第10讲 向量的坐标表示（6大知识点+8种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第10讲 向量的坐标表示 课程标准 学习目标 1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养. 2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养. 3.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养. 4.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点) 2.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点) 4.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点) 5.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 6.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 7.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) 8.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点) 知识点01 平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. 【即学即练1】（24-25高一上·上海·单元测试）在中，，，若M是的中点，则 .（用、表示） 【答案】 【分析】根据平面向量加法的三角形法则与共线的向量的表达求解即可. 【详解】如图，    因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以，. 又因为M为中点，所以. 得， 所以. 故答案为:. 知识点02 平面向量的加减法坐标运算 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 【即学即练2】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知 则 等于 【答案】 【分析】由向量的加法运算及坐标运算可得 【详解】 故答案为： 知识点03 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 【即学即练3】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知点，，若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设，表示出、，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 故答案为： 知识点04 平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 【即学即练4】（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 知识点05 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 【即学即练5】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出． 【详解】因为，，， 所以，解得． 故答案为：. 知识点06 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 【即学即练6】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量夹角的坐标表示即可计算得出结果. 【详解】由可得，且； 所以，又， 可得. 故答案为： 题型一：基底的概念及辨析 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】验证四个选项中的两向量是否共线，从而得到答案. 【详解】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量， 设，故，无解，故、为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误； C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误； D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确. 故选：D 3．（20-21高一下·上海静安·期末）若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】由平面向量基底概念可得答案. 【详解】对于A， ，能作为基底； 对于B，，不能作为基底； 对于C，，能作为基底； 对于D， ，能作为基底； 故选：B. 4．（20-21高一下·上海·单元测试）已知，，当 时，向量，不能作为平面向量的一组基底. 【答案】 【分析】利用向量共线即可求解. 【详解】要使向量，不能作为平面向量的一组基底，则向量，共线， ， ， ， ， 即当向量，不能作为平面向量的一组基底. 故答案为： 题型二：利用平面向量基本定理求参数 1.（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 3.（22-23高一下·上海虹口·期中）已知，点D满足，若，则 ． 【答案】 【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值. 【详解】由，得， 所以， 即， 所以，所以，， 故． 故答案为：. 4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 【答案】/ 【分析】由于F为线段AB的中点，结合已知条件可得，再由直线与相交于点，设，则,从而得，进而求出的值 【详解】因为F为线段AB的中点， 所以, 因为， 所以， 所以, 因为， 所以, 由直线与相交于点，设，则 , 所以， 所以，解得 故答案为： 5.（20-21高一下·上海浦东新·期末）在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）2. 【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心，即可表示； （2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可 （3）由，利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）延长交于，则是中点，所以 因为点为的重心， 所以； （2）以为原点，建立如图坐标系， 则，， 设， 因为， 所以， 所以 所以 因为，所以， 所以，所以； （3）因为，所以 由可得 即 平方可得 ，即 根据平行四边形法则可知，令，则， 根据基本不等式可得， 所以，解得或 所以，所以，所以的最小值是2. 【点睛】在几何图形中进行向量运算: (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. 题型三：平面向量线性运算的坐标表示 1.（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【详解】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求得的坐标. 【详解】设为坐标原点， , 整理得. 故选：A 3.（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量的加法运算即可. 【详解】根据平面向量的加法运算得. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则的单位向量坐标为 ． 【答案】 【分析】先求，在根据单位向量的公式求解. 【详解】. 故答案为： 5.（2021高一·上海·专题练习）已知，是直线上一点，若，求点的坐标. 【答案】 【分析】设，根据向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 即 题型四：数量积的坐标表示 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量，则（    ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据数量积的坐标运算计算即可． 【详解】由题意可知：． 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，易知，点的横坐标的取值范围是， 又因为，，所以，. 故选：B. 3.（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 【答案】9 【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设，结合向量数量积的概念可得结果. 【详解】以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 可得，所以， 故，当时，最大，最大值为9. 故答案为：9. 4．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 5．（20-21高一下·上海杨浦·期末）如图，若，，，点分别在线段上，且满足. (1)求； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据定比分点坐标可求得的坐标，根据向量模长的坐标表示即可求得结果；（2）同理可求得点的坐标，利用向量夹角的坐标公式即可求得余弦值. 【详解】（1）设的坐标为； 由可得分点可得 即，得 所以， 则 （2）设点的坐标为， 由得 所以，即 ， 题型五：向量垂直的坐标表示 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）设向量，若，则 ． 【答案】 【分析】由两向量垂直公式即可得到答案. 【详解】，， ，. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知平面向量，，满足，则实数 . 【答案】 【分析】根据两向量垂直的关系得，利用向量坐标运算即可求. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为： 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知向量，满足，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】因为向量，满足， 所以，解得. 故答案为： 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直与坐标间关系计算即可. 【详解】因为，所以，解得 故答案为： 5.（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【详解】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 6.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，． (1)求； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可； （2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解. 【详解】（1）由，， . （2）若向量与互相垂直， 则， 所以． 题型六：利用向量垂直求参数 1.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，如果向量与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】， 若向量与垂直， 则， 解得. 故选：D 3．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：C 4.（24-25高一下·上海·单元测试）已知向量，．若，则实数m= ． 【答案】3 【分析】由向量垂直对应坐标形式的数量积为零，即可求解出的值. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得设的方程为，设，结合，列出方程求得，即可求解. 【详解】设的方程为， 将点代入得，解得且，则， 由题意知，小猫离小林同学最近时所在位置的点与的连线与垂直 设，则， 所以，解得，所以点. 故答案为：. 题型七：向量夹角的坐标表示 1.（22-23高一下·上海杨浦·期末）若，，则 . 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式直接求解. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以. 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知向量，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量得夹角的坐标表示计算即可. 【详解】由， 得， 所以. 故答案为：. 3．（21-22高一下·上海宝山·期中）向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由向量夹角为钝角可得且，由向量坐标运算可构造不等式求得结果. 【详解】夹角为钝角，且， 解得：且，的取值范围为. 故答案为：. 4.（20-21高一下·上海长宁·期末）已知向量，； （1）求，的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由，可得，进而由坐标运算可得解. 【详解】（1）设与的夹角为，因为向量，， 所以，， ，又，所以. 所以，的夹角为； （2）因为，，又，所以， 所以，解得 5.（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角余弦值的坐标公式即可； （2）根据垂直的数量积表示及向量模长即可解出． 【详解】（1）， ， ， 所以， 因为,则. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 即，解得：. 6.（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据平面向量坐标运算求出向量坐标，然后根据模长公式可求答案； （2）先求向量的模，再根据平面向量夹角运算公式可求答案. 【详解】（1）因为，， 所以，； 因为，所以， 解得. （2）由题意得，， 所以，； 所以. 题型八：由向量共线（平行）求参数 1.（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 2.（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知向量，设，向量，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用向量平行的坐标表示列方程即可求得. 【详解】由，且可得， 解得. 故答案为：1 3．（22-23高一下·上海嘉定·期末）若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，且与不共线，从而可求出的取值范围 【详解】因为向量，，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 由，得，解得， 若与共线，则，得，所以当时，与不共线， 综上，且， 即的取值范围为， 故答案为： 4．（22-23高一下·上海徐汇·期末）设，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，且，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据向量共线设，再结合向量的模求解即可. 【详解】由，可设，则， 由，得， 解得，故或， 故答案为：或 6.（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意知 （2），， 一、单选题 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】计算，考虑当是直角顶点，是直角顶点，是直角顶点三种情况，根据向量的数量积为0得到答案. 【详解】，，则， 当是直角顶点时：，； 当是直角顶点时：，无解； 当是直角顶点时：，； 综上所述：或. 故选：A 2．（20-21高一下·上海杨浦·期末）平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】利用坐标表示平面向量结合向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】分别设旦华楼、笃志楼、问思楼、喷水池对应坐标点为， 则，，，，，, 所以，，， 故喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的垂心， 故选：C 3．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可. 【详解】设，因为G为△ABC的重心，则点， 令，则； 令则； 令，则，不等式恒成立， 所以当或时，；当时，. 综上：n的值的集合为. 故选：A. 4．（22-23高一下·上海浦东新·期末）矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下所示的空间直角坐标系，    则点、、，则，， 因为，即点， 对于A选项，当时，，则点到直线的距离为， 则，A对； 对于B选项，当时，，则， 因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则，，， ， 所以，若，则满足的点不存在，C对； 对于D选项，若，，则， 此时，点到直线的距离为，则，D对. 故选：B 二、填空题 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，若与垂直，则 ． 【答案】 【分析】根据若与垂直，可知，再根据坐标运算即可求出结果. 【详解】因为，，且与垂直， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，且，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据坐标形式的向量加法规则求出，再利用向量共线的坐标表示直接计算即可. 【详解】由题， 又，故，. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的垂直的数量积运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得. 故答案为：. 8．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知为坐标原点，点，则 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算得到点坐标，然后利用数量积求夹角即可. 【详解】设点，所以，，，， 因为，所以，解得，， 因为，所以. 故答案为：. 9．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，，与平行，则实数的值为 . 【答案】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以， 又与平行，所以，解得. 故答案为： 10．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知向量和，则在方向上的投影是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量和，则有，， 所以在方向上的投影是. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值. 【详解】，故， 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海·期末）设向量，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据数量投影的概念和公式可解． 【详解】在方向上的数量投影为． 故答案为： 13．（21-22高一下·上海奉贤·阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则 ． 【答案】-1 【分析】首先根据条件确定点位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，然后根据数量积的坐标运算进行求解即可. 【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则，，，点满足， 所以，，，所以． 故答案为： 14．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】由与的夹角为锐角，得到，求得，再由向量与共线时，求得，即可得到答案. 【详解】由向量，可得且， 则， 因为与的夹角为锐角， 可得，即，解得 当与共线时，可得，所以，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 16．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 三、解答题 17．（22-23高一下·上海虹口·期中）在平行四边形中，是的中点，交于点． (1)若，求实数与的值； (2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）以为基底可表示出，再以为基底表示出，进而得到的值； （2）设，以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律，结合的范围可得结果. 【详解】（1）   ，，； ，，， ， ，. （2）    设，则， ， ，，即的取值范围为. 18．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知、是同一平面内的两个向量，其中，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用数量积求夹角； （2）夹角为锐角即，并且不平行于 ，运用数量积求解. 【详解】（1） ； （2）因为与得夹角为锐角，，并且与不平行， 其中， 解得，并且； ； 综上，，. 19．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量相等的性质即可得解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）因为向量，，， 可得， 故有，， 则，； （2）因为，，， 所以， 解得， 故的取值范围是 20．（23-24高一下·上海·期中）已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. (1)若，试判断的形状并证明； (2)若，边长，角，求的面积. 【答案】(1)为等腰三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再利用正弦定理即可证明结论； （2）由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积． 【详解】（1）为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2），由题意可知， ， 由余弦定理可知， 即， 或（舍） ． 21．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB的n等分点，其中，. (1)当时，使用，表示，； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，i，）的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算求解； （2）根据向量的坐标运算求解； （3）据向量的坐标运算可得，结合函数分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， . （3）当时，，， 可得， ， ， 构建， ①当，7，8，9时，， 可得当时，上式有最小值； ②当时，， ③当，2，3，4时，， 可得当时，上式有最小值； 综上所述：的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 向量的坐标表示 课程标准 学习目标 1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养. 2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养. 3.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养. 4.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点) 2.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点) 4.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点) 5.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 6.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 7.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) 8.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点) 知识点01 平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. 【即学即练1】（24-25高一上·上海·单元测试）在中，，，若M是的中点，则 .（用、表示） 知识点02 平面向量的加减法坐标运算 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 【即学即练2】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知 则 等于 知识点03 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 【即学即练3】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知点，，若，则点的坐标是 ． 知识点04 平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 【即学即练4】（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数 ． 知识点05 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 【即学即练5】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知向量，，若，则实数 . 知识点06 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 【即学即练6】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若向量，则 ． 题型一：基底的概念及辨析 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 3．（20-21高一下·上海静安·期末）若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（20-21高一下·上海·单元测试）已知，，当 时，向量，不能作为平面向量的一组基底. 题型二：利用平面向量基本定理求参数 1.（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 2．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 3.（22-23高一下·上海虹口·期中）已知，点D满足，若，则 ． 4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 5.（20-21高一下·上海浦东新·期末）在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 题型三：平面向量线性运算的坐标表示 1.（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则 . 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则的单位向量坐标为 ． 5.（2021高一·上海·专题练习）已知，是直线上一点，若，求点的坐标. 题型四：数量积的坐标表示 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量，则（    ） A． B．2 C．3 D．0 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 4．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 5．（20-21高一下·上海杨浦·期末）如图，若，，，点分别在线段上，且满足. (1)求； (2)求. 题型五：向量垂直的坐标表示 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）设向量，若，则 ． 2．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知平面向量，，满足，则实数 . 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知向量，满足，则 . 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，，且，则 ． 5.（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 6.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，． (1)求； (2)若向量与互相垂直，求的值． 题型六：利用向量垂直求参数 1.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，如果向量与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 4.（24-25高一下·上海·单元测试）已知向量，．若，则实数m= ． 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为 . 题型七：向量夹角的坐标表示 1.（22-23高一下·上海杨浦·期末）若，，则 . 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知向量，则 . 3．（21-22高一下·上海宝山·期中）向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 4.（20-21高一下·上海长宁·期末）已知向量，； （1）求，的夹角； （2）若，求实数的值. 5.（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 6.（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 题型八：由向量共线（平行）求参数 1.（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知向量，设，向量，若，则 ． 3．（22-23高一下·上海嘉定·期末）若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 4．（22-23高一下·上海徐汇·期末）设，，且，则 . 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，且，则的坐标为 ． 6.（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 一、单选题 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（    ） A．2 B． C．5 D． 2．（20-21高一下·上海杨浦·期末）平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 3．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海浦东新·期末）矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 二、填空题 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，若与垂直，则 ． 6．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，且，则实数 ． 7．（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则 ． 8．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知为坐标原点，点，则 . 9．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，，与平行，则实数的值为 . 10．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知向量和，则在方向上的投影是 . 11．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，则 ． 12．（23-24高一下·上海·期末）设向量，则在方向上的数量投影为 . 13．（21-22高一下·上海奉贤·阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则 ． 14．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 15．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 16．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海虹口·期中）在平行四边形中，是的中点，交于点． (1)若，求实数与的值； (2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围． 18．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知、是同一平面内的两个向量，其中，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 19．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 20．（23-24高一下·上海·期中）已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. (1)若，试判断的形状并证明； (2)若，边长，角，求的面积. 21．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB的n等分点，其中，. (1)当时，使用，表示，； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，i，）的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$