第5章 1.2 复数的几何意义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

(3)当:是纯虚数时,应满足 m-2m-80. m-2m=0. 所以rn- 1-co, m 解得m=2. 因为t# 对点训练2:(1)z=(m-m-6)+(m+5m+6)i是实数 i则m{}+5m+6=0,解得m=-2或m=-3.$$$$ 2tanB 1-taB [m}-m-6=0.解得m=3. (2):=(m}-m-6)+(m}+5m+6)i是纯虚数,则 由①得sinB=- 1+tanB 1n+5m+6*0. -3. 例3:设y=bi(b=R且b0)代入(3x-10)+i=y-3i 整理得(3x-10)+i=bi-3i. -0. 11=b-3. l-4. 5/3 65 .10 3,-4i 14-30-解得a 第五章 复数 对点训练3:(1)C(2)-1(1)易知 1-2=4a. $1 复数的概念及其几何意义 =-4. (2):=0 [a1=0. l-1=0 1.1 复数的概念 解得a=-1. 必备知识 探新知 课堂检测 固双基 知识点1 2.实数(b=0) 1.C(1+③)i可看作0+(1+/3)i=a+bi. 知识点2 1.a=c且b=d 所以实部a=0.虚部b-1+3. 关键能力 攻重难 12.C 因为复数:=a}-4+(a-2)i为纯虚数,则有 例1:(1)B(2)+v2.5 5(3)见解析 [a-4=0. '解得a=-2.所以实数a的值为-2.故选C. 【解析】(1)对于①,当:eR时,?=0成立,否则不成立, la-20. 如:-i.=-1<0.所以①为假命题; -由条件知m(m+4)m+2.. m{+4m=^ m-2. 对于②.2i-1=-1+2i.其虚部为2.不是2i.所以②为假命 m-1 题; .m= 对于③.2i=0+2i.其实部是0,所以③为真命题 n-9-0 (2)由题意得:a-2.-(2-b)-3. 4-3z<0. mt1co.m=-3. 所以a=+/2.b=5 $.由m+5m+6=0得,m=-2或m=-3.由m-2m-15-$$ (3)①由于x.y都是复数,故x+yi不一定是代数形式,因此 得m=5或m=-3. 不符合两个复数相等的充要条件,故①是假命题 (1)当m}-2m-15-0时,复数;为实数..m=5或-3 ②当a=0时,ai=0为实数,故②为假命题 (2)当m-2m-15z0时,复数:为虚数. ③由复数集的分类知,③正确,是真命题 .m×5且m*-3. 对点训练1:③ ①错,复数由实数与虚数构成,在虚数中 又分为纯虚数和非纯虚数. 1m}+5m+6=0. '时,复数:是纯虚数..m=-2 ②错.只有当m.neR时,才能说复数:-3m+2ni的实部与 虚部分别为3m.2n. 1m+5m+6=0. '时,复数:是0.n=-3. ③正确,复数z=x+vi(x.yeR)为纯虚数的条件是x=0且 y0.只要x0,则复数:一定不是纯虚数 1.2 复数的几何意义 ④错,只有当aeB,且a≠-3时.(a+3)i才是纯虚数 必备知识 探新知 例2:(1)当:是实数时,应有m-2m-8-0. 知识点1 实轴 虚轴 m 知识点2 一一对应 -一对应(a,6) 解得m=4或-2. m70. 知识点3(1)模(2)+ (2)当:是虚数时,应满足m-2m-80. 知识点4 相等 相反数a-bi m 关键能力 攻重难 [m-5m+6=0. 例1:(1)由题意得复数:满足 因此m*4,且m≠-2,且m70 1m2-3m+2=0 时,表示的 -330一 点与原点重合,解得m=2. 2.A 依题意可得 (m-3)+(m-1)=2.解得m=1或3.故选A (2)当m-3m+2=2(m-5m+6)时,表示复数z=(m-5m+ 3.A 由-1.则在复平面内对应的点的 6)+(m-3m+2)i的点位于直线y=2x上,解得m=2或m=5. (3)由题意可得 坐标为(3,).位于第一象限.故选A. 1m-3m+2>0.或 $-3m+2<o. rm}-5m+6>0. 4.B因为lzl=(2a-1)+(a+1)=2,化简得5a- = 得mc1或m>3. 0,解得a-0或a-2-故“1z1-2”是“a-2-”的必要不充分 [m-5m+6<0. 解集为,故m<1或m>3 fm-3m+2<0. 条件,故选B. 对点训练1:(1)C(2)B(1):=-1-2i对应点Z(-1. 5.由2+2=i及l I=ll=l,设=a+bi(abeR). -2),位于第三象限 则=i-2=-a+(1-b)i. (2)复数:=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点 /-. 解得 P(3m-2.m-1),当m>1时,P在第一象限;当m<-时,P在 #_# 第三象限,当2<n<1时,P在第四象限,当m= 2时,P在{ ## 轴上,当m=1时,P在x轴上,故选B 例2:(1)C(2)见解析 【解析】(1)两个复数对应的点分别为A(10.7),B(-6. 1).则C(2.4).故其对应的复数为2+4i. $2 复数的四则运算 (2)①由复数的几何意义知: #=(1.0).08-(2.1).0°-(-1.2). 2.1 复数的加法与减法 所以A=o-o=(1.1)A=0-0-(-2.2)B= -0B-(-3.1),所以AB,AC.BC对应的复数分别为1+i.-2 关键能力 攻重难 +2i,-3+i. 例1:(1)-2-i(2)/2 (1)(2-3i)+(-4+2i)=(2- ②因为A1-2.1ACI-2/5.1B=/10 4)+(-3+2)i=-2-i. 所以1AB+1AC1-BC. () -=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(- 3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)--3y)]i= 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形 对点训练2:(1)A (2)-6-8i (1)A(-1.2)关于x (5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i. 所以 [5x-5y=5, 轴的对称点为B(-1.-2):.向量0B对应的复数为-1-2i. 1-3x+4=-3. 解得x-1,y-0. (2)因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量0A与0B,所以 -(43).0-(-2.-5).A-0-0A-(-2.-5)-(4. 所以=3-2i,=-2+i.则 +=1-i. 3)=(-6.-8),所以向量AB表示的复数是-6-8i. 所以l+1=2. 对点调练1:(1)-10 (2)3(1)-1-(-1+5i)+(-2 例3:(1)1 l=1/3+1= \3)+1=2.l= -3 )-(i-1)=-i+1-5 i-2-3i-i+1=-10 (#)()# =1,所以l1>l1. (2)由条件知云+2。=a-2-3+(a-1)i. ra-2a-3=0. 又.+2。是纯虚数,所以 .解得a=3. (2)方法一:设:=a+bi(a、beR),则l:l=+b 1-1z0. 代入方程得a+bi+ a+b=2+8i. 例2:(1)A0--0.:A0所表示的复数为-3-2i. ·=A0.:BC所表示的复数为-3-2i. -8. -8. 2)C-0-0 方法二:原式可化为:=2-lzl+8i. .CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. .121eB,2-1z1是:的实部,于是1:1 (3)对角线0B-0A+0C,它所对应的复数:=(3+2i)+ =(2-l:1)+8. (-2+4i)=1+6i.10B- +6=37 即11=68-411+1:1.:11=17 对点训练2:如图,因为AC与BD 代人z=2-1z1+8i得:=-15+8i. 的交点M是各自的中点. 对点训练3:/29 :为实数.a-a-6=0.a=-2 所以有:-:c 2 或3a=-2时,:无意义=3.i=2-5i.11=/29 所以x=.+-*=1-7i. 课堂检测 固双基 因为AC:-2.=2-(-5-2i) 1.B 在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为 =7+2i. (a.-b)和(-a,-b)关于y轴对称 -31-　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%çGY<êë ３．已知ｘ是实数，ｙ是纯虚数，且满足（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ，求ｘ与ｙ． 【分析】　 因为ｙ是纯虚数，所以可设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠０）代入等式，把等式的左、右 两边都整理成ａ ＋ ｂｉ的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于ｘ与ｂ的方程组， 求解后得ｘ与ｂ的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）若４ － ３ａ － ａ２ ｉ ＝ ａ２ ＋ ４ａｉ，则实数ａ的值为 （　 　 ） Ａ． １　 　 　 　 　 Ｂ． １或－ ４ Ｃ． － ４ Ｄ． ０或－ ４ （２）已知复数ｚ ＝（ａ ＋ １）－（ａ２ － １）ｉ，若ｚ ＝ ０，则实数ａ的值为　 　 　 　 ． 归纳提升： %¶F*:šx- ø…–—?]é%e *:xŸÑd³e· :xŸ3X-2 3?zD]VG³e ¥ÁD: ． *:šx B·,*:€·:b c-¦§ ． KLMN%OPQ １．（１ ＋槡３）ｉ的实部与虚部分别是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １，槡３ Ｂ． １ ＋槡３，０ Ｃ． ０，１ ＋槡３ Ｄ． ０，（１ ＋槡３）ｉ ２．若复数ｚ ＝ ａ２ － ４ ＋（ａ － ２）ｉ为纯虚数，则实数ａ的值 为 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ２或－ ２ Ｃ． － ２ Ｄ． － ４ ３．若复数ｚ ＝ ｍ（ｍ ＋ ４）ｍ － １ ＋（ｍ ＋ ２）ｉ的实部与虚部相等， 则实数ｍ的值为　 　 　 　 ． ４．若复数ｚ ＝（ｍ ＋ １）＋（ｍ２ － ９）ｉ ＜ ０，则实数ｍ的值等 于　 　 　 　 ． ５．实数ｍ分别取什么数值时，复数ｚ ＝（ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）＋ （ｍ２ － ２ｍ － １５）ｉ （１）是实数；（２）是虚数；（３）是纯虚数；（４）是０． 请同学们认真完成练案［３５                     ］ １． ２　 复数的几何意义 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．通过类比实数的几何意义来理解复数的几何意义． ２．理解复数的两种几何意义． ３．了解复数模的意义． 通过本节的学习，培养学生从数量与数量、图形与 图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系， 从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并 用数学语言予以表征的素养． !#$ )*+,%-.+ 知识点１　 复平面 知识点２　 复数的几何意义 知识点３　 复数的模 　 　 （１）定义：向量→ＯＺ的模　 称为复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的模． （２）记法：复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的模记为｜ ｚ ｜或｜ ａ ＋ ｂｉ ｜且｜ ｚ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 注意：对复数模的两点说明 ①数的角度理解：复数ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的模｜ ａ ＋ ｂｉ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示非 负实数，可以比较大小． ②几何角度理解：表示复数的点Ｚ到原点的距离． ｜ ｚ１ － ｚ２ ｜表示复数ｚ１，ｚ２对应的点之间的距离． 知识点４　 共轭复数 　 　 若两个复数的实部相等　 ，而虚部互为相反数　 ，则称这两个复数互为共轭复数．复数ｚ的共轭复数用ｚ表 示．当ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）时，ｚ ＝ ａ － ｂｉ　 ． 注意：对共轭复数模的两点说明 ①在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等； ②任意一个实数的共轭复数仍是它本身． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%çGdçÊnìB</Û １．当实数ｍ取什么值时，复平面内表示复数ｚ ＝（ｍ２ － ５ｍ ＋ ６）＋（ｍ２ － ３ｍ ＋ ２）ｉ的 点分别满足下列条件： （１）与原点重合；（２）位于直线ｙ ＝ ２ｘ上；（３）位于第一象限或者第三象限． 【分析】　 （１）（２）（３）根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方 程或不等式，即可求得答案． ［归纳提升］ 归纳提升： １． *:r*wÆfÎ -LÂ@¿-·Íá *:-·…\BîL ÂÎ-¶½¾?*: -¡…\BîLÂÎ -µ½¾ ． ２． ˜™*:p*wÆ fLÂÎTU-–— ‘D:¥¨ÊB¥Ä Å©'?]´µ*: rÎ-LÂ@¿?ã d*:·…r¡… TU-–—?P&h 2¨3©ÊŒxŸ ¨3© ‘ Ñ D : ¥ ¨ÊB¥ÄÅ© ． !#% 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 （１）复数ｚ ＝ － １ － ２ｉ（ｉ为虚数单位）在复平面内对应的点位于 （　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 （２）复数ｚ ＝（３ｍ － ２）＋（ｍ － １）ｉ（ｍ∈Ｒ，ｉ为虚数单位）在复平面内对应的点不可 能位于 （　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%çGdçÊnì(¹</Û ２．（１）在复平面内，复数１０ ＋ ７ｉ，－ ６ ＋ ｉ对应的点分别为Ａ，Ｂ．若Ｃ为线段ＡＢ的中 点，则点Ｃ对应的复数是 （　 　 ） Ａ． ４ ＋ ８ｉ Ｂ． １６ ＋ ６ｉ Ｃ． ２ ＋ ４ｉ Ｄ． ８ ＋ ３ｉ （２）在复平面内，Ａ，Ｂ，Ｃ三点对应的复数分别为１，２ ＋ ｉ，－ １ ＋ ２ｉ． ①求向量→ＡＢ，→ＡＣ，→ＢＣ对应的复数； ②判定△ＡＢＣ的形状． 【分析】　 根据复数与点、复数与向量的关系求解． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD ２ 　 　 （１）在复平面内，Ｏ为原点，向量→ＯＡ对应的复数为－ １ ＋ ２ｉ，若点Ａ关于ｘ轴的对称 点为Ｂ，则向量→ＯＢ对应的复数为 （　 　 ） Ａ． － １ － ２ｉ Ｂ． － ２ ＋ ｉ Ｃ． １ ＋ ２ｉ Ｄ． － １ ＋ ２ｉ （２）已知复数４ ＋３ｉ与－２ －５ｉ分别表示向量→ＯＡ与→ＯＢ，则向量→ＡＢ表示的复数是　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%çG<§ ３．（１）已知复数ｚ１ ＝槡３ ＋ ｉ，ｚ２ ＝ － １２ ＋槡 ３ ２ ｉ，求｜ ｚ１ ｜及｜ ｚ２ ｜并比较大小； （２）已知复数ｚ满足ｚ ＋ ｜ ｚ ｜ ＝ ２ ＋ ８ｉ，求复数ｚ． 【分析】　 （１）根据求模公式进行计算； （２）设ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出ａ，ｂ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 若复数ｚ ＝ ２ａ － １ａ ＋ ２ ＋（ａ ２ － ａ － ６）ｉ（ａ∈Ｒ）是实数，则ｚ１ ＝（ａ － １）＋（１ － ２ａ）ｉ的模为 　 　 　 　 ． 归纳提升： １． F*: ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ¨ ａ，ｂ P Ｒ ©ô*: ｚ p*wÆfLÂ-€ " →ＯＺ ＝（ａ，ｂ）． ２． *wÆf€"L -*:]P&€"- ½¾,ü‘Ñ ． ３． %e€"Œ¨©r w¨?%ÓLÂ-* :BŒO-?)îä Îr|ÎLÂ-*: ]#òO ． 归纳提升： １̈ ©*:-áB6` ·:?»Ø*:-á ]^š›Z ． ２̈ ©´µ*:á-C ü/ Ÿ ｜ ａ ＋ ｂｉ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２]_*:á -`abc0·:` ahi ． !#& KLMN%OPQ １．已知ａ、ｂ∈Ｒ，那么在复平面内对应于复数ａ － ｂｉ，－ ａ － ｂｉ的两个点的位置关系是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．关于ｘ轴对称 Ｂ．关于ｙ轴对称 Ｃ．关于原点对称 Ｄ．关于直线ｙ ＝ ｘ对称 ２．已知复数ｚ ＝（ｍ － ３）＋（ｍ － １）ｉ的模等于２，则实数 ｍ的值为 （　 　 ） Ａ． １或３ Ｂ． １ Ｃ． ３ Ｄ． ２ ３．若复数ｚ ＝ ３２ － １ ２ ｉ，则其复数ｚ（ｚ与ｚ的实部相等，虚 部互为相反数）在复平面内对应的点位于 （　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ４．已知ｚ ＝（２ａ － １）＋（ａ ＋ １）ｉ（ａ∈Ｒ），则“｜ ｚ ｜ ＝槡２”是 “ａ ＝ ２５ ”的 （　 　 ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ５．已知复数ｚ１，ｚ２ 满足｜ ｚ１ ｜ ＝ ｜ ｚ２ ｜ ＝ １，且ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ ｉ，求 ｚ１，ｚ２的值． 请同学们认真完成练案［３６                           ］ § # 复数的四则运算 ２． １　 复数的加法与减法 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．复数代数形式的加、减运算法则． ２．复数代数形式的加、减运算律． ３．复数代数形式的加、减运算的几何意义． 通过本节的学习，培养学生建立形与数的联系， 利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问 题，培养学生数学抽象，直观想象的核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数的加法运算及几何意义 ｚ１，ｚ２，ｚ３∈Ｃ，设ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２分别与复数ｚ１ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ｚ２ ＝ ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ）相对应，且ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２不共线 复数的加法法则 ｚ１ ＋ ｚ２ ＝（ａ ＋ ｂｉ）＋（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ ＋ ｃ）＋（ｂ ＋ ｄ）ｉ 运算律 ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ ｚ２ ＋ ｚ１ （ｚ１ ＋ ｚ２）＋ ｚ３ ＝ ｚ１ ＋（ｚ２ ＋ ｚ３） 几何意义 复数的和ｚ１ ＋ ｚ２与向量ＯＺ→ １ ＋ ＯＺ→ ２ ＝ →ＯＺ的坐标对应 !#'