特训02 特殊平行四边形 压轴题Ⅰ（八大题型，理论技法，辅助线的构造策略）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训02 特殊平行四边形 压轴题Ⅰ（八大题型，理论技法） 关键词：特殊平行四边形压轴题理论技法；传统解答证明题；静态几何问题 选题：4道矩形+4道菱形+5道正方形；下一讲：特殊平行四边形动态几何问题 目录： 题型1：常用连接、作垂直等辅助线作法 题型2：截长补短构造垂直 题型3：旋转构造全等三角形 题型4：正方形的特殊性，多连接问题 题型5：截长补短构造多垂直问题（题型2复杂版） 题型6：多延长线相交于一点形成多种构造 题型7：巧妙构造全等，形成转化问题（含不同类型） 题型8：几何中的分类讨论 题型1：常用连接、作垂直等辅助线作法 1．在中，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． (1)如图1，求证：为菱形； (2)如图2，若，连接， ①求证：； ②判断的形状，并加以证明． (3)如图3，若，M是的中点，连结，若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②等边三角形，证明见解析 (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）证明①四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ； 解②：， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， （3）解：如图3中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． ， ， ， 故答案为：． 2．已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点． (1)若点在边上，如图． ①证明：； ②猜想线段与的关系并说明理由； (2)取中点，连结，若，正方形边长为6，求的长． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①只要证明，即可解决问题； ②只要证明，即可解决问题； （2）分两种情形解决问题：①当点F在线段上时，连接；②当点F在线段的延长线上时，连接．分别求出即可解决问题． 【解析】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分以下两种情况： ①如图，当点F在线段上时，连接． 由（1）得， ∵中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形边长为6， ∴， 在中，， ∴； ②如图，当点F在线段的延长线上时，连接． 同法可知是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【解析】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点E作于，于，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 题型2：截长补短构造垂直 4．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【解析】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 5．如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得，根据， ，得； （2）①连接交于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线，的值最小；②连接，根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小． （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则．，根据，解得． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，正方形中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接， 当M点位于上时，的值最小． 理由如下： 连接，由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小， 即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F， 则． 设正方形的边长为x， 则，， 在中，∵，且， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 题型3：旋转构造全等三角形 6．已知、分别为正方形的边、上的点． (1)如图1，连接、、，已知，，为的中点，求证：为直角三角形； (2)连接分别交、于、，且． ①如图2，若，，求； ②如图3，若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)①13；②见解析． 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题； （1）根据四边形是正方形，可得，进而求得，的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解 （2）①如图2，绕点逆时针旋转90°得到，连接，就可以得出，就有，就可以得出就可以得出，由勾股定理就可以得出结论；②设正方形的边长为，求出，即可判断 【解析】（1）四边形是正方形 ， ，为中点 ， 根据勾股定理可得：，， 为直角三角形； （2）①解：如图2，在正方形中，，， ． 把绕点逆时针旋转得到，连接． ， ，，，． ， 即． ， ， ， 即， ． 在和中 ， ， ， ． ， ， ； 设，则， ， ， ． ②证明：如图3中，设正方形的边长为． ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ，设，则， ， ， ，， ． 题型4：正方形的特殊性，多连接问题 7．如图：正方形中，在内作射线，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结，，． (1)求证： (2)求证：是等腰直角三角形 (3)①若，，求的长； ②探索，，三边的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，正方形的性质，即可得出结论； （2）证明，得到，等边对等角得到，平角的定义得到，进而得到，四边形的内角和为360度，求出，结合，即可得证； （3）①设交于点，连接，勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，利用线段的和差关系进行计算即可； ②连接，交于点，连接，正方形的性质，推出，斜边上的中线，推出，进而推出，勾股定理得到，等量代换得出结论即可． 【解析】（1）证明：∵作点关于的对称点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴ （2）证明：∵点C关于的对称点为E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形； （3）①设交于点，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵对称， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴； ②，证明如下： 连接，交于点，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 题型5：截长补短构造多垂直问题（题型2复杂版） 8．在四边形中，连接交于点E，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点D作于M，求证：； (3)如图3，延长至点Q，连接，使，点F在上，连接，且，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1，作于，的延长线于，证明，则，由，，可证平分； （2）作的延长线于，同理（1），，则，，，证明，则，进而可证； （3）如图3，延长交的延长线于，作于，于，设，则，，，求，则，，由，可求，证明，则，由，平分，可得，则，同理，，则，同理，，，设，，则，，由，可得，可求，则，，，，如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，即，可求，进而可求的长度． 【解析】（1）证明：如图1，作于，的延长线于， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）证明：作的延长线于， 同理（1），， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，延长交的延长线于，作于，于， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴，，， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 题型6：多延长线相交于一点形成多种构造 9．如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接． (1)如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________； (2)如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明； (3)如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值． 【答案】(1)5 (2)；见解析 (3)． 【分析】（1）先由三角形的中位线定理求得，再证明四边形是矩形，得，再求得，即可根据勾股定理求得； （2）延长交的延长线于点，连接，证明，推出，，再得到，在中，利用勾股定理求解即可； （3）如图，延长交的延长线于点，连接，由，，，得，则，，设，∴，在和中，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【解析】（1）解：如图，   四边形是矩形，，， ，， 、分别是、的中点， ∴，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 的长是5； 故答案为：5； （2）解：，证明如下， 证明：如图，延长交的延长线于点，连接，    ∵矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点，连接，   ，，， ， ，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 线段的值是． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 10．如图，在中，平分，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：点在的垂直平分线上； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了四边形综合题，掌握矩形的性质，构造平行四边形，是解题关键． （1）由角平分线的定义可得，由等腰三角形的性质可得，可得，由矩形的判定可求解； （2）①连接．由，得．由，，得，得，故点在的垂直平分线上； ②过作，交延长线于，连接．由平分平分，得，故是等腰，得，利用角度换算得．再证明，最后证明四边形是平行四边形，故． 【解析】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②． 理由：过作，交延长线于，连接， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴是等腰， ∴， 设，则， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 由， 得， ∴， ∴为等腰， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型7：巧妙构造全等，形成转化问题 11．如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． (1)如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若点G使得，求四边形的面积； (3)如图3，连接，若点G使得，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）运用三角形的中位线定理和矩形的性质得到，，进而得到四边形为平行四边形； （2）连接，先证明，得到，再推导得到，然后计算面积即可； （3）过点作交延长线于点，作于点，作于点，得到，然后利用三角形的面积求出边的长度即可． 【解析】（1）证明：点为中点，点为中点 ， 矩形 ， ， 点为中点 四边形为平行四边形； （2）连接 矩形 ， 点为中点 设，则 ， ， 点为中点 ， ， ； （3）过点作交延长线于点，作于点，作于点 ∴ 由（2）可知， ． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质等知识，能作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 12．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，，可得四边形为平行四边形，根据角平分线的性质可得，结合平行四边形的性质可得，由此即可求证； （2）连接，根据四边形为菱形，可得，，根据，，， 可得，根据平行四边形的性质可得； （3）过点作，且取，连接，，，可得则，，根据四边形为菱形，，可得是等腰直角三角形，则，根据三角形三边关系得，由此即可求解． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，即， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，是公共边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，则， 如图所示，过点作，且取，连接，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，掌握菱形的判定和性质，合理构造辅助线是解题的关键． 题型8：几何的分类讨论 13．已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接． (1)若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点 ①证明：； ②猜想的形状并说明理由． (2)若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；②等腰三角形，理由见解析 (2)或2 【分析】（1）①根据证明可得结论； ②证明，可知：是等腰三角形； （2）分两种情况： ①如图1，，过点作于，则； ②如图2，，根据等腰三角形的性质和勾股定理可解答． 【解析】（1）①证明：四边形是菱形， ，， ， ， ； ②解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 由①知：， ， ， 是等腰三角形； （2）解：分两种情况： ①如图1，当时，过点作于，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ； ②如图2，当时， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ， ∵，，， ∴， ， ， ， ； 综上，的长为或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 特殊平行四边形 压轴题Ⅰ（八大题型，理论技法） 关键词：特殊平行四边形压轴题理论技法；传统解答证明题；静态几何问题 选题：4道矩形+4道菱形+5道正方形；下一讲：特殊平行四边形动态几何问题 目录： 题型1：常用连接、作垂直等辅助线作法 题型2：截长补短构造垂直 题型3：旋转构造全等三角形 题型4：正方形的特殊性，多连接问题 题型5：截长补短构造多垂直问题（题型2复杂版） 题型6：多延长线相交于一点形成多种构造 题型7：巧妙构造全等，形成转化问题（含不同类型） 题型8：几何中的分类讨论 题型1：常用连接、作垂直等辅助线作法 1．在中，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． (1)如图1，求证：为菱形； (2)如图2，若，连接， ①求证：； ②判断的形状，并加以证明． (3)如图3，若，M是的中点，连结，若，则 ． 2．已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点． (1)若点在边上，如图． ①证明：； ②猜想线段与的关系并说明理由； (2)取中点，连结，若，正方形边长为6，求的长． 3．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 题型2：截长补短构造垂直 4．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 5．如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 题型3：旋转构造全等三角形 6．已知、分别为正方形的边、上的点． (1)如图1，连接、、，已知，，为的中点，求证：为直角三角形； (2)连接分别交、于、，且． ①如图2，若，，求； ②如图3，若，求证：． 题型4：正方形的特殊性，多连接问题 7．如图：正方形中，在内作射线，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结，，． (1)求证： (2)求证：是等腰直角三角形 (3)①若，，求的长； ②探索，，三边的关系，并证明你的结论． 题型5：截长补短构造多垂直问题（题型2复杂版） 8．在四边形中，连接交于点E，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点D作于M，求证：； (3)如图3，延长至点Q，连接，使，点F在上，连接，且，，，求的长度． 题型6：多延长线相交于一点形成多种构造 9．如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接． (1)如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________； (2)如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明； (3)如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值． 10．如图，在中，平分，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：点在的垂直平分线上； ②试探究：的数量关系，并证明． 题型7：巧妙构造全等，形成转化问题 11．如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． (1)如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若点G使得，求四边形的面积； (3)如图3，连接，若点G使得，求的长． 12．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 题型8：几何中的分类讨论 13．已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接． (1)若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点 ①证明：； ②猜想的形状并说明理由． (2)若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$