专题7.7 随机变量及其分布全章十一大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.7 随机变量及其分布全章十一大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 条件概率的计算 1．（24-25高二下·全国·课前预习）设A，B为两个事件，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 题型2 利用全概率公式求概率 1．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某国甲､乙､丙三个地区新冠肺炎疫情比较严重，这三个地区分别有的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率（结果用百分数表示）； (2)若此人是阳性患者，求此人不是选自甲地区的概率. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中装有8只红球，2只黑球，每次从中任取一球，不放回地连续取两次，求下列事件的概率． (1)取出的两球都是红球； (2)取出的两球都是黑球； (3)第二次取出的是红球． 题型3 离散型随机变量的判断 1．（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·江苏·课后作业）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差． 题型4 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 2．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 3．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 题型5 两点分布 1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 3．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 题型6 求离散型随机变量的均值 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，3张卡片上的数字是3，10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； (2)记所取3张卡片上的数字的中位数为，求的分布列及数学期望. 4．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 题型7 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列是： 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 2．（24-25高二上·河南南阳·期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 题型8 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 题型9 求超几何分布的概率 1．（2024高三·全国·专题练习）在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 4．（2024高二·全国·专题练习）袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，求取出的球中至少有一个是红球的概率． 题型10 正态曲线的特点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 3．（24-25高二·湖南·课后作业）如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 题型11 正态分布的概率计算 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 3．（23-24高二下·广西玉林·期中）已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且． (1)求参数，的值． (2)求． 附：若，则， 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.7 随机变量及其分布全章十一大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 条件概率的计算 1．（24-25高二下·全国·课前预习）设A，B为两个事件，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件公式直接代入运算即可. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：D. 2．（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用排列、组合及古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式，即可求解. 【解答过程】由题知，， 所以， 故选：C. 3．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【解题思路】（1）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可解； （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可得. 【解答过程】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况， 记“男生甲被选中”为事件A，所包含的基本事件数为种，故. 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则， 故. （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C， 事件C所包含的基本事件数为种， 由（1），则，则， 故. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【解题思路】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是甲厂生产的概率为 . 题型2 利用全概率公式求概率 1．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【解题思路】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【解答过程】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【解题思路】根据全概率公式，即可求得答案. 【解答过程】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某国甲､乙､丙三个地区新冠肺炎疫情比较严重，这三个地区分别有的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率（结果用百分数表示）； (2)若此人是阳性患者，求此人不是选自甲地区的概率. 【解题思路】（1）根据题意，利用全概率公式，即可求解； （2）根据题意，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由题意，从这三个地区人选一人，设事件“该人从甲地区选出”， 事件“该人从乙地区选出”，事件“该人从丙地区选出”， 事件“选出的人为阳性患者”， 则 . （2）解：若此人是阳性患者，此人不是选自甲地区的概率：. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中装有8只红球，2只黑球，每次从中任取一球，不放回地连续取两次，求下列事件的概率． (1)取出的两球都是红球； (2)取出的两球都是黑球； (3)第二次取出的是红球． 【解题思路】（1）利用条件概率的概率公式求解； （2）利用条件概率的概率公式求解； （3）利用全概率公式求解． 【解答过程】（1）设事件表示“第一次取到的是红球”，表示“第二次取到的是红球”． 根据题意知，， ． ． （2） （3） . 题型3 离散型随机变量的判断 1．（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【解答过程】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据离散型随机变量的定义逐个分析即可. 【解答过程】①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来. ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中， 则也可以一一列举出来. ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况， 可以一一列举出来. ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻， 不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量， 故只有①②④满足. 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏·课后作业）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 【解题思路】根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一 一列出，由此进行判断． 【解答过程】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，可以一一列出，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，可以一一列出，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差． 【解题思路】根据离散型随机变量的定义，逐个判定，即可求解. 【解答过程】（1）解：只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，所以随机变量是离散型随机变量． （2）解：从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，所以随机变量是离散型随机变量． （3）解：林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量，所以随机变量不是离散型随机变量． （4）解：实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，所以随机变量不是离散型随机变量． 题型4 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【解题思路】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【解答过程】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【解题思路】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【解答过程】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【解题思路】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【解答过程】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 【解题思路】（1）根据组合公式求出各取值概率即可的分布列； （2）根据互斥事件的概率加法公式可得. 【解答过程】（1）X的可能取值为1，2，3，4，5． ，，， ，． 因此X的分布为： X 1 2 3 4 5 P （2）. 题型5 两点分布 1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【解题思路】利用两点分布的性质，列式计算即得. 【解答过程】由服从两点分布，，得. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【解题思路】利用两点分布的性质可得答案. 【解答过程】依题意可得， ， 所以 故选：B. 3．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【解题思路】先确定服从两点分布，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【解答过程】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 4．（23-24高二上·全国·课后作业）袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 【解题思路】 根据题意，结合古典概型的概率公式以及组合数的计算公式，利用两点分布，可得答案. 【解答过程】 从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： 当时，两个球非全红；当时，两个球全红. 则X显然服从两点分布，且，. ∴X的分布列为： X 0 1 P 题型6 求离散型随机变量的均值 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用离散型随机变量的分布列求出，再利用数学期望的性质即可求出. 【解答过程】， ． 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【解题思路】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【解答过程】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，3张卡片上的数字是3，10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； (2)记所取3张卡片上的数字的中位数为，求的分布列及数学期望. 【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合即可求解， （2）分别求解的概率，即可得分布列，进而根据公式求解期望. 【解答过程】（1）所取3张卡片上的数字完全相同,则需要所取3张均为1，或者均为2，或者均为3，故概率为, （2）若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字1，故概率为, 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字2，或者3张卡片分别为1，2，3，故概率为, 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字3，故概率为, 故的分布列为 1 2 3 故. 4．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 【解题思路】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【解答过程】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． （2）由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 题型7 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列是： 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【解题思路】由均值与方差的计算概念，可得答案. 【解答过程】由题意可得， 则 ． 故选：B. 2．（24-25高二上·河南南阳·期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】分析的所有可能取值并计算对应的概率，根据公式计算的期望进而计算. 【解答过程】由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 3．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 【解题思路】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列；（2）根据分布列由期望方差公式求解即可得出答案； 【解答过程】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， 方差． 题型8 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【解答过程】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【解答过程】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 3．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【解题思路】（1）根据独立事件概率乘法公式求出各种情况概率，列出的分布列，并求； （2）运用二项分布的概率公式，假设最大，则，解不等式组即可. 【解答过程】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4. ， ， ， ，… ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）每一轮获得纪念章的概率为， 每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布， 设10轮答题获得纪念章的数量为，则， ，. 由， 得， 解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出再计算高一学生阅读时间的上四分位数； （2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果； （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据最大不等式节出的值； 【解答过程】（1）由频率分布直方图得： ，解得 频率分布直方图中，第一个小长方形面积为 第二个小长方形面积为 第三、四个小长方形面积为 第五个小长方形面积为 第六个小长方形面积为 前六个长方形面积和为0.8， 所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内， 设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得 （2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人 设这一组的平均值，方差 所以总体方差是，解得 （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题， 由频率分布直方图可知内的概率是， 由 得 解得 所以当最大时，. 题型9 求超几何分布的概率 1．（2024高三·全国·专题练习）在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】至多取到1件次品包含0件次品与1件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公式计算可得结果． 【解答过程】在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品，包含0件次品与1件次品两种情况，所以概率为. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【解答过程】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B. 3．（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【解题思路】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【解答过程】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 4．（2024高二·全国·专题练习）袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，求取出的球中至少有一个是红球的概率． 【解题思路】由题中所给概率求出m，n，再利用超几何分布进行解答． 【解答过程】由题意，取出的两个球都是红球的概率为，即， 所以， 取出的两个球一红一黄的概率为，即， 所以，， 若取出的球中至少有一个是红球，则的所有可能取值为1，2， 所以取出的球中至少有一个是红球的概率为． 题型10 正态曲线的特点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案. 【解答过程】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 2．（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【解题思路】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解答过程】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 3．（24-25高二·湖南·课后作业）如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 【解题思路】由正态曲线得到正态曲线关直线对称，最大值为，由此求出，，从而求出概率密度函数的解析式，即可得到均值和方差． 【解答过程】解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关直线对称，最大值为， 所以， 由，解得， 所以概率密度函数的解析式为， 则总体随机变量的均值为20，方差为． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【解题思路】（1）结合密度曲线可得，可写出密度函数的表达式； （2）由，求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【解答过程】（1） 设公司人均月收入为， 结合题图可知，. 此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为: ，. （2） ，则， 所以. 故公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.14%. 题型11 正态分布的概率计算 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由 结合对称性得出，再由对称性得出. 【解答过程】因为 ，所以， 因为，所以， 又 ，所以A正确； 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 【解题思路】由所给条件得出和的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间内的概率，从而求出结果. 【解答过程】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D. 3．（23-24高二下·广西玉林·期中）已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且． (1)求参数，的值． (2)求． 附：若，则， 【解题思路】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数； （2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值. 【解答过程】（1）由题设，而，则，可得. （2）由（1）知：， 正态曲线关于对称 ，即， 所以，故， 由，则， 所以， 综上，.    4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【解题思路】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【解答过程】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$