精品解析：河南省新乡市封丘县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

高一开学考试数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 下列叙述中正确的个数是 ①若，则； ②若，则与的方向相同或相反； ③若，，则； ④对任一向量，一个单位向量 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 4. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数在单调递减，则（ ） A. 8 B. 3 C. -1 D. 7. 若函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 8. 已知，则不等式等价于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、多选题（每题6分，部分选对按比例得部分分，选错得0分） 9. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. （多选）如果由函数的图象变换得到函数的图象，那么下列变换正确的是（　　） A. 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 B. 图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半 C. 向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变 D. 将图象上所有点横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 三、填空题（每题5分） 12. 化简_________． 13. 若指数函数的最大值与最小值之和等于6，则______． 14. 若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ． 四、解答题（13+15+15+17+17分） 15. （1）设，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知且，求： （1）； （2）． 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 18. 设函数， （1）已知，函数是偶函数，求的值； （2）设，求的单调递减区间. 19. 已知函数的表达式为. （1）若，求函数的值域； （2）当时，求函数的最小值； （3）对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i）；（ii）当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一开学考试数学试卷 一、单选题（每题5分） 1. 下列叙述中正确的个数是 ①若，则； ②若，则与的方向相同或相反； ③若，，则； ④对任一向量，是一个单位向量 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量概念判断①；共线向量判断②③，零向量判断④ 【详解】向量不能比较大小，①错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量方向是任意的，故②错误；对于③，若为零向量，与可能不是共线向量，故③错误；对于④，当时，无意义，故④错误 故选：A 【点睛】本题考查向量概念，共线向量及性质，注意零向量的考查是易错题 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，可得的范围，又，可得的值，根据，利用两角差的余弦公式，展开即可求解. 【详解】解：因为 所以， 又， 所以 所以 故选：D 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，考查了配凑求角的思想，是常见的凑角形式，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题. 3. 已知函数，则函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用两角差的正弦公式和降幂公式，再用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式形式，最后利用正弦型函数的单调性性质求出单调递增区间即可. 【详解】因为 ， 所以函数的单调递增区间是.故选C. 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式和降幂公式以及辅助角公式，考查了正弦型函数的单调性. 4. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求. 【详解】设扇形半径r，弧长l，则，解得，， 所以圆心角为， 故选：A. 5. 已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解. 【详解】由于，故时，则且， 若中只有一个元素， ①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去； ②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去， 当时，则符合题意， 综上可知：或， 故选：D. 6. 若幂函数在单调递减，则（ ） A. 8 B. 3 C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出关于的等式和不等式，解出即可. 【详解】∵是幂函数，∴ 解得或又函数在单调递减，则 即有幂函数，∴ 故选：D. 7. 若函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件结合对数的运算法则得到，即可得到结论． 【详解】∵，∴函数的定义域为R， ， 故. 故选：A 8. 已知，则不等式等价于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由分式不等式去分母，转化为二次不等式直接求解得出答案. 【详解】因为， 所以， 由可得或， 由可得或， 求交集可得，或 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于中档题. 二、多选题（每题6分，部分选对按比例得部分分，选错得0分） 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质判断. 【详解】选项A：，故选项A正确； 根据对数恒等式可知，选项B正确； 选项C：，故选项C错误； 根据换底公式可得：，故选项D正确， 故选：ABD． 10. （多选）如果由函数的图象变换得到函数的图象，那么下列变换正确的是（　　） A. 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 B. 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半 C. 向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变 D. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换关系求解即可. 【详解】函数, 函数, 函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到的图象，故A不正确； 函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半， 得到的图象，故B不正确； 将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变， 得到函数的图象，故C正确； 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变， 得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确； 故选:CD 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 三、填空题（每题5分） 12. 化简_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解. 【详解】解：原式， 故答案：. 13. 若指数函数的最大值与最小值之和等于6，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为是严格单调函数，所以，解得（舍去）或. 故答案为：2. 14. 若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ． 【答案】[-，-）∪（，] 【解析】 【分析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围． 【详解】∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下： ∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则若k＜0，由对称性可知. 故答案为[-，-）∪（，]. 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题． 四、解答题（13+15+15+17+17分） 15. （1）设，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）1 ；（2） . 【解析】 【分析】（1）将指数式转化为对数式，代入目标式，利用对数运算性质计算即可； （2）求出，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）由已知得，， 所以． （2）方法一 因为，所以， 所以． 方法二 因为，所以，所以， 所以． 16. 已知且，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先由同角的平方关系得到的值，从而得到，结合万能公式，分别代入（1）（2）中计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，于是． 设． ． 【小问2详解】 ． 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出； （2）根据向量数量积运算律得，再平方计算即可. 【小问1详解】 ， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由题意知， 解得，， ， 所以． 18. 设函数， （1）已知，函数是偶函数，求的值； （2）设，求的单调递减区间. 【答案】（1）或；（2）减区间为， 【解析】 【分析】（1）根据为偶函数得到，由范围可确定最终取值； （2）利用二倍角公式和辅助角公式可将函数整理为，令，解不等式求得范围即为所求单调递减区间. 【详解】为偶函数 ， 又 或 （2）由题意得： 令，解得： 的单调递减区间为， 【点睛】本题考查根据奇偶性求解参数值、正弦型函数单调区间的求解问题；关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将所求函数化简为正弦型函数的形式，进而利用整体对应的方式来求解单调区间. 19. 已知函数的表达式为. （1）若，求函数的值域； （2）当时，求函数的最小值； （3）对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i）；（ii）当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由，利用的范围可得的范围，进而可得答案； （2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答案； （3）假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论. 【小问1详解】 当时，由，得， 因为，所以，， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 令，因为，故， 函数可转化为， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 综上所述， 【小问3详解】 假设满足题意的，存在， 因为，， 所以在上是严格减函数， 所以在上的值域为， 又在上的值域为，所以，即， 两式相减，得， 因为，所以， 而由，可得，与矛盾． 所以，不存在满足条件的实数，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $