安徽省阜阳市界首市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年安徽省阜阳市界首市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣（x﹣1）2 C． D． 2．（4分）若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于（　　） A．1 B． C． D． 5．（4分）如图，小明在练习本上画出直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）反比例函数y＝的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．常数k＜﹣1 B．y随x的增大而增大 C．若A（﹣1，a），B（3，b）在该图象上，则a＜b D．若C（﹣m，n）在该图象上，则C′（m，﹣n）也在该图象上 7．（4分）下列各条件中，能判断△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′ B．，∠B＝∠B′ C．，∠A+∠C＝∠A′+∠C′ D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70° 8．（4分）抛物线y＝2x2+x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 9．（4分）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是6，则k的值为（　　） A． B．8 C．6 D． 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的周长比为　 　． 12．（5分）抛物线y＝（x﹣4）（x+3）的对称轴为直线 　 　． 13．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA＝ 　 　． 14．（5分）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数y＝x2+3x+m． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 　 　． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 　 　． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°． 16．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 2 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上． （1）请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1； （2）直接写出（1）中C1点的坐标为　 　． 18．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE＝BD，连接DE交BC于点P． （1）求证：PE＝PD； （2）若CE：AC＝1：5，BC＝10，求BP的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）． 20．（10分）最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克．经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元每千克）有如下的关系：w＝﹣2x﹣80．设这种产品每天的销售利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 六、（本题满分12分） 21．（12分）如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 七、（本题满分12分） 22．（12分）△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6． （1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值； （2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长． 八、（本题满分14分） 23．（14分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 2024-2025学年安徽省阜阳市界首市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C D C B D C 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣（x﹣1）2 C． D． 【分析】根据二次函数的定义，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：A．函数y＝﹣3，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数y＝x2﹣（x﹣1）2＝2x﹣1，是一次函数，故本选项不符合题意； C．函数y＝x2+3，是二次函数，故本选项符合题意； D．函数y＝﹣3，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义（形如y＝ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数． 2．（4分）若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可． 【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0， 根据二次函数的图象可知a＞0，b＜0， ∴函数y＝kx+b的大致图象经过二、三、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大． 3．（4分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分比性质进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴＝ ∴＝ ∴＝ 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 4．（4分）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据sinA＝，得出∠A＝60°，即可得出cosA的值． 【解答】解：∵∠A为锐角，且sinA＝， ∴∠A＝60°， ∴cosA＝cos60°＝， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 5．（4分）如图，小明在练习本上画出直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答． 【解答】解：A．∵a∥b∥c，∴，正确，不符合题意； B、∵a∥b∥c，∴，正确，不符合题意； C、∵线段不是直线m，n上的线段，∴与不一定相等，结论错误，符合题意； D、∵a∥b∥c，∴，正确，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找出对应线段是解题的关键． 6．（4分）反比例函数y＝的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．常数k＜﹣1 B．y随x的增大而增大 C．若A（﹣1，a），B（3，b）在该图象上，则a＜b D．若C（﹣m，n）在该图象上，则C′（m，﹣n）也在该图象上 【分析】A：根据双曲线的两支分别位于第二、第四象限，可得k＜0，据此解答即可． B：在每一象限内y随x的增大而增大，据此判断即可． C：根据y＝，分别求出a、b的值是多少，再比较它们的大小关系即可． D：根据反比例函数y＝的图象成中心对称，可得若C（﹣m，n）在该图象上，则C′（m，﹣n）也在该图象上，据此解答即可． 【解答】解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∴k＜0， ∴选项A不合题意； ∵在每一象限内y随x的增大而增大， ∴选项B不合题意； ∵a＝＝﹣k＞0，b＝＜0， ∴a＞b， ∴选项C不合题意； ∵反比例函数y＝的图象成中心对称， ∴若C（﹣m，n）在图象上，则C′（m，﹣n）也在图象上， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）反比例函数y＝xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 7．（4分）下列各条件中，能判断△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′ B．，∠B＝∠B′ C．，∠A+∠C＝∠A′+∠C′ D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70° 【分析】根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【解答】解：A、∵AB＝A′B′，∠A＝∠A′，只有一角一边， ∴无法判断两个三角形相似，故本选项错误，不符合题意； B、∵，∠B＝∠B′，∠B′不是A′B′与A′C′的夹角， ∴无法判断两个三角形相似，故本选项错误，不符合题意； C、由∠A+∠C＝∠A′+∠C′，可得∠B＝∠B′， 再由，得， 两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， 可判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确，符合题意； D、由∠A＝40°，∠B＝80°， 可得∠C＝60°， 由∠A′＝80°，∠B′＝70°， 可得∠C′＝30°， 只有∠B＝∠A′＝80°， 无法得△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 8．（4分）抛物线y＝2x2+x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2+x﹣c与x轴只有一个公共点， ∴方程2x2+x﹣c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12+4×2•c＝0， ∴c＝﹣． 故选：B． 【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键． 9．（4分）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是6，则k的值为（　　） A． B．8 C．6 D． 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出E的坐标，其横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（a，b） ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴＝k， 设E的坐标为（a，y）， ∴ay＝k ∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝6， ∴4k﹣k﹣+＝6， 解得：k＝， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5， ∴AC＝＝＝4， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′＝， ∴则PQ的最小值为2OP′＝， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的周长比为　2：3　． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9， ∴它们的相似比为2：3， ∴它们的周长比为2：3． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 12．（5分）抛物线y＝（x﹣4）（x+3）的对称轴为直线 　x＝　． 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可直接写出该抛物线的对称轴． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）（x+3）＝x2﹣x﹣12＝（x﹣）2﹣12， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝， 故答案为：x＝． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式． 13．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA＝ 　　． 【分析】在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠A的度数，由D是AB中点，DE⊥AB利用等腰三角形的三线合一可得出AE＝BE及∠ABE的度数，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠C，进而可得出BE＝BC＝AE．设BC＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x，易证△ABC∽△BEC，利用相似三角形的性质可求出x的值，再利用余弦的定义可求出cosA的值． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°． ∵D是AB中点，DE⊥AB， ∴AE＝BE，∠ABE＝∠A＝36°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C， ∴BE＝BC＝AE． 设BC＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x． ∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BEC， ∴＝，即＝， 解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去）， ∴cosA＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出AE的长是解题的关键． 14．（5分）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数y＝x2+3x+m． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 　﹣8　． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 　m＜﹣3　． 【分析】（1）将（2，2）代入解析式求解． （2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令x2+3x+m＝x可得Δ＞0，设y＝x2+2x+m，由a＜1＜b可得x＝1时y＜0，进而求解． 【解答】解：（1）∵2点（2，2）是此函数的同值点， ∴抛物线经过（2，2）， 将（2，2）代入y＝x2+3x+m得2＝4+6+m， 解得m＝﹣8， 故答案为：﹣8； （2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上， 令x2+3x+m＝x，整理得x2+2x+m＝0， ∴a+b＝﹣2，ab＝m， ∵a＜1＜b， ∴（a﹣1）（b﹣1）＜0． ∴ab﹣（a+b）+1＜0， ∴m+2+1＜0， 解得m＜﹣3， 故答案为：m＜﹣3． 【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°． 【分析】将sin30°＝，cos30°＝，tan60°＝，cos45°＝代入运算，即可得出答案． 【解答】解：原式＝2×+4ו﹣ ＝1+6﹣ ＝． 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般． 16．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 2 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）把已知三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出解析式； （2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可． 【解答】解：（1）由题意，得 ， 解这个方程组，得 a＝1，b＝3，c＝﹣2， 所以，这个二次函数的解析式是y＝x2+3x﹣2； （2）y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣， 顶点坐标为（﹣，﹣）， 对称轴是直线x＝﹣． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上． （1）请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1； （2）直接写出（1）中C1点的坐标为　（1，0）　． 【分析】（1）延长BC到C1，使CC1＝BC，延长BA到A1，使AA1＝BA，连接A1C1，可得出所求三角形； （2）根据图形确定出C1点的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1为所求三角形； （2）根据（1）得C1点的坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 18．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE＝BD，连接DE交BC于点P． （1）求证：PE＝PD； （2）若CE：AC＝1：5，BC＝10，求BP的长． 【分析】（1）过点D作DF∥AC交BC于点F，由等腰三角形性质和平行线性质可得∠DBF＝∠DFB，可推得DB＝DF，由因为已知CE＝BD，即可得DF＝CE，通过AAS可得△DFP≌△ECP，即得到PE＝PD． （2）由已知条件易证得△BDF∽△BAC，且＝＝，由BC＝10，可得BF、EC的长；由△DFP≌△ECP可得PF的长，即可得BP的长． 【解答】（1）证明：过点D作DF∥AC交BC于点F， ∴∠ACB＝∠DFB，∠FDP＝∠E， ∵AB＝AC（已知）， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠DFB， ∴DF＝DB； 又∵CE＝BD（已知）， ∴CE＝DF； 又∵∠DPF＝∠CPE， ∴△ECP≌△DFP， ∴PE＝PD； （2）解：∵CE＝BD，AC＝AB，CE：AC＝1：5（已知）， ∴BD：AB＝1：5， ∵DF∥AC， ∴△BDF∽△BAC， ∴＝＝； ∵BC＝10， ∴BF＝2，FC＝8， ∵△DFP≌△ECP， ∴FP＝PC， ∴PF＝4， 则BP＝BF+FP＝6． 【点评】本题主要考查全等三角形全等的判定与性质及等腰三角形的性质；涉及到相似三角形、等腰三角形等知识点，是一道综合题型，正确作出辅助线是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E， ∵sin∠ABD＝， ∴AD≈92×0.94＝86.48cm， ∵DE＝6cm， ∴AE＝AD+DE＝92.5cm， ∴把手A离地面的高度为92.5cm． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 20．（10分）最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克．经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元每千克）有如下的关系：w＝﹣2x﹣80．设这种产品每天的销售利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 【分析】（1）依据题意，根据总利润＝销售量×单件利润，列出函数关系式； （2）依据题意，将（1）的函数关系式化为配方式，利用二次函数的性质求最大值； （3）依据题意，把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值． 【解答】解：（1）由题意得，y＝（x﹣20）w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600， ∴y 与x的函数关系式为y＝﹣2x2+120x﹣1600． （2）由题意得，y＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200． ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝30时，y有最大值，最大值是200． ∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元． （3）由（2）y＝﹣2（x﹣30）2+200， ∴当y＝150时，可得方程：﹣2（x﹣30）2+200＝150． ∴x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）． ∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元． 【点评】本题主要考查了二次函数的运用和一元二次方程的应用．根据题意列出函数关系式是解决问题的关键． 六、（本题满分12分） 21．（12分）如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 【分析】根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN、NC的长进而求出BN即可得出答案． 【解答】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点D作DE⊥CD，如图所示： 由题意可得出：∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，∠ADE＝60°， 则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°， ∴AF＝FC＝AN＝NC， 设AF＝FC＝x海里， ∴tan30°＝＝＝， 解得：x＝20（+1）， ∵tan30°＝， ∴＝， 解得：BN＝（20+）海里， ∴AB＝AN+BN＝20（+1）+20+＝（40+）海里， 答：灯塔A、B间的距离为（40+）海里． 【点评】此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键． 七、（本题满分12分） 22．（12分）△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6． （1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值； （2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长． 【分析】（1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长； （2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC′与B′N的数量关系，最后结合BC′的长为1，求得NC′的长，进而得到AN的长度． 【解答】解：（1）如图1，∵AD是∠BAC的平分线，DE∥AB， ∴∠EAD＝∠BAD＝∠EDA， ∴ED＝EA，即三角形ADE是等腰三角形， 设CE＝x，则AE＝4﹣x＝DE， 由DE∥AB，可得 ＝，即＝， 解得x＝， ∴CE＝， 由DE∥AB，可得 ＝＝， ∴； （2）由折叠得，∠B＝∠B′，∠C＝∠MC′A＝∠B′C′N，AC＝AC′＝4， ∴△ABC∽△NB′C′， ∴＝＝， 设NC′＝4a，则BN＝B′N＝5a， ∵BC'＝AB﹣AC′＝5﹣4＝1， ∴NC′+BN＝1，即4a+5a＝1， 解得a＝， ∴NC′＝， ∴AN＝+4＝． 【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等． 八、（本题满分14分） 23．（14分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题； （2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题； （3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题． 【解答】解：（1）设此函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4）， ∴y＝a（x+2）2﹣4， 又∵函数图象经过点A（﹣6，0）， ∴0＝a（﹣6+2）2﹣4 解得a＝， ∴此函数的解析式为y＝（x+2）2﹣4，即y＝x2+x﹣3； （2）∵点C是函数y＝x2+x﹣3的图象与y轴的交点， ∴点C的坐标是（0，﹣3）， 又当y＝0时，有y＝x2+x﹣3＝0， 解得x1＝﹣6，x2＝2， ∴点B的坐标是（2，0）， 则S△ABC＝|AB|•|OC|＝×8×3＝12； （3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F． 设E（x，0），则P（x，x2+x﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， ∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3）， 则|PF|＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣x2﹣x， ∴S△APC＝S△APF+S△CPF ＝|PF|•|AE|+|PF|•|OE| ＝|PF|•|OA|＝（﹣x2﹣x）×6＝﹣x2﹣x＝﹣（x+3）2+， ∴当x＝﹣3时，S△APC有最大值， 此时点P的坐标是P（﹣3，﹣）． 【点评】本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$