可能在内或与平行，推不出，故错误，③，可推出,又，所以，故正确, ④若相交交线为m,则，推不出，故错误. 综上可知选A. 【点睛】本题主要考查了线线、线面、面面平行垂直的判定与性质，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（ ） x 0 0 2 0 0 A. B. 不等式的解集为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据表格数据求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一分析即可. 【详解】由表可知，且，解得， 所以，故A正确； 令，即，即，， 解得，， 所以不等式的解集为，，故B错误； 又，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由可得，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故D错误. 故选：AC 10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 11. 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中正确的是（ ） A. B. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125 C. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119 D. 四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图矩形面积和等于1可得，经计算可得平均数为，中位数约为119，优秀率为35%即可得出正确选项. 【详解】，可得，故A正确； 根据频率分布直方图可得其平均数为 ，所以B错误； 由频率分布直方图可知，，而， 所以中位数落在区间内，设中位数为，则，可得，所以C正确； 由图可知，超过125次以上的频率为，所以优秀率为，即D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，当时，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得，结合函数的解析式分析可得答案． 【详解】函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，， 又当时，， 则，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题． 13. 若函数存在两个极值点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点定义可知为的两根，由可求得，并得到韦达定理的形式；结合韦达定理将化简为，令，利用导数可求得单调性，由此可得的范围，即为所求范围. 【详解】由题意知：的定义域为，， 有两个极值点，为的两根， ，又，解得：；，， ； 令，则， 当时，恒成立，在上单调递减， ，则的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列中，中，（n∈N*）中，则________， ________. 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出通项公式即可计算作答. 【详解】依题意，，，，而， 则， 而满足上式，所以，. 故答案为：7； 四、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 智慧幼儿园系统平台是“智慧幼儿园”建设的主体,它基于移动互联网、物联网和互联网技术，以幼儿园园长、老师、家长为服务对象，对幼儿园管理、教育教学、卫生保健、生活服务等所有信息进行全面记录管理，进而推动幼儿园实现管理智能化、教育信息化决策科学化、资源共享化、服务系统化某园为研究智慧幼儿园家长的使用情况与年龄的相关程度，随机调查了100位家长作为样本，统计数据如下： 不大于45岁 大于45岁 合计 使用 50 20 70 不使用 15 15 30 合计 65 35 100 （1）从独立性检验角度分析，能否有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关? （2）现从样本中采用分层抽样的方法在不使用智慧系统的家长中抽取4人，并在这4人中选2人进行深入调查不使用的原因，求这2人年龄都大于45岁的概率. ，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验计算判断；（2）由分层抽样计算抽取的年龄大于45岁的家长与不大于45岁的家长人数，列出所有的基本事件，再由古典概型公式求解. 【小问1详解】 ， 所以有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关. 【小问2详解】 在不使用智慧系统的家长中，年龄大于45岁的家长应抽取人， 记为，；不大于45岁的家长应抽取人，记为，. 选取两人进行深入调查，形成的基本事件为 、、、、、共6个， 其中两人年龄都大于45岁的事件为共1个， 故所求概率为. 16. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1. （1）求a的值； （2）设函数，求的最小值. 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解； （2）求导，研究函数的单调性求解． 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 因为，的定义域为， ， 令，得， 与在区间上的情况如下： x 0 0 递减 极小 递增 所以在的单调递减区间为，单调递增区间为； 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M，N分别为线段，上的点（不在端点）. （1）当M为中点时，，求证：面； （2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面； （3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明：取中点E，连结，， ∵在四棱锥中，平面，， ，，M为中点，， ∴，， ∵，，∴平面平面， ∵平面，∴面. （2）证明：以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面的法向量， ∵，∴平面平面. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点E，连结，，推导出，，从而平面平面，由此能证明面. （2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面. （3）假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为..推导出，求出平面的法向量，利用向量法能推导出，即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，. 则，解得，，，∴， 则，，， 设平面的法向量， 则，取，得， ∵直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理，得，解得（舍）或， ∴存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时 【点睛】此题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题 18. 已知抛物线C的顶点为，焦点为 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质及焦点，可设出方程，利用求得p，即得结果； 设，，直线AB的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，再结合弦长公式求出，分别求出和，即可表示出，最后利用换元法和二次函数，即可求得最小值． 【小问1详解】 根据题意可设C的方程为， 那么，所以， 所以C：； 【小问2详解】 如图， 设，，根据题意可设直线AB的方程为， 联立直线AB方程和方程C可得，化简得， 根据韦达定理可得，， 因此有 ，所以AO的方程：， 根据， 可得， 同理，AO的方程：， 联立AO方程和直线，，可得， 因此 ， 设，，所以， 因此 ， 当时，，， 当时，，则，当取等号． 而，所以当，即时，的最小值是 【点睛】关键点点睛：求解圆锥曲线中的弦长问题时，需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式等表示出弦长，求弦长最值时需要利用换元法，构造函数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省宿迁市部分中学高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 若，，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 7 4. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知平面向量为单位向量，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 6. 已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 7. 双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于 A. B. C. 或 D. 8. 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确的命题是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①②③④ 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（ ） x 0 0 2 0 0 A. B. 不等式的解集为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 11. 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中正确的是（ ） A. B. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125 C. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119 D. 四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，当时，，则_____． 13. 若函数存在两个极值点，则的取值范围是__________． 14. 已知数列中，中，（n∈N*）中，则________， ________. 四、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 智慧幼儿园系统平台是“智慧幼儿园”建设的主体,它基于移动互联网、物联网和互联网技术，以幼儿园园长、老师、家长为服务对象，对幼儿园管理、教育教学、卫生保健、生活服务等所有信息进行全面记录管理，进而推动幼儿园实现管理智能化、教育信息化决策科学化、资源共享化、服务系统化某园为研究智慧幼儿园家长的使用情况与年龄的相关程度，随机调查了100位家长作为样本，统计数据如下： 不大于45岁 大于45岁 合计 使用 50 20 70 不使用 15 15 30 合计 65 35 100 （1）从独立性检验角度分析，能否有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关? （2）现从样本中采用分层抽样的方法在不使用智慧系统的家长中抽取4人，并在这4人中选2人进行深入调查不使用的原因，求这2人年龄都大于45岁的概率. ，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1. （1）求a的值； （2）设函数，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M，N分别为线段，上的点（不在端点）. （1）当M为中点时，，求证：面； （2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面； （3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由. 18. 已知抛物线C的顶点为，焦点为 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $