第四章 三角恒等变换 第五章 复数综合测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第四章　三角恒等变换　第五章　复数 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,则实数λ=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.i为虚数单位,等于(　　) A.0 B.2i C.-2i D.4i 3.已知复数z=,则复数在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知z是方程x2-2x+2=0的一个根,则||=(　　) A.1 B. C. D.2 5.已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　) A. B. C. D. 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a2-2b2+2c2=0,则(　　) A.tan B=-3tan C B.tan B=3tan C C.tan B=-5tan C D.tan B=5tan C 7.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x 的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　) A.-2+i B.-2-i C.1+2i D.-1+2i 8.若tan α=2tan,则=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.给出下列命题,其中是真命题的是(　　) A.纯虚数z的共轭复数是-z B.若z1-z2=0,则z1= C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数 D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数 10.已知函数f(x)=sin x-cos(x+),则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最小正周期为2π C.f(x)的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称 D.f(x)的值域为[-] 11.已知0<θ<,若sin 2θ=m,cos 2θ=n且m≠n,则下列选项中与tan(-θ)恒相等的有(　　) A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若z1=1-i,z2=3-5i,在复平面内z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则Z1,Z2的距离为　　. 13.已知tan α=,tan(α-β)=,则tan(2α-β)=　　　　　.  14.(2025上海,10)若i为虚数单位,复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限,|z|=1,且z+=1,求z; (2)已知复数z=-(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数m的值. 16.(15分)(2025天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=. (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求sin(A+2B)的值. 17.(15分)已知复数z=a+i(a∈R),i为虚数单位. (1)若|z|=1,求a的值; (2)若为实数,求a的值; (3)若z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,求a,b的值. 18.(17分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=. (1)求cos(α-β)的值; (2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值. 19.(17分)已知函数f(x)=4sin(ωx-)cos ωx在x=处取得最值,其中ω∈(0,2). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若α为锐角,且g(α)=,求cos α的值. 参考答案 1.B　由题得,z=(1+λ)+(λ-1)i.因为复数z是纯虚数,所以1+λ=0,且λ-1≠0,解得λ=-1. 2.A　=-i,=i,=-i,=i, ∴=0. 3.C　z==-1+i,则=-1-i,故复数在复平面内对应的点(-1,-1)位于第三象限.故选C. 4.B　因为方程x2-2x+2=0是实系数方程,且Δ=(-2)2-4×2=-4<0,所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根,即z1,2==1±i,故||=|z|=. 5.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α. 因为α∈(0,),所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α. 又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,即sin2α=. 因为sin α>0,所以sin α=.故选B. 6.C　由已知3a2-2b2+2c2=0,得c2-b2=-a2, 所以cos B==-, 即4ccos B=-a,由正弦定理可得4sin Ccos B=-sin A, 所以4sin Ccos B=-sin(C+B), 即4sin Ccos B=-sin Ccos B-cos Csin B, 所以5sin Ccos B=-cos Csin B.则tan B=-5tan C.故选C. 7.A　复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的复数为-2+i.故选A. 8.C　cos(α-)=cos(α+)=cos[-(α+)]=sin(α+),所以原式==3. 9.AD　根据共轭复数的定义,显然A是真命题; 若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=,当z1,z2是虚数时,z1≠,所以B是假命题; 若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题; 若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与互为共轭复数,故D是真命题.故选AD. 10.BCD　因为f(x)=sin x-cos(x+)=sin x-(cos x-sin x)=sin x-cos x=sin x-cos x)=sin(x-),所以f(x)的最小正周期为2π,所以A错误,B正确;由x-=kπ+(k∈Z)得x=kπ+(k∈Z),即f(x)的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称,所以C正确;因为x∈R,所以-1≤sin(x-)≤1,所以-≤f(x)≤,即f(x)的值域为[-],所以D正确. 11.AD　∵sin 2θ=m,cos 2θ=n,∴m2+n2=1, ∴.tan(-θ)=. 12.2　由z1=1-i,z2=3-5i知,Z1(1,-1),Z2(3,-5).设Z1,Z2的距离为d,由两点间的距离公式得,d==2. 13.　∵tan α=,tan(α-β)=,∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=. 14.2　设z=a+bi,a,b∈R,由z2=,得a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,化简得ab=0. 由|z|≤1,得a2+b2≤1. 可知复平面内的点Z(a,b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动,如图所示. ∵|z-2-3i|表示复平面内点Z(a,b)到点M(2,3)的距离,由图可知,|MZ|min=|MZ1|或|MZ2|. 又|MZ1|==2, |MZ2|=, ∵2,∴|z-2-3i|的最小值为2. 15.解(1)设z=a+bi(a,b∈R), 由题意得解得a=,b=±. ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限,∴b=-. ∴z=i. (2)z=-(1+5i)m-3(2+i)=-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i, 依题意,m2-m-6=0,解得m=3或-2. 又2m2-5m-3≠0,∴m≠3.∴m=-2. 16.解(1)∵asin B=bcos A,∴sin Asin B=sin Bcos A. 又在△ABC中,sin B>0,∴sin A=cos A,∴tan A=. ∵A∈(0,π),∴A=. (2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,又A=,a=,∴b2+c2-bc=7.① 又c-2b=1,② 由①②得b=1,c=3. (3)cos B=, ∴sin B=. ∴sin 2B=2sin Bcos B=2×,cos 2B=2cos2B-1=2×()2-1=, ∴sin(A+2B)=sin(+2B)=sincos 2B+cossin 2B=. 17.解(1)因为|z|==1,所以a=0. (2)因为i为实数, 所以=0,解得a=1. (3)因为z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,所以(a+i)2+b(a+i)+2=0,整理得a2+ab+1+(2a+b)i=0,所以解得 18.解(1)a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β), |a-b|2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2-2cos(α-β)=()2=,∴cos(α-β)=. (2)由0<α<,-<β<0,且sin β=-,cos(α-β)=,可知cos β=,sin(α-β)=,∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×(-)=. 19.解(1)由题可得,f(x)=4sin(ωx-)cos ωx=4(sin ωx-cos ωx)cos ωx=2sin ωxcos ωx-2cos2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx-=2sin(2ωx-)-.∵函数f(x)在x=处取得最值, ∴2ω×=kπ+,k∈Z,解得ω=2k+,k∈Z. 又ω∈(0,2),∴ω=,∴f(x)=2sin(3x-)-, ∴函数f(x)的最小正周期T=. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin[3(x+)-]-=2sin(3x-)-的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=2sin(x-)-的图象,即g(x)=2sin(x-)-. ∵α为锐角,g(α)=2sin(α-)-, ∴sin(α-)=,cos(α-)=, ∴cos α=cos[(α-)+]=cos(α-)-sin(α-)=. 5 学科网（北京）股份有限公司 $