精品解析：河北省2024-2025学年高三下学期省级联测考试数学试卷

2024-2025高三省级联测考试 数学试卷 班级_____姓名_____ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. C. D. 135° 4. 高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则是（ ） A. 偶函数，有最小值 B. 偶函数，有最大值 C. 奇函数，在上单调递增 D. 奇函数，在上单调递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上单调递减，则的最大值为1 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点 11. 已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是的一个顶点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则_____. 13. 已知数列中，，，，则的前项和_____. 14. 已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且. （1）求四棱柱的外接球的表面积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边上一点. （1）若，，求的值； （2）若，是角的平分线，且，求的值. 18. 已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直. （1）求a，b的值； （2）当时，求证：. 19. 已知函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）设方程的两个实数根为，，求证：为常数； （3）在数列中，，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025高三省级联测考试 数学试卷 班级_____姓名_____ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简，再由交集运算即可求解； 【详解】根据题意，由，得， 所以集合， 易知， ， 故选：B. 2. 若复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等求出，再利用复数乘法求解. 【详解】设，则，因此， 则，，即，所以. 故选：A 3. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. C. D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】由平方，结合，求得及，即可求解； 【详解】由已知得，即， 即 又， 两式联立可得：，则向量与的夹角为 故选：C. 4. 高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆台体积公式，结合等差中项，可通过基本不等式转化到圆柱的体积即可得到判断. 【详解】设圆台的上、下底面积分别为，，圆柱的底面积为，高为， 根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项， ，， ， 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦的和差角公式化简等式得到，再由正切的和差角公式求得. 【详解】由已知， 即 则， ∴， 故选：C. 6. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出，再由函数的单调性可得出，结合参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围. 【详解】由已知在处取得最小值， ，，解得， ∵函数在上单调递减， ，即，， 当时，，，符合条件， . 由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点， 的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即， 故选：B. 8. 已知函数，则是（ ） A. 偶函数，有最小值 B. 偶函数，有最大值 C. 奇函数，在上单调递增 D. 奇函数，在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的性质结合对数的运算可判断为偶函数，换元法令结合对数的运算和复合函数的单调性可得有最大值. 【详解】函数的定义域为R， ， ，故函数为偶函数. 令，则， ， 所以，由复合函数的单调性可得在上单调递减， 在处取得最大值， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对数的运算性质化简和换元法化简. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数，幂函数单调性比较大小，利用基本不等式比较大小即可. 【详解】对于A，，由指数函数单调递增，，即，故A正确； 对于B，， 等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小， 所以最小值不可能为4，故B错误； 对于C，由已知，，，即，故C正确； 对于D，，由幂函数单调递增，，即，故D正确， 故选:ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上单调递减，则的最大值为1 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求导确定单调性即可判断；对于BC，构造函数求导，确定单调性可判断；对于D，画出得图象，由图象可判断. 【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确； 当时，，即. 设，则， 在处取得最小值，故B正确； 当时，，即. 由B选项的过程知，在时，， 在上单调递减，，故C正确； 画出的图象如图， 可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确， 故选：BCD. 11. 已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是的一个顶点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式即可判断A；求出即可判断C；求出双曲线的对称轴方程，再与其联立，即可判断BD. 【详解】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时， 过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点， 则，，故A正确； 由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为， 如图2，它与轴夹角的正切值， 解得或（舍），， 由A选项可知，，故C正确； 顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点， ，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于， ，故B不正确，D正确. 图1 图2 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：理解“对勾函数”的图象的特征是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线得定义得到，求解即可； 【详解】由抛物线的定义得，解得或（舍），故. 故答案为：2 13. 已知数列中，，，，则的前项和_____. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，得到等差数列，进而可求解； 【详解】由，得， 是首项为，公差为1的等差数列， ， ， ，为等差数列， . 故答案为： 14. 已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，中两元素之差的绝对值相等时的个数，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】当，中两元素之差的绝对值均为1时，的个数为； 当，中两元素之差的绝对值均为2时，的个数为； 当，中两元素之差的绝对值均为3时，的个数为； 当，中两元素之差的绝对值均为4时，的个数为； 故满足条件的共有（个）； 故其概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分，中两元素之差的绝对值均为、、、时的个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且. （1）求四棱柱的外接球的表面积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由四棱柱的外接球直径就是其体对角线，即可求解； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 取的中点，连接，， 底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面， 又平面，， ，，都在平面内，平面， 又平面，， ，，即， . 四棱柱的外接球直径就是其体对角线， 外接球半径， 故四棱柱的外接球的表面积. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，. 设平面的法向量为，则 令，得：，， 而平面就是平面，其一个法向量是， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由，确定坐标，代入椭圆方程，进而求解； （2）设：，联立椭圆方程，求得，.再由得到，进而可求解； 【小问1详解】 设，，. ， 设，则，解得：， ， 代入椭圆的方程，得，整理得，又， ，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 代入椭圆方程中，整理得， ，. ，且， 即， 又，易知：， ，， 解得， 直线的方程为或. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边上一点. （1）若，，求的值； （2）若，是角的平分线，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，可得，，在中应用正弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据，结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 设，所以，， 在中，由正弦定理得， 所以， 即， 解得，即； 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 由，得， 又因为，所以， 所以，解得或（舍）， 故. 18. 已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直. （1）求a，b的值； （2）当时，求证：. 【答案】（1）， （2）证明：由（1）知， ， 要证成立， 可试证在时成立， 即证在上成立. 设，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 在处取得最大值，即在上恒成立， 原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）先计算交点得出，再根据导函数得出斜率结合斜率乘积计算求解； （2）应用分析法结合基本不等式得出，再化简证明，最后构造函数求导证明即可. 【小问1详解】 交点的横坐标为t，，即， 又，将代入， 得，， 由，得， ，若，则为无理数，， 则，. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最值即可证明. 19. 已知函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）设方程的两个实数根为，，求证：为常数； （3）在数列中，，，求证：. 【答案】（1） （2）证明：由已知，， ， （常数），结论成立. （3）证明：由已知， 设，解得，， 由（2）知，则， 数列是首项为，公比为的等比数列， ，即. 当为偶数时，， ； 当为大于1的奇数时，， ， ， . 当时，也成立，综上所述，结论成立. 【解析】 【分析】（1）应用分式型函数的对称中心及平移计算求解； （2）应用解析式计算求解证明即可； （3）先根据已知证明数列是等比数列，再计算分项数是奇数和偶数分别应用裂项相消法计算证明. 【小问1详解】 ， 其图象是由的图象平移而得到的，对称中心为， 函数图象的对称中心为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解题的关键是分奇偶两种情况应用裂项相消计算证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $