独立性检验的综合应用学案-2025届高考数学二轮复习

2025届高考数学二轮复习学案 　独立性检验的综合应用 素养导引 　通过典型案例,学习统计方法,并能用这些方法解决一些实际问题.(数学建模、数据解题思路) 学习任务一　概率与独立性检验(数据解题思路、逻辑推理) 【典例1】某中学共有学生1 200名,其中男生640名,女生560名,按性别分层抽样,从中抽取60名学生进行调查,了解他们是否参与过滑雪运动.情况如下: 项目 参与过滑雪运动 未参与过滑雪运动 男生 20 m 女生 x y (1)若x≥10,y≥10,求参与调查的女生中,参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率; (2)若参与调查的女生中,参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少8人,试根据以上2×2列联表,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验推断该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关. 【思维提升】 关于概率与独立性检验 利用概率知识可以计算变量的取值,从而得到列联表,再利用χ2独立性检验进行推断. 【即学即练】 在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人. (1)填写下面列联表,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,能否认为经常阅读与居民居住地有关? 项目 城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 30 不经常阅读 合计 200 (2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率. 学习任务二　统计与独立性检验(逻辑推理、数据解题思路) 【典例2】某省级综合医院共有1 000名医护员工参加流感知识和技能竞赛,其中男性450人,为了解该医院医护员工在流感知识和技能竞赛中的情况,现按性别采用分层抽样的方法从中抽取100名医护员工的成绩(单位:分)作为样本进行统计,成绩均分布在400~700分,根据统计结果绘制的医护员工成绩的频率分布直方图如图所示,将成绩不低于600分的医护员工称为优秀员工. (1)求a的值,并估计该医院医护员工成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若样本中优秀员工有女性10人,完成下列2×2列联表,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为该医院医护员工的性别与是否为优秀员工有关联? 项目 优秀员工 非优秀员工 合计 男 女 合计 【思维提升】 关于独立性检验的综合应用 (1)独立性检验往往与抽样、总体的取值规律、百分位数、集中趋势参数、离散程度参数等统计知识相结合,体现了抽样-解题思路-检验的解决实际问题的思路和方法; (2)独立性检验在实际生活中有着广泛应用,是对实际生活中数据进行解题思路的一种重要方法. 【即学即练】 (2024·全国甲卷改编)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物). 测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好) (1)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表: 项目 <m ≥m 对照组 实验组 (2)根据2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为药物对小鼠生长有抑制作用. 参考数据: α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 2025届高考数学二轮复习学案 　独立性检验的综合应用 素养导引 　通过典型案例,学习统计方法,并能用这些方法解决一些实际问题.(数学建模、数据解题思路) 学习任务一　概率与独立性检验(数据解题思路、逻辑推理) 【典例1】某中学共有学生1 200名,其中男生640名,女生560名,按性别分层抽样,从中抽取60名学生进行调查,了解他们是否参与过滑雪运动.情况如下: 项目 参与过滑雪运动 未参与过滑雪运动 男生 20 m 女生 x y (1)若x≥10,y≥10,求参与调查的女生中,参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率; (2)若参与调查的女生中,参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少8人,试根据以上2×2列联表,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验推断该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关. (1)根据分层抽样原则知:抽取的60名学生中,女生有60×=28(人), 若x≥10,y≥10,则(x,y)所有可能的取值结果有(10,18),(11,17),(12,16),(13,15),(14,14),(15,13),(16,12),(17,11),(18,10),共9个; 其中满足x>y的有(15,13),(16,12),(17,11),(18,10),共4个, 所以参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率为. (2)零假设为H0:该校学生是否参与过滑雪运动与性别无关. 由(1)知:x+y=28,又y-x=8, 所以x=10,y=18, 所以m=60-20-28=12, 所以χ2=≈4.286<6.635, 依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为该校学生是否参与过滑雪运动与性别无关. 【思维提升】 关于概率与独立性检验 利用概率知识可以计算变量的取值,从而得到列联表,再利用χ2独立性检验进行推断. 【即学即练】 在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人. (1)填写下面列联表,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,能否认为经常阅读与居民居住地有关? 项目 城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 30 不经常阅读 合计 200 (2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率. (1)零假设为H0:经常阅读与居民居住地无关. 由题意可得: 项目 城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 30 130 不经常阅读 40 30 70 合计 140 60 200 则χ2=≈8.477>6.635, 依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,认为H0不成立,即认为经常阅读与居民居住地有关. (2)在城镇居民140人中,经常阅读的有100人,不经常阅读的有40人. 采取分层抽样抽取7人,则其中经常阅读的有5人,记为A,B,C,D,E; 不经常阅读的有2人,记为X,Y. 从这7人中随机选取2人作交流发言,所有可能的情况为AB,AC,AD,AE,AX,AY,BC,BD,BE,BX,BY,CD,CE,CX,CY,DE,DX,DY,EX,EY,XY,共21种, 被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种, 所以所求概率为P=. 学习任务二　统计与独立性检验(逻辑推理、数据解题思路) 【典例2】某省级综合医院共有1 000名医护员工参加流感知识和技能竞赛,其中男性450人,为了解该医院医护员工在流感知识和技能竞赛中的情况,现按性别采用分层抽样的方法从中抽取100名医护员工的成绩(单位:分)作为样本进行统计,成绩均分布在400~700分,根据统计结果绘制的医护员工成绩的频率分布直方图如图所示,将成绩不低于600分的医护员工称为优秀员工. (1)求a的值,并估计该医院医护员工成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若样本中优秀员工有女性10人,完成下列2×2列联表,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为该医院医护员工的性别与是否为优秀员工有关联? 项目 优秀员工 非优秀员工 合计 男 女 合计 (1)由题意知50×(0.001×2+0.003+0.006+0.005+a)=1,解得a=0.004. 估计该医院医护员工成绩的平均数 =425×0.05+475×0.15+525×0.3+575×0.25+625×0.2+675×0.05=552.5. (2)零假设为H0:该医院医护员工的性别与是否为优秀员工独立,即该医院医护员工的性别与是否为优秀员工无关联. 由题可知,样本中男性有450×=45(人),女性有(1 000-450)×=55(人),优秀员工有0.005×50×100=25(人), 其中女性10人,得出以下2×2列联表: 项目 优秀员工 非优秀员工 合计 男 15 30 45 女 10 45 55 合计 25 75 100 根据列联表中的数据,得到χ2==≈3.03<3.841=x0.05, 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们没有充分证据推断H0不成立,故认为该医院医护员工的性别与是否为优秀员工无关联. 【思维提升】 关于独立性检验的综合应用 (1)独立性检验往往与抽样、总体的取值规律、百分位数、集中趋势参数、离散程度参数等统计知识相结合,体现了抽样-解题思路-检验的解决实际问题的思路和方法; (2)独立性检验在实际生活中有着广泛应用,是对实际生活中数据进行解题思路的一种重要方法. 【即学即练】 (2024·全国甲卷改编)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物). 测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好) (1)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表: 项目 <m ≥m 对照组 实验组 (2)根据2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为药物对小鼠生长有抑制作用. 参考数据: α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 (1)依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数, 由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组数据与实验组数据即可, 可得第11位数据为14.4,后续依次为 17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…, 故第20位数据为23.2,第21位数据为23.6, 所以m==23.4, 故列联表为: 项目 <m ≥m 对照组 6 14 实验组 14 6 (2)零假设为H0:是否用药与小鼠生长无关联.由(1)可得,χ2==6.400>3.841=x0.05,所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为药物对小鼠生长有抑制作用. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$