精品解析：湖北省宜昌市长阳土家族自治县第二高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2023级高二上开学考试数学试题 一、单选题 1. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（　　） A B. C. D. 5. 已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A. 是关于的方程的一个根，则 B. “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件 C. 若复数，且，则 D. 若复数满足，则复数的虚部为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的值大于零 C. 若，则 D. 若，，则 11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b取值范围是 D. 若D为边上中点，则的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 13. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是______. 14. 在边长为的正方形中，是中点，则_______；若点在线段上运动，则的最小值是_______. 四、解答题 15. 已知，，且．当为何值时， （1）向量与互相垂直； （2）向量与平行. 16. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 17. 在 中，内角的对边分别为 .已知 （1） 求的值 （2） 若 ，求面积. 18. 如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时. （1）求两点间距离； （2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 19. 已知函数，． （1）当时，求函数值域； （2）设，当时，不等式恒成立，设实数的取值范围对应的集合为，若在（1）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二上开学考试数学试题 一、单选题 1. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，复数的模的求法结合共轭复数的定义进行计算即可. 【详解】复数， 则， 所以， 所以， 故选:C． 2. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简，，，再根据即可得解. 【详解】，即， ， ， 又，所以， 所以， 故选：D 3. 已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量求出，再求向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为，与同向的单位向量为， ∵在上的投影向量为，， ∴， ∴， ∴， 所以， ∵，∴， ∴与的夹角为， 故选：C. 4. 一半径为2米水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决. 【详解】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为 由，可得，由，可得 由t=0时h=0，可得，则，又，则 则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为 故选：A 5. 已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的简图，结合图象及对称性可得答案. 【详解】设，作出的简图， 不妨设，由正弦函数的对称性可知， 由图可知，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 6. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 7. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简，求，再求，再由两角差的正切公式求. 【详解】因为，所以， 所以， 又为锐角，， 所以， 解得， 因为为锐角，所以， 又 所以. 故选：A. 8. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数的奇偶性可得出，化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性与最值可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，则， 由于，则，所以，， 当时，， 因为函数在区间上为减函数， 则函数在区间上增函数， 所以，，可得，解得， 由可得， 当时，，由题意可得，解得， 综上所述，实数取值范围是. 故选：D. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 二、多选题 9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A. 是关于的方程的一个根，则 B. “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件 C. 若复数，且，则 D. 若复数满足，则复数的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】将代入方程，化简后利用复数相等列式求解即可判断A；根据纯虚数的定义及充分性和必要性得定义即可判断B；根据复数的模的计算求出，即可判断C；设复数，根据复数的加法运算及复数相等的条件即可求出复数，即可判断D. 【详解】对于A，因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以，解得，故A错误； 对于B，当时，若，复数是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立； 当是纯虚数，则且，故必要性成立，故正确； 对于C，若复数，则，解得，故C错误； 对于D，设复数，则， 所以，故，所以复数的虚部为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的值大于零 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得，可求的值，根据奇函数的定义即可判断是否为奇函数，构造齐次式方程，代入，即可求出的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出，再根据三角函数值的正负，即可求出结果. 【详解】解：， 则， 的定义域为R，， 且， 为奇函数，A选项正确； ，B选项错误；，C选项错误； 若， 则，即， ，， 而，， 则，D选项正确； 故选：AD. 11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b取值范围是 D. 若D为边上的中点，则的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，利用正弦定理可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 【详解】根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由， 因为，所以，故A错误； 由上可知：，故有两解，故B错误； 若为锐角三角形， 则，且，即， 由正弦定理可知：，故C正确； 若D为边上的中点，则， 由余弦定理知， 根据基本不等式有，当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确. 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的运算律求得及，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为平面向量满足， 所以， 所以，即， 所以， 设与夹角为，则， 又，所以. 故答案为： 13. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【解析】 【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得. 【详解】由图可得，，且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①错误； 对②：， 则，故②正确； 对③：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上不单调，故③错误. 故正确结论的序号是：②. 故答案为：②. 14. 在边长为的正方形中，是中点，则_______；若点在线段上运动，则的最小值是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 因为正方形的边长为，且是中点， 则， 则， 所以； 设，其中， 则，则， 所以，， 则，， 其中，， 当时，有最小值为. 所以的最小值是. 故答案为：30； 四、解答题 15. 已知，，且．当为何值时， （1）向量与互相垂直； （2）向量与平行. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出，根据向量垂直列式求解； （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 若向量与互相垂直，则， ∴， ∴， ∴，解得或. 【小问2详解】 因为，即， 则，所以不共线， 若向量与平行，则存在实数使得成立， 所以且，解得. 16. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域． 【详解】函数， 当时,解得：， 因此，函数的单调减区间为． 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象， 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ，， 的值域为． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间. 17. 在 中，内角的对边分别为 .已知 （1） 求的值 （2） 若 ，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案． （2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得， 所以 即 即有，即 所以 （2）由（1）知，即， 又因为 ，所以由余弦定理得： ，即，解得, 所以，又因为，所以 ， 故的面积为=. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 18. 如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时. （1）求两点间距离； （2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】（1）30海里 （2）南偏东；小时 【解析】 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【小问1详解】 依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为30海里. 【小问2详解】 依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救搜船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的值域； （2）设，当时，不等式恒成立，设实数的取值范围对应的集合为，若在（1）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1），首先求出，令，然后可得，然后，然后可求出答案； （2）由可得，令，则，，然后可得，由（1）可得，然后可得答案. 详解】（1）， 当时，， ，， 即， 令， 则，，， 由， 得，， 当时，有最小值， 当时，有最大值1， 当时，函数的值域为． （2）当，不等式恒成立， 时，，， 恒成立， 令，则， ， 又， 当且仅当即时取等号，而， ，即， ． 又由（1）知，， 当时，， 要使恒成立，只需， 的取值范围是． 【点睛】方法点睛：（1）常用分离变量法解决恒成立问题，（2）在解决复杂函数的问题时，常用换元法将其转化为常见的函数处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$