第四章 三角恒等变换（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第四章 三角恒等变换（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 2.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3.的值等于（      ） A． B． C．0 D．1 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.若那么的值为（    ） A． B． C． D． 6.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7.在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8.设△的三边长为，，，若，，则△是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若，则 的可能值是（    ） A． B． C． D． 10.）已知不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．. 11.下列说法正确的是（    ） A．，且 B． C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，，则的大小关系是 （用“”连接）． 13.观察下列几个三角恒等式： ①； ②； ③； ④； 一般地，若、、都有意义，你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为 . 14.彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案､彝族漆器图案､彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 16.（15分）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 17.（15分）已知． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 18.（17分）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，． (1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离； (2)求的值． 19.（17分）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角恒等变换（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出． 【详解】因为为第一象限角，，所以． 故选：A． 2.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用辅助角公式将函数转化为形式, 根据正弦函数的值域求出的值域即可. 【详解】， , 即， 的值域是 . 故选：C. 3.的值等于（      ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】已知式由诱导公式变形后平方，然后由平方关系和正弦的二倍角公式化简可得． 【详解】因为， 所以，所以， ． 故选：C． 5.若那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对化简，再利用两角差的余弦公式可得结果 【详解】解：因为 所以 ， 故选：B 6.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用给定条件求出，再借助二次齐次式计算作答. 【详解】依题意，，即，整理得：， 而，即，解得， 所以. 故选：B 7.在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论． 【详解】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 8.设△的三边长为，，，若，，则△是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】半角公式、万能公式、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r， 法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系； 法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示，    法一： ∴①；②. ①÷②，得：，即． 于是， ，， 从而得或， ∴或．故△为等腰三角形或直角三角形， （1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，   ，从而得． 又，代入①式，得，即， 上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形， ∴△为等腰直角三角形． （2）当时，易得． 代入②式，得，此式恒成立， 综上，△为直角三角形． 法二： 利用，及正弦定理和题设条件，得①，②. ∴③；④. 由③和④得：，即，， 因为为三角形内角， ∴或，即或． （1）若，代入③得：⑤ 又，将其代入⑤，得：． 变形得， 即⑥， 由知A为锐角，从而知． ∴由⑥，得：，即，从而，． 因此，△为等腰直角三角形． （2）若，即，此时③④恒成立， 综上，△为直角三角形． 故选：B 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若，则 的可能值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式可知，，代入选项进行判断即可. 【详解】由题意得， ， ，当 或 时均符合， 当 或 时不符合. 故选：AC. 10.）已知不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．. 【答案】BCD 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解集与其对应的一元二次方程的根的关系，结合两角和的正切公式和弦切互化法即可求解. 【详解】由题意得，，故A错误，正确， 由于，故C正确， 又，故D正确. 故选：BCD. 11.下列说法正确的是（    ） A．，且 B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角、半角公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据三角函数恒等变换进行化简及求值，一一判断命题是否正确即可. 【详解】当时，，所以，故A错误； 当时，，故B正确； 因为，且，所以C正确； 因为，所以，则，且，所以 ，故D正确． 故选：BCD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.）已知，，则的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、比较函数值的大小关系 【分析】利用两角和与差公式求出，，再根据余弦函数单调性判断与的大小. 【详解】， ， 根据余弦函数单调性可得， 故答案为：． 13.观察下列几个三角恒等式： ①； ②； ③； ④； 一般地，若、、都有意义，你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为 . 【答案】当时， 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】观察①②③④中等式的结构，可得出结论. 【详解】对于①式，；对于②式，； 对于③式，；对于④式，. 观察①②③④中等式的结构，可得出以下结论： 当时，. 理由如下： ①当且时， 若、、都有意义时，由两角和的正切公式可得， 所以，， ， 因此， ； ②若且时，则， 可得，此时，. 综上所述，当且、、都有意义，则. 故答案为：当时，. 【点睛】方法点睛：若化简的式子中出现了及两个整体，常考虑的变形公式，两角和的正切公式的常见四种变形如下： （1）； （2）； （3）； （4）. 14.彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案､彝族漆器图案､彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式 【分析】根据图示可得，利用二倍角公式和诱导公式即可计算的出结果. 【详解】根据图2可知，动点将圆周九等分，所以， 所以； 则 将代入可得， 即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）把看作一个整体，将化为，用两角和的正弦公式求解； （2）由第（1）问求出的结果，用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）∵，∴， 又∵，∴，∴ ∴， ∴ . ∴. （2）由第（1）问，，，∴， ∴ . ∴. 16.（15分）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】（1）作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解； （2）先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】（1）由题意知， 作出函数图象如图所示： 由图知周期为； （2） （其中，）， 由，知，即. 17.（15分）已知． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】给值求值型问题 【分析】（1）根据题意先求，进而可得，结合两角和差公式运算求解； （2）根据题意可得，且，结合两角和差公式运算求解. 【详解】（1）因为，则， 可得， 所以． （2）由题意得，， 则， 所以. 18.（17分）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，． (1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，利用正弦定理可得，展开化简即可得其正切值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 故． 故A，C两点间距离为． （2）设，则由题意可知，，． 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 又，所以， 解得，所以． 19.（17分）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【知识点】正、余弦定理的其他应用、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. / 学科网（北京）股份有限公司 $$