计数原理及其简单应用 学案-2025届高三数学二轮复习

2025届高考数学二轮复习学案 　计数原理及其简单应用 素养导引 1.了解两个计数原理的特征.(数学抽象) 2.理解两个计数原理的概念与区别.(数学抽象) 3.掌握两个计数原理的应用.(逻辑推理、数学运算) 4.会根据实际问题的特征,合理地分类或分步.(逻辑推理) 一、分类加法计数原理 【批注】 (1)每类方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事. (2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥”. [诊断] 1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. (　×　) 提示:在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的. (2)用分类加法计数原理解决实际问题时,分类标准是唯一的. (　×　) 提示:分类标准并不唯一,但应先确定一个适合的分类标准,然后在这个标准下进行分类. (3)分类加法计数原理可以推广到n类不同的方案的情况. (　√　) 提示:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 2.(教材改编题)用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的偶数.   用1,2,3这三个数字能写出1个一位偶数:2;用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数:12,32;用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数:132,312.所以用1,2,3这三个数字共能写出5个没有重复数字的偶数. 答案:5 二、分步乘法计数原理 【批注】 (1)每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事. (2)各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依”. [诊断] (1)(教材改编题)现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤和一件上衣配成一套,则不同搭配方法有____种 (　　)  A.7 B.64 C.12 D.81 选C.因为选定一件上衣时,有不同颜色的裤子3条,所以有3种不同的穿衣方案,所以共有3×4=12(种)不同的搭配方法. (2)(教材改编题)某小组有8名男生,6名女生,从中任选男生、女生各一人去参加座谈会,则不同的选法种数为________.  从8名男生中任意挑选一名参加座谈会,共有8种不同的选法;从6名女生中任意挑选一名参加座谈会 ,共有6种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为8×6=48. 答案:48 学习任务一　分类加法计数原理(逻辑推理) 【典例1】(1)某学生去书店,发现3本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共 有 (　　) A.3种 B.5种 C.7种 D.9种 选C.分三类:买1本、买2本或买3本,各类购买方式依次有3种、3种、1种,故购买方式共有3+3+1=7(种). (2)若x,y∈N*,且x+y≤6,则有序自然数对(x,y)的个数为 (　　) A.8 B.10 C.12 D.15 选D.按x的取值进行分类:x=1时,y=1,2,3,4,5,共构成5个有序自然数对;x=2时,y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对;…;x=5时,y=1,共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理,共有N=5+4+3+2+1=15个有序自然数对. (3)(2024·潍坊高二检测)如图所示,若从正六边形ABCDEF的六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形,则直角三角形的个数为 (　　) A.6 B.8 C.12 D.16 选C.由正六边形的性质可得,当以AD为斜边时,可构成直角三角形:△ADB,△ADC,△ADE,△ADF四个,同理可得当以BE,CF为斜边时,分别也为四个,即直角三角形的个数为12. 【思维提升】 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 提醒:确定分类标准时,一方面要做到分类“不重不漏”,另一方面要确保每一类都能独立地完成这件事. 【即学即练】 1.用1,3,5,7中的任意一个数为分子,2,4,8,9中的任意一个数为分母,则可构成真分数的个数为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 选D.分四类:①当分子为1时,有,,,,共4个真分数;②当分子为3时,有,,=,共3个真分数;③当分子为5时,有,,共2个真分数;④当分子为7时,有,,共2个真分数.根据分类加法计数原理,可构成4+3+2+2=11个真分数. 2.有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名.学生甲参加了这三个运动项目,但只获得一个奖项,学生甲获奖的不同情况有__________种.  三项体育运动项目,每个项目设冠军和亚军各一名,即每个运动项目可有2个奖项. 由分类加法计数原理,学生甲获奖的不同情况有2+2+2=6(种). 答案:6 学习任务二　分步乘法计数原理(逻辑推理) 【典例2】(1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,则不同的报名方法数为 (　　) A.43 B.34 C.7 D.12 选B.要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=34(种)报名方法. (2)(2024·济南高二检测)已知四棱锥O-ABCD,现有质点Q从O点出发沿棱移动,规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动,则该质点经过3次移动后返回到O点的不同路径的种数为________.  质点Q第一步移动到A,B,C,D四个顶点中的一个,共4种不同的移动方法,不妨设先移动到顶点A;第二步移动到B、D两个顶点中的一个,共2种不同的移动方法;第三步移动到顶点O即可,即该质点经过3次移动后返回到O点的不同路径的种数为4×2=8. 答案:8 【一题多变】 本例(1)条件改为4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得),共有多少种可能的结果? 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步,而每项冠军是四人中的某一人,有4种可能的情况,于是共有4×4×4=64(种)可能的结果. 【思维提升】 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 提醒:注意完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可. 【即学即练】 1.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有 (　　) A.48种 B.36种 C.24种 D.12种 选B.由题意可知,分三步完成: 第一步,从2种主食中任选一种有2种选法; 第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法; 第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法. 根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36种不同的选取方法. 2.一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有 (　　) A.6种 B.8种 C.36种 D.48种 选D.如图所示,由题意知在A点可先参观区域1,也可先参观区域2或3,选定一个区域后可以按逆时针参观,也可以按顺时针参观, 所以第一步可以从6个路口任选一个,有6种结果,参观完第一个区域后,选择下一步走法,有4种结果,参观完第二个区域,只剩下最后一个区域,有2种走法,根据分步乘法计数原理,共有6×4×2=48(种)不同的参观路线. 【加固训练】 　　某校举办文艺汇演,原节目单上有10个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来节目的顺序,则新节目单的排法种数为 (　　) A.165 B.286 C.990 D.1 716 选D.第一步:10个节目空出11个位置,加入1个新来的节目,所以加入一个新节目有11种方法; 第二步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第2个新节目,有12种方法; 第三步:从排好的12个节目空出的13个位置中,加入第3个新节目,有13种方法. 所以由分步乘法计数原理得,加入3个新节目后的节目单的排法有11×12×13=1 716(种). 学习任务三　两类计数原理的简单综合问题(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)(2024·佛山高二检测)立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮里有草莓、苹果、杧果3种水果.李老师的果篮里有苹果、樱桃、香蕉、猕猴桃4种水果.小华可以在两位老师的果篮里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有 (　　) A.6种 B.7种 C.11种 D.12种 选C.分两种情况: ①小华拿到的水果里没有苹果,则在王老师的果篮里有2种选法,在李老师的果篮里有3种选法,共有2×3=6种选法; ②小华拿到的水果里有苹果,再分苹果来自王老师还是李老师的果篮,共有1×3+2×1=5种选法. 由分类加法计数原理知,共有6+5=11种选法. (2)某公园休息处东面有8个空闲的凳子,西面有6个空闲的凳子,小明与爸爸来这里休息. ①若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐),有几种坐法? ②若小明与爸爸分别就坐,有多少种坐法? ①小明爸爸选凳子可以分两类: 第一类:选东面的空闲凳子,有8种坐法; 第二类:选西面的空闲凳子,有6种坐法. 根据分类加法计数原理,小明爸爸共有8+6=14(种)坐法. ②小明与爸爸分别就坐,可以分两步完成: 第一步,小明先就坐,从东西两面共14个凳子中选一个坐下,共有14种坐法;(小明坐下后,空闲凳子数变成13) 第二步,小明爸爸再就坐,从东西两面共13个空闲凳子中选一个坐下,共13种坐法. 由分步乘法计数原理,小明与爸爸分别就坐共有14×13=182(种)坐法. 【思维提升】 利用两个计数原理的解题策略 (1)在用两个计数原理处理问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意“步”与“步”之间的连续性. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 【即学即练】 1.在5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有________种.(用数字作答)  分为两类:第一类是2名老队员、1名新队员,有3种选法;第二类是2名新队员、1名老队员,有2×3=6种选法,即共有3+6=9种不同的选法. 答案:9 2.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法? (1)分三类: 第一类:选出的是医生,共有3种选法; 第二类:选出的是护士,共有5种选法; 第三类:选出的是麻醉师,共有2种选法. 根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法. (2)分三步:第一步:选出1名医生,共有3种选法; 第二步:选出1名护士,共有5种选法; 第三步:选出1名麻醉师,共有2种选法. 根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30种选法. 学科网（北京）股份有限公司 $$