2024-2025学年人教版数学八年级下册第一次月考数学复习之解答压轴题（3月份）（考查范围：第16～17章）

八年级（下）第一次月考复习之解答压轴题（考试范围：16~17章） 【人教版】 1．（24-25八年级·湖北武汉·期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，．    (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． (3)如图2，D是内一点，，，则的长是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将三角形的三边的长代入公式求解即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理列出方程求出x，再根据三角形的面积公式求解即可得； （3）作辅助线如解析图，根据旋转的性质、勾股定理和三角形的内角和可得，，设，则，根据勾股定理求出x即可解决问题． 【详解】（1）∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴． ∴． （2）过C作于H，设，则， 在中，，在中，， ∴，解得：． ∴在中，， ∴．    （3）将三角形绕点D顺时针旋转到的位置，连接，设交于点F，交于点G，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即得， 解得， 则， ∴， 则在直角三角形中，．    【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式的运算、旋转的性质等知识，正确作出辅助线、灵活应用方程思想是解题的关键． 2．（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： (1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） (2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； (3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 【答案】(1)正确 (2)2或 (3)周长为：，面积为：． 【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可； （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【详解】（1）解：设等边三角形三边长分别是a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； （2）解：设另一边长为x， ①，解得，符合题意； ②，解得，符合题意； ③，无解； 故答案为：2或； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴周长为：， 面积为：． 【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键． 3．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． (1)若P点在边上且满足，则此时________； (2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或12或13 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值． （2）过P作于D，设，则，在中，，列方程求解即可得到t的值． （3）分四种情况：当P在上且时，当P在上且时，过C作于D，当P在上且时，当P在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ∵，，， ， 在中，， ， 解得：， , ， 故答案为：； （2）如图，过P作于D， 平分， ∵， ∴（） ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， （3）①如图，当P在上且时， ； ②如图，当P在上且时，过C作于D， ，， 在中，， ， ； ③如图，当P在上且时， ， ； ④如图，当P在上且时， ，而， ， ， 是的中点，即， ； 综上所述，当或或12或13 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 4．（24-25八年级·重庆·期中）阅读下列两则材料，回答问题 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值． ∵，∴ 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC， 则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：， ∴可将的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为5， 【分析】（1）由阅读部分的提示可得到再把得到的方程与原方程相加即可得到答案； （2）把原式化为 可得的含义表示点与点之间的距离与点与之和，再利用数形结合的方法可得答案． 【详解】（1）解： ， 即 两个方程相加可得： 解得： 经检验符合题意． （2） ∴的含义表示点与点之间的距离与点与之和，如图示： 即 ， 所以，当Q在线段EF上时，QE+QF最短，即最小， 最小值为： 设直线EF为 解得： EF为： 【点睛】本题属于阅读题，考查学生的自主学习的能力，同时考查了二次根式的性质，方程组是解法，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，完全平方式的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，综合性较强，对学生的学习能力要求较高． 5．（24-25八年级·湖南长沙·期中）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）2019；（3） 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】解：（1）＝＝|++|＝； （2）S＝++…+， ＝++…+， ＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|， ＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣， ＝2019+， 故整数部分为2019； （3）由题意得， +|﹣﹣|， ＝|++|+|﹣﹣|， ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝||+||， 因为||+||取最小值， 所以﹣3≤≤3，而x＞0， 因此，， 答：x的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 6．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点，直线交直线于点．    (1)设，则______（用含m的代数式表示），并证明：； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并给出证明． (3)若，，求的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)42 【分析】（1）利用翻折的性质得，则，从而求得，再根据，得到，则，从而求得，最后由可得出结论． （2）连接，先由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，再由折叠性质，得，由（1）知，，求得，然后由勾股定理可得出结论． （3）过点C作于H， 由翻折性质得，利用勾股定理可求得，，则，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理求得，然后由（2）知：求得，即可由求解． 【详解】（1）解：∵线段沿直线翻折得线段， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； 证明：∵线段沿直线翻折得线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解： 证明：连接，如图，    ，， ∴， 由翻折知，， 由（1）知，， ， ， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于H，如图，    由翻折知，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形的面积等知识．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，是解题的关键． 7．（24-25八年级·湖南益阳·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解； （2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】解：（1）， 所以， 答：的面积是． （2）边上的高， 答：边的高是． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． 8．（24-25八年级·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 9．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析 (2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【详解】（1）解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； （2）解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 10．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 11．（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期中）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接． (1)求的度数； (2)如图1，可得线段，，的数量关系为 ；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)45度 (2)，发生变化，为，见解析 【分析】（1）在射线上截取，由多边形的内角和公式可得，进而可得，结合，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，即，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，于是得解； （2）由（1）可得，，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得线段，，的数量关系；过点作交于点，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由可得，即，利用可证得，于是可得，，由勾股定理可得，进而可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：如图，在射线上截取，   直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：，，， 由勾股定理可得：， ， 即：线段，，的数量关系为， 故答案为：； 将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系发生变化，关系是，理由如下： 如图，过点作交于点，   ， ， 直线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），勾股定理，多边形内角和问题，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．（24-25八年级·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)； (2)​​​​​​​； (3)； 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为的长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 13．（24-25八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 14．（24-25八年级·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时， 是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得： ， 综上所述： 或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 15．（24-25八年级·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为 ，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为 ， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 16．（24-25八年级·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足．      (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 【答案】(1)是以B为直角顶点的直角三角形，理由见解析 (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先由非负数性质求得b、c，再求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）分当和当两种情况讨论求解即可； （3）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，可证得到，则，故要使的值最小，只需的值最小，即当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，由（2）可知H的坐标为，利用两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，解得，，， ∴，， ∵A的坐标为， ∴， ∴， ∴是以B为直角顶点的直角三角形； （2）解：如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，轴于F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； 如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，交延长线于F，交y轴于D，    同理可以求出，， 同理可以证明， ∴，， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； ∴综上所述，存在点P的坐标为或，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形； （3）解：如图所示，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使的值最小，只需的值最小， ∴当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长， 由（2）可知H的坐标为， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级（下）第一次月考复习之解答压轴题（考试范围：16~17章） 【人教版】 1．（24-25八年级·湖北武汉·期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，．    (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． (3)如图2，D是内一点，，，则的长是______． 2．（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： (1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） (2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； (3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 3．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． (1)若P点在边上且满足，则此时________； (2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 4．（24-25八年级·重庆·期中）阅读下列两则材料，回答问题 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值． ∵，∴ 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC， 则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：， ∴可将的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围． 5．（24-25八年级·湖南长沙·期中）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 6．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点，直线交直线于点．    (1)设，则______（用含m的代数式表示），并证明：； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并给出证明． (3)若，，求的面积． 7．（24-25八年级·湖南益阳·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 8．（24-25八年级·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 9．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 10．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 11．（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期中）如图1，在中，，，是过点的直线，过点作直线于点，连接． (1)求的度数； (2)如图1，可得线段，，的数量关系为 ；将直线绕点顺时针旋转到图2的位置，线段，，的数量关系是否发生变化，请说明理由． 12．（24-25八年级·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 13．（24-25八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 14．（24-25八年级·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 16．（24-25八年级·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足．      (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$