第四章 三角恒等变换（3易错+16压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第四章 三角恒等变换 易错训练与压轴训练 01 思维导图 02 易错题型 易错辨析1.忽略隐含条件致错 例1若sinα＝，cos α＝<α<π，则m＝________. 解析：由题意得，解得m＝8. 答案：8 易错警示 易错原因 纠错心得 直接利用平方关系式，忽略角的范围，造成错解m＝0或m＝8. 审题认真，不能漏掉每一个条件，本题<α<π，就是告诉sin α>0，cos α＜0. 易错辨析2.忽略三角函数值对角的范围限制致错 例2.若α，β均为锐角，sin α＝，sin (α＋β)＝，则cos β＝(　　) A． B． C．或 D．－ 解析：∵α，β均为锐角，且sin α＝>sin (α＋β)＝. ∴α＋β为钝角， ∴cos (α＋β)＝－＝－， cosα＝＝. ∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝×＋×＝.故选B. 答案：B 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略了sin α＝>sin (α＋β)＝，没能判断α＋β的范围致错，错选C. 解答此类问题时，不仅要考虑已知角的范围，还要考虑由三角函数值对角的限制进一步缩小范围，否则容易出错． 易错辨析3.忽略条件中隐含的角的范围出错 例3　已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值． 解析：由题意知∴tan α<0，tan β<0(*) 又α，β∈(0，π)，∴α∈，β∈ ∴α＋β∈(π，2π)，∴tan (α＋β)＝＝＝1. ∴α＋β＝π. 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略(*)这一隐含条件． 一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误． 03 压轴题型 压轴题型1已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 已知角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数的关系求解. 【详解】∵，可得在第二象限， ∴， ∴ 故选：D. 压轴题型2利用三角恒等变换判断三角形的形状 已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BCD 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，， 所以，所以， 且或. 所以， 因为，所以，从而可得， 所以. 当时，，所以，，此时锐角三角形. 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 若，则，此时，所以，解得或（舍）， 当时，是等腰三角形. 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. 故选：BCD 压轴题型3二倍角的余弦公式、给值求值型问题 已知)，则) ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】先求出，，再利用和差角公式即可求解. 【详解】，． ，． ． ． ． 故答案为：. 压轴题型4同角三角函数基本关系 化简： (1)； (2)． 【答案】(1)cos40°﹣sin40°； (2)1. 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）（2）根据同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】（1）cos40°﹣sin40°； （2）原式= . 压轴题型5正、余弦齐次式的计算 已知，，求、、的值. 【答案】，，. 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角函数关系得，结合二倍角公式和商关系计算得出结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， ， . 压轴题型6辅助角公式 用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式 【分析】根据辅助角公式进行化简得出结果； 【详解】（1） （2） 压轴题型7求含sinx(型)函数的值域和最值 解答： (1)化简：； (2)求值：； (3)求函数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简可得结果； （2）利用两角和的正弦公式化简可得结果； （3）利用辅助角公式化简函数解析式，利用正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式 . （3）解：，故. 压轴题型8求的单调区间 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，使成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、三角恒等变换的化简问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求出函数的单调区间； （2）求出时，，只需，从而得到不等式，求出. 【详解】（1）由题意可得：   令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）若，使成立 等价为 因为，所以，所以， 当时 所以 ， 所以 所以 压轴题型9三角函数的化简、求值 若，且，求的值. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，求得，再结合正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，可得， 因为，可得，则 所以， 所以. 故答案为：. 压轴题型10诱导公式 已知，且为第二象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角余弦公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合正弦的二倍角公式、降幂公式进行求解即可. 【详解】（1） （2）因为，为第二象限角， 所以， 所以， . 压轴题型11 逆用和、差角的正切公式化简、求值 已知，，又，都是钝角，求的值． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】将变形，结合得到，即，结合，都是钝角，求出. 【详解】，变形为， 因为，故， 即， 即， 因为， 所以， 因为，都是钝角， 所以，故， 则. 压轴题型12同角三角函数基本关系 已知，求的值. 【答案】2 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】把和看成两个未知数，列出关于和的两个独立的关系式，通过解方程组，就可以求出和，然后再用商数关系求解. 【详解】由题意和同角三角函数的基本关系式，有. 消去，得， 解得或. 又，所以，所以， 此时. 压轴题型13求含sinx（型）的二次式的最值 若，求函数的最值及取得最值时相应的的值． 【答案】时，函数取得最大值，最大值为． 【知识点】辅助角公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】令，求出的范围从而原函数化为，再利用配方法求最值可得答案. 【详解】，令， 则．∵， ∴， 从而原函数化为， 由二次函数的性质可知，当， 即时，函数取得最小值，最小值为； 当，即时，函数取得最大值，最大值为． 压轴题型14逆用和、差角的正切公式化简、求值 若的三个内角满足：，且，，求角的大小. 【答案】，， 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由三角形的三个内角和等于，结合，即可求出，，再结合与，即可求出，，则可写出答案. 【详解】由题意知 解得，且， 又∵ ∴ . ∴，可作为一元二次方程的两根， 解得，， 又∵， ∴，， 即，. ∴，， 【点睛】两角和与差的正切公式有两种变形形式：①； ②.当为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和（或差）时常用变形形式②. 压轴题型15用和、差角的正弦公式化简、求值 已知，，求． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由正弦的和差角公式可得，再由正切的和角公式及同角三角函数的商数关系化简，即可得解. 【详解】因为 ， 所以 所以 . 压轴题型16三角函数在生活中的应用 吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到 (1)该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数在生活中的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用建立方程即可求解； （2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出的最值，再根据角的范围即可求得何时有最大值. 【详解】（1）由可得：， 同理可得， 因为， 所以， 可得. （2）由题意可得， 则， 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故当时，取最大值， 因为，所以， 所以时，最大. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角恒等变换 易错训练与压轴训练 01 思维导图 02 易错题型 易错辨析1.忽略隐含条件致错 例1若sinα＝，cos α＝<α<π，则m＝________. 易错警示 易错原因 纠错心得 直接利用平方关系式，忽略角的范围，造成错解m＝0或m＝8. 审题认真，不能漏掉每一个条件，本题<α<π，就是告诉sin α>0，cos α＜0. 易错辨析2.忽略三角函数值对角的范围限制致错 例2.若α，β均为锐角，sin α＝，sin (α＋β)＝，则cos β＝(　　) A． B． C．或 D．－ 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略了sin α＝>sin (α＋β)＝，没能判断α＋β的范围致错，错选C. 解答此类问题时，不仅要考虑已知角的范围，还要考虑由三角函数值对角的限制进一步缩小范围，否则容易出错． 易错辨析3.忽略条件中隐含的角的范围出错 例3　已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值． 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略(*)这一隐含条件． 一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误． 03 压轴题型 压轴题型1已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 已知角，且，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型2利用三角恒等变换判断三角形的形状 已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 压轴题型3二倍角的余弦公式、给值求值型问题 已知)，则) ． 压轴题型4同角三角函数基本关系 化简： (1)； (2)． 压轴题型5正、余弦齐次式的计算 已知，，求、、的值. 压轴题型6辅助角公式 用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 压轴题型7求含sinx(型)函数的值域和最值 解答： (1)化简：； (2)求值：； (3)求函数的最大值. 压轴题型8求的单调区间 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，使成立，求的取值范围． 压轴题型9三角函数的化简、求值 若，且，求的值. 压轴题型10诱导公式 已知，且为第二象限角． (1)求的值； (2)求的值． 压轴题型11 逆用和、差角的正切公式化简、求值 已知，，又，都是钝角，求的值． 压轴题型12同角三角函数基本关系 已知，求的值. 压轴题型13求含sinx（型）的二次式的最值 若，求函数的最值及取得最值时相应的的值． 压轴题型14逆用和、差角的正切公式化简、求值 若的三个内角满足：，且，，求角的大小. 压轴题型15用和、差角的正弦公式化简、求值 已知，，求． 压轴题型16三角函数在生活中的应用 吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到 (1)该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$