第四章 三角恒等变换知识归纳与题型突破（18题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第四章 三角恒等变换 知识归纳与题型突破（18题型清单） 01 知识速记 知识点1　　同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [提醒]　(1)“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能将sin2α写成sinα2. 知识点2　　两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 [点拨]　(1)可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式中的α，β不仅可以是任意一个角，也可以是几个角的组合． (3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)． (4)角变换后使用：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. 知识点3　两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差 的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和 的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和 的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) [点拨]　(1)两角和与差的余弦公式记忆口诀：“余余正正，符号相异”． (2)两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． (3)两角和与差的正切公式符号变化口诀：“分子同，分母反”． 知识点4　二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ [点拨]　(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (2)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z. 知识点5　二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α． (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2． 知识点6　辅助角公式 y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ). [点拨]　(1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)y＝asinx＋bcosx＝cos(x－θ)也是常用的化简形式． 知识点7　半角公式 [提醒]　公式中的正负号不能直接去掉，要根据所在范围选用符号． 知识点8积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sincos. sinα－sinβ＝2cossin. cosα＋cosβ＝2coscos. cosα－cosβ＝－2sinsin. 02 题型突破 题型1基本关系式的简单应用 【例题1】若，则（    ） A． B．-3 C． D．3 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案. 【详解】. 故选：A 巩固训练1.若，，则 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为，，所以，因为，所以 所以 故答案为： 巩固训练2.已知，且，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先利用平方关系式求得，再根据平方式化简给定的三角函数式可得原式即为，从而可求三角函数式的值. 【详解】由知是第三象限角， 故， 又原式 ， 故答案为：. 【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式，一般地，的三个三角函数值，知道其中一个，必定可求其余的两个，这是方程的思想的体现，注意角的终边对三角函数值符号的影响. 【感悟提升】求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对 题型2弦切互化求值 【例题2】若，则（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】结合二倍角公式以及同角的平方关系化简得到，进而结合同角的商数关系得到关于的式子即可求出结果. 【详解】因为， 故选：C. 巩固训练1.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】由二倍角的余弦公式结合平方关系及商数关系化弦为切即可得出答案. 【详解】解：， 分子分母同时除以，得． 故选：D. 巩固训练2.已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 【感悟提升】关于sinα，cosα的齐次式的求值方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 题型3 sinα±cosα，sinαcosα的应用 【例题3】已知，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由平方关系求得，由范围得出的正负，利用余弦的二倍角公式可判断的正负，然后求得的值，从而得结论． 【详解】∵，， ∴， 且， 因为，∴，从而， ， ∴． 故选：D． 巩固训练1.已知，，求，的值. 【答案】， 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先利用同角三角函数关系求解，再利用正弦，余弦的二倍角公式，即得解 【详解】因为sinα＝0.8, α∈，故 所以cosα＝0.6, 故sin2α＝2sinαcosα＝2×0.8×0.6＝0.96, cos2α＝1－2sin2α＝1－2×0.82＝－0.28. 故， 巩固训练2.若，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】先利用倍角公式以及平方关系求出，再结合选项逐个验证即可. 【详解】因为，所以，解得． 又，所以，从而，于是． 故选：AD. 【感悟提升】sinα±cosα，sinαcosα三者的关系 (1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”． (2)sinθ±cosθ的符号的判定方法 sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示． 题型4利用同角三角函数关系式化简 【例题4】设是第二象限角，化简：． 巩固训练1.已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 巩固训练2.已知，则等于（　　） A．m B．－m C． D． 【感悟提升】化简三角函数式的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 题型5利用同角三角函数关系式证明 【例题5】证明： （1）； （2）. 巩固训练1.利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： (1)； (2). 巩固训练2.已知，判断并证明以下4个结论中，哪两个是正确的． ①；         ②； ③；    ④. 【感悟提升】证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 题型6给角求值 【例题6】计算的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.（    ） A． B． C．1 D． 巩固训练2. （    ） A． B． C． D． 【感悟提升】利用公式C(α－β)求值的常见类型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 题型7给值求值 【例题7】已知 ，，则等于（　　） A．- B． C．- D． 巩固训练1.已知，且是第四象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练2.已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法如下： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 题型8.给值求角 【例题8】已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.已知0<α<，0<β<，且tanα，tanβ是方程3x2＋4x－1＝0的两根，求α＋β的值. 巩固训练2.（多选）若，则 的可能值是（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 题型9化简求值 【例题9】已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于 A． B． C．3 D． 巩固训练1.求下列各式的值： (1)； (2)． 巩固训练2.（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．已知角，若，则 C．已知角，若，则 D．对于任意角都有 【感悟提升】化简求值问题的解题策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着“先整体后局部”的基本原则，如果整体符合公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 题型10.化简与证明问题 【例题10】证明下列三角恒等式： (1)； (2). 巩固训练1.（多选）若，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练2.若，则的值为 . 【感悟提升】 1．化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降低次． 2．证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 题型11.辅助角公式的应用 【例题11】（多选）如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数是“同族函数”的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练1.把分别化成以下四种形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练2.求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【感悟提升】将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的步骤 (1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开； (2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． 题型12.三角恒等变换的实际应用 【例题12】如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    巩固训练1.已知向量，定义函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值. 巩固训练2.化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 【感悟提升】利用三角恒等变换解实际问题的方法及注意点 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． (2)在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；②注意实际问题中变量的范围；③重视三角函数有界性的影响． 题型13.三角恒等变换与三角函数性质的综合 【例题13】在中，内角､､的对边分别为､､，且. (1)求角的大小； (2)若，判断的形状. 巩固训练1.若，则（ ） A． B． C． D． 巩固训练2.已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【感悟提升】三角恒等变换与三角函数综合问题的求解策略 (1)充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，最终化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式． (2)将ωx＋φ视作一个整体，借助三角函数的性质，利用整体代换的思想求解． 题型14利用半角公式解决求值问题 【例题14】若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 巩固训练2.（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 【感悟提升】利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 题型15.积化和差、和差化积公式的应用 【例题15】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.（　　） A． B．2 C． D． 巩固训练2.在中，a，b，c分别为，，的对边，若，试判断的形状. 【感悟提升】利用积化和差及和差化积公式进行转化求值的注意点 (1)积化和差时，可以是同名函数的乘积，也可以是异名函数的乘积，而和差化积时，必须是同名函数的和差． (2)和差化积时，两函数值的系数绝对值相同，注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧． 题型16.三角函数式的化简与证明问题 【例题16】求证：． 巩固训练1.化简：. 巩固训练2.（    ） A． B．1 C． D． 【感悟提升】化简与证明问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 题型17.利用同角三角函数基本关系式化简、证明 【例题17】已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 巩固训练1.已知，，则 A． B． C．或 D． 巩固训练2.（多选）如果α是第二象限的角，下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的． 证明简单三角恒等式的思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子． (3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型18.两角和与差的正、余弦公式与三角函数的综合运用 【例题18】在梯形中，，设，，已知. (1)求； (2)若，，，求. 巩固训练1.（多选题）设，其中，，．若对一切恒成立，则结论正确的是（    ） A． B． C．既不是奇函数也不是偶函数 D．的单调递增区间是 巩固训练2.若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角恒等变换 知识归纳与题型突破（18题型清单） 01 知识速记 知识点1　　同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [提醒]　(1)“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能将sin2α写成sinα2. 知识点2　　两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 [点拨]　(1)可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式中的α，β不仅可以是任意一个角，也可以是几个角的组合． (3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)． (4)角变换后使用：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. 知识点3　两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差 的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和 的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和 的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) [点拨]　(1)两角和与差的余弦公式记忆口诀：“余余正正，符号相异”． (2)两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． (3)两角和与差的正切公式符号变化口诀：“分子同，分母反”． 知识点4　二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ [点拨]　(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (2)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z. 知识点5　二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α． (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2． 知识点6　辅助角公式 y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ). [点拨]　(1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)y＝asinx＋bcosx＝cos(x－θ)也是常用的化简形式． 知识点7　半角公式 [提醒]　公式中的正负号不能直接去掉，要根据所在范围选用符号． 知识点8积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sincos. sinα－sinβ＝2cossin. cosα＋cosβ＝2coscos. cosα－cosβ＝－2sinsin. 02 题型突破 题型1基本关系式的简单应用 【例题1】若，则（    ） A． B．-3 C． D．3 巩固训练1.若，，则 . 巩固训练2.已知，且，则 . 【感悟提升】求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对 题型2弦切互化求值 【例题2】若，则（    ） A． B． C．-3 D．3 巩固训练1.若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练2.已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】关于sinα，cosα的齐次式的求值方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 题型3 sinα±cosα，sinαcosα的应用 【例题3】已知，，则=（　　） A． B． C． D． 巩固训练1.已知，，求，的值. 巩固训练2.若，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】sinα±cosα，sinαcosα三者的关系 (1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”． (2)sinθ±cosθ的符号的判定方法 sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示． 题型4利用同角三角函数关系式化简 【例题4】设是第二象限角，化简：． 巩固训练1.已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 巩固训练2.已知，则等于（　　） A．m B．－m C． D． 【感悟提升】化简三角函数式的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 题型5利用同角三角函数关系式证明 【例题5】证明： （1）； （2）. 巩固训练1.利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： (1)； (2). 巩固训练2.已知，判断并证明以下4个结论中，哪两个是正确的． ①；         ②； ③；    ④. 【感悟提升】证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 题型6给角求值 【例题6】计算的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.（    ） A． B． C．1 D． 巩固训练2. （    ） A． B． C． D． 【感悟提升】利用公式C(α－β)求值的常见类型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 题型7给值求值 【例题7】已知 ，，则等于（　　） A．- B． C．- D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用余弦的倍角公式得到，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 所以. 故选：D. 巩固训练1.已知，且是第四象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式一、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由诱导公式知、，结合同角三角函数的平方关系以及是第四象限角，即可求. 【详解】由，即 又，是第四象限角， ∴. 故选：B 巩固训练2.已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先由已知条件求出的值，再利用三角函数恒等变换公式求出的值，然后对利用两角和的正弦公式化简计算即可 【详解】由，得， 所以， ， 所以 ， 故选：A 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法如下： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 题型8.给值求角 【例题8】已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，进而得到的值. 【详解】因为，， 所以, 因为，都是锐角， 所以， 所以. 故选：C. 巩固训练1.已知0<α<，0<β<，且tanα，tanβ是方程3x2＋4x－1＝0的两根，求α＋β的值. 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、给值求角型问题 【分析】由韦达定理求得，再由两角和的正切公式计算出，然后根据角的范围得结论． 【详解】由题意知＝42－4×3×(－1)＝28＞0，所以tanα＋tanβ＝－， tanα·tanβ＝－， 则tan(α＋β)＝＝＝－1.因为0α， 0β， 所以α＋β∈(0, π), 故α＋β＝. 巩固训练2.（多选）若，则 的可能值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式可知，，代入选项进行判断即可. 【详解】由题意得， ， ，当 或 时均符合， 当 或 时不符合. 故选：AC. 【感悟提升】给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 题型9化简求值 【例题9】已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于 A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【解析】利用二倍角的正弦，余弦公式进行化简，再把求值. 【详解】因为终边与单位圆的交点，且是第二象限角， 所以，，则 故选：C 【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题. 巩固训练1.求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1). (2). 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）本题首先可将变成，通过两角差的正弦公式以及两角差的余弦公式得出，然后根据两角差的正弦公式以及诱导公式即可得出结果； （2）本题可通过两角差的正弦公式以及两角和的正弦公式得出结果. 【详解】（1） . （2） . 巩固训练2.（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．已知角，若，则 C．已知角，若，则 D．对于任意角都有 【答案】AC 【知识点】三角函数定义的其他应用、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】对A，因为，所以，正确； 对B，，，的值为负数，不正确； 对C，，在第一象限，则，正确； 对D，当时，，不存在，故不正确. 故选：AC. 【感悟提升】化简求值问题的解题策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着“先整体后局部”的基本原则，如果整体符合公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 题型10.化简与证明问题 【例题10】证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案； （2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论. 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴. （2） . 巩固训练1.（多选）若，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】和差化积公式、给值求角型问题、给值求值型问题 【分析】利用和差化积公式化简，从而可求得，即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 因为，，所以， 从而， 于是， 所以，从而． 故选：BC. 巩固训练2.若，则的值为 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系，将原式化为，将代入即可得结果. 【详解】化简 故答案为. 【点睛】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换. 【感悟提升】 1．化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降低次． 2．证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 题型11.辅助角公式的应用 【例题11】（多选）如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数是“同族函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】把AC的解析式化简后，对照周期和振幅即可得到答案. 【详解】. 对于A：； 对于C：； 显然A中的周期、D中的振幅和周期与已知函数不符，B、C符合． 故选：BC 巩固训练1.把分别化成以下四种形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】辅助角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据辅助角公式结合特殊角的三角函数值即得. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 巩固训练2.求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】诱导公式二、三、四、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、辅助角公式 【分析】（1）利用诱导公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角的三角函数值，进行求值. （2）利用诱导公式和两角差的余弦公式进行求值. （3）借助辅助角公式求值. 【详解】（1） . （2） （3） . 【感悟提升】将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的步骤 (1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开； (2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． 题型12.三角恒等变换的实际应用 【例题12】如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的实际应用 【分析】计算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可求得的最小值. 【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和， 过点作直线，交于点，交于点，则，，且， 又因为，则，故，且， 在中，，则， 在中，，则， 所以，， 因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 巩固训练1.已知向量，定义函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期； （2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值. 【详解】（1）解：= 的最小正周期为 （2）解： ，，. 又AB， . 由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立， =. 巩固训练2.化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 【答案】2 【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】结合二倍角余弦公式和切化弦的方法将原式化简即可. 【详解】原式＝. 【感悟提升】利用三角恒等变换解实际问题的方法及注意点 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． (2)在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；②注意实际问题中变量的范围；③重视三角函数有界性的影响． 题型13.三角恒等变换与三角函数性质的综合 【例题13】在中，内角､､的对边分别为､､，且. (1)求角的大小； (2)若，判断的形状. 【答案】(1) (2)等腰三角形 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】（1）结合已知条件，利用正切函数的三角恒等变换即可求解； （2）利用化简，然后结合（1）中结论即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，，即，， 因为，所以，故. （2）由，所以， 故由， 则，化简得， 即，所以， 又因为，所以， 所以是等腰三角形. 巩固训练1.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用二倍角公式化简，再结合的范围确定和的符号即可求解. 【详解】由二倍角公式可知，，， 从而， 又因为，所以，， 从而. 故选：D. 巩固训练2.已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可. 【详解】因为， 所以的最大值为2，故A正确. 最小正周期是，故B正确. 将代入，可得，则其图象关于直线对称，故C正确. 当时，，所以的图象关于点对称．故D错误. 故选: ABC. 【感悟提升】三角恒等变换与三角函数综合问题的求解策略 (1)充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，最终化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式． (2)将ωx＋φ视作一个整体，借助三角函数的性质，利用整体代换的思想求解． 题型14利用半角公式解决求值问题 【例题14】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用半角公式，倍角公式，弦化切等进行化简求值. 【详解】 因为 所以分子分母同除以，可得：原式= 故选：C 巩固训练1.已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】半角公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由角的范围及平方关系求得，利用半角公式即可求目标式的值. 【详解】由，又，，则， 所以. 故选：D 巩固训练2.（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 【答案】AD 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、半角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角、半角公式即可求解. 【详解】， 当时，不存在， 当时，. 故选：AD. 【感悟提升】利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 题型15.积化和差、和差化积公式的应用 【例题15】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】和差化积公式 【分析】根据和差化积公式直接判断即可. 【详解】由和差化积公式可知： ， ，， 因此选项C正确， 故选：C 巩固训练1.（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、和差化积公式 【分析】 根据二倍角公式以及和差化积公式求得结果. 【详解】 . 故选：D. 巩固训练2.在中，a，b，c分别为，，的对边，若，试判断的形状. 【答案】直角三角形 【知识点】和差化积公式 【分析】应用和差化积公式时，要利用诱导公式化成同名函数后，再运用公式化成积的形式，然后再化简即可求解. 【详解】在三角形中，，故， 所以的值不为0， 由， 得， 两边同除以，得， 即， ∵，∴， 所以，所以， 所以. ∴为直角三角形. 【感悟提升】利用积化和差及和差化积公式进行转化求值的注意点 (1)积化和差时，可以是同名函数的乘积，也可以是异名函数的乘积，而和差化积时，必须是同名函数的和差． (2)和差化积时，两函数值的系数绝对值相同，注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧． 题型16.三角函数式的化简与证明问题 【例题16】求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系证明即可. 【详解】证明：左边右边． 巩固训练1.化简：. 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 巩固训练2.（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用和角的正切公式得到，代入即得解. 【详解】由题得， 所以 . 故选：B 【感悟提升】化简与证明问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 题型17.利用同角三角函数基本关系式化简、证明 【例题17】已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案. 【详解】， ， ，分子分母同时除以得： ①， 由于，所以，所以， 所以， 所以， 即，代入①得： ，解得. 故选：B 巩固训练1.已知，，则 A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【详解】由已知，， 所以，， 故选. 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和差的三角函数. 巩固训练2.（多选）如果α是第二象限的角，下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由条件等式求正、余弦 【分析】先根据α所在的象限判断正弦，余弦的符号，在根据同角三角函数的关系来判定就可以了. 【详解】由同角的三角函数关系中的商数关系可知A、D均不正确； ， 当α为第二象限角时，，， ， 故B正确，C错误. 故选：ACD. 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的． 证明简单三角恒等式的思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子． (3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型18.两角和与差的正、余弦公式与三角函数的综合运用 【例题18】在梯形中，，设，，已知. (1)求； (2)若，，，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、特殊角的三角函数值 【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式化简所给式子可得，结合图形可得，即可得； （2）借助正弦定理与余弦定理计算即可得. 【详解】（1）， 即， 即， 即，即， 又，故，即， 又，故； （2）由，故， 由正弦定理可得， 即， 故，则， 由余弦定理可得， 即，故.    巩固训练1.（多选题）设，其中，，．若对一切恒成立，则结论正确的是（    ） A． B． C．既不是奇函数也不是偶函数 D．的单调递增区间是 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、三角函数图象的综合应用、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】A选项，利用辅助角公式化简，结合题目条件得到或，得到解析式，代入，求出；B选项，代入计算得到；C选项，由函数奇偶性定义进行判断；D选项，代入检验得到是的单调递减区间. 【详解】由题得 ， 因为对一切，恒成立，所以， 故或． 故，或． 对于A，当时，， 当时，， 所以，故A正确； 对于B，， ， 所以，故B错误； 对于C，当时，且， 当时，且， 故既不是奇函数也不是偶函数，故C正确； 对于D，当时，， 当时，是的单调递减区间，故D错误． 故选：AC 巩固训练2.若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】先根据，，确定，的范围，再根据条件得到，然后由，即可求解. 【详解】，, ,, ,, ,, . 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$