第10讲 随机变量的分布与特征（2大知识点+7大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第10讲 随机变量的分布与特征 课程标准 学习目标 1. 掌握离散型随机变量的均值能解决与之相关的简单问题,有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平 2.掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。 1.通过实例理解离散型随机变量均值、方差与标准差的概念及性质，能计算简单离散型随机变量的均值、方差与标准差. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质.2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 3.掌握两点分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 5.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 6.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题． 知识点01 离散型随机变量及其分布列 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 【即学即练1】（24-25高三·上海·随堂练习）某地有四人先后感染了传染病，其中只有到过风险地区，是的密切接触者，后来被检测出感染了．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受和感染的概率都是．设表示被直接感染的人数． (1)写出的所有值？ (2)的分布是什么？ 【答案】(1)1，2，3； (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，列出的可能取值即可； （2）根据的可能取值，求出每个的概率，并写出分布列. 【详解】（1）由题意，可取的值为，用“”表示被直接感染的人数． 四个人的传染情形共有6种：， 每种情况发生的可能性都相等， 所以传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况． “”表示传染，没有传染给; “”表示传染给，没有传染给，或传染给，没有传染给; “”表示传染给． （2）由（1）得， ， ． 所以可取的值为，其中，，， 所以分布为：． 知识点02 离散型随机变量的期望与方差 1.期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 2.期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 3.方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 4.方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 【即学即练2】（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则 . 【答案】29 【分析】由数学期望和方差的公式求出，，再由方差的的性质即可求出. 【详解】因为随机变量的分布为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：29. 题型一：利用随机变量分布列的性质解题 1．（2023·上海浦东新·三模）以下能够成为某个随机变量分布的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案. 【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1， 显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0， B选项满足要求. 故选：B 2.（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则 . 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等差中项即可求. 【详解】由题可知，，解得， 故答案为:. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 【答案】 【分析】由均匀分布可知，，求解即可. 【详解】随机变量X分布是均匀分布，所以， ，． 故答案为： 题型二：由随机变量的分布列求概率 1.（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【详解】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 2.．（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，则 ， ． 【答案】 0.1/ 0.55/ 【分析】直接由分布列第二行概率之和为1即可求出，再利用概率的可加性可得. 【详解】由题意，. 故答案为：0.1；0.55. 题型三：计算条件概率 1.（21-22高二下·上海普陀·期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率的计算公式求解即可 【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则， 所以. 故选：C 2．（21-22高二下·上海嘉定·期末）某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则另外两个都是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法确定基本事件的总数，再得出另外两个都是女孩所包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】解：由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩， 基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），（男男男），共有7个， 其中另外两个都是女孩包含的基本事件有： （男女女），（女男女），（女女男），共有3个， 则至少有两个孩子是女孩的概率是. 故选：A. 3.（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知事件A、B是相互独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件的性质判断A，根据条件概率公式B，再由对立事件的性质判断C，根据和事件的性质判断D． 【详解】因为、是相互独立事件，、分别是、的对立事件， 所以、是相互独立事件， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D不一定成立． 故选：D． 4.（24-25高三上·上海·阶段练习）在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 【答案】/0.75 【分析】利用条件概率公式和古典概率模型即可求解. 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 故答案为: . 5．（25-26高三上·上海·单元测试）已知，则以下说法中正确的序号为 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 【答案】②③ 【分析】直接由条件概率公式逐一判断各个序号即可求解. 【详解】对于①②，若， 则，不一定成立（因为，所以与有关），故①错误，②正确； 对于③④，若，则，同理与成反比，故不一定成立，故③正确，④错误. 故答案为：②③. 6．（23-24高三下·上海·阶段练习）甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中互不影响.已知甲、乙两人至少命中一次，则甲命中的概率为 . 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件A为“两人至少命中一次”，事件B为“甲命中”， ，， 所以. 故答案为： 7．（21-22高二下·上海杨浦·期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则 . 【答案】/ 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式计算可得； 【详解】解：依题意，， 所以； 故答案为： 题型四：求离散型随机变量的均值 1.（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的分布为，设，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用随机变量均值公式结合均值性质求解即可. 【详解】由均值公式得， 由随机变量均值性质得，故D正确. 故选：D 2．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数学期望的公式进行求解即可。 【详解】因为随机变量的分布为， 所以， 故选：C 3．（23-24高二上·上海·期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率之和为找到之间的关系，用表示出，结合不等关系求出的范围. 【详解】根据分布列的性质可知： ，结合题干条件可解得：，而，于是. 故选：B 4．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先由概率和为1求得，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题，，所以， 所以， 故选：C 5.（25-26高三上·上海·单元测试）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数的期望是 ． 【答案】 【分析】分别求出甲、乙能通过面试的期望，然后相加即可. 【详解】由题意设甲、乙能通过面试的期望为，则， 而，从而. 故答案为：. 6．（22-23高二下·上海长宁·期末）某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则 . 【答案】 【分析】由题意选出女生的人数可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，代入期望公式即可求解． 【详解】由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动， 选出女生的人数可能为0，1，2，3， 则. 故答案为：． 7.（22-23高二下·上海金山·期末）掷一颗骰子，则掷得点数的期望是 ． 【答案】 【分析】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、，分析可得出，进而可求得的值. 【详解】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、， 则， 因此，. 故答案为：. 8.（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【答案】 【分析】由题意可取3、4、5、6，算出对应的概率得出分布列，进一步根据期望公式即可求解. 【详解】可取3、4、5、6， ，，，， 所以的分布为， 的期望． 9．（25-26高三上·上海·单元测试）某校开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到题图所示的频率分布直方图： (1)求这1000名学生满意度打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关． 打分性别 不满意 满意 总计 男生 100 女生 60 总计 200 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)6.68 (2)表格见解析，有99％的把握认为满意度与性别有关． 【分析】（1）根据平均数的定义列式计算； （2）求出200人中满意的人数和不满意的人数，补充列联表，求出，查表比较数据判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关. 【详解】（1）根据统计数据，计算平均数为：； （2）由频率分布直方图可知满意和不满意的频率比值为7∶3， 根据比较计算200人中满意的人数为人，不满意的有60分， 补充完整的列联表如下： 不满意 满意 总计 男生 20 80 100 女生 40 60 100 总计 60 140 200 零假设为：满意度与学生性别独立， 则， 经查表，得，所以有99％的把握认为满意度与性别有关． 题型五：由离散型随机变量的均值求参数 1.（25-26高三上·上海·单元测试）离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的均值，可得，由概率和等于1，可得，联立即可求出，最后求得. 【详解】由已知， ， 即，① 又，即，② 由①②，得，，所以． 故选：D. 2.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个随机变量的分布为：，且，则 【答案】/ 【分析】根据概率和为得到，再由数学期望的计算得到，联立解出、的值即可得到的值. 【详解】由得， 由，得， 联立，解得，所以. 故答案为：. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的可能取值是，已知（其中），又，则 ． 【答案】/0.1 【分析】利用随机变量均值的性质求解即可. 【详解】由题意得，， 又， 解得，，故. 故答案为： 4.（2023·上海黄浦·三模）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 【答案】(1) (2)分布答案见解析， (3) 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解； （3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为. （2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望. （3）解：购进350千克时利润的期望值：， 购进400千克时利润的期望值：， 由，解得， 因为且，因此， 所以的最小值是 题型六：二项分布的均值 1.（22-23高三下·上海·阶段练习）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X，则为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题可知，然后根据二项分布的期望公式即得. 【详解】因为盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，所以每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为， 又摸球的过程是有放回的，故，所以. 故选：A. 2.（23-24高三下·上海·阶段练习）设服从二项分布，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的方差公式即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则 . 【答案】 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 4.（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，求m的值． 【答案】14 【分析】利用二项分布的均值公式计算即可. 【详解】由题意，知， 则，解得. 5．（23-24高三上·上海·期中）小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟． (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率； (3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列为，，． 【分析】（1）由独立事件乘法公式、对立事件概率公式即可求解. （2）由独立事件乘法公式、对立事件概率公式即可求解. （2）先求出的所有可能取值，然后求出相应的概率，从而即可得到分布列，进而由均值，方差公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得. （2）由题意可得. （3）；； ；. 所以的分布如下：，符合二项分布， 故；． 题型七：离散型随机变量的方差与标准差 1.（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，且，又已知，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】直接根据期望、方差公式列方程，求出即可得解. 【详解】由题意，，， 解得，从而. 故选：C. 2．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知X是一个随机变量，则“X是常数随机变量”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、判断命题的充分不必要条件 【分析】随机变量为常数，则方差为0，但方差为0，变量不一定为常数，根据充分条件与必要条件的定义判断即可． 【详解】随机变量为常数，则方差为0，但方差为0，变量不一定为常数， 所以“X是常数随机变量”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3.（25-26高三上·上海·单元测试）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求： (1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的期望与方差． 【答案】(1)；；；； (2)1，． 【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2，4，然后根据古典概型概率计算公式分别求出=0，1，2，4的概率； （2）由（1）可列的分布列，求出随机变量的数学期望与方差. 【详解】（1）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，4. ；； ；； （2）X的分布如下：， 所以， ． 4．（22-23高二下·上海金山·期末）一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值. 【详解】（1）解：从这个球中任意抽取一个球，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为， 因此，从中有放回地依次摸出个球，则两球颜色不同的概率为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，根据题意分析即可；对B，根据5件里面有2件合格，3件不合格求解即可；对C，根据二项分布的数学期望公式求解即可；对D，根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】对A，从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则的可能取值为0、1、2、3、4、5，故A错误； 对B，任取5件，里面有2件合格，3件不合格，则，故B错误； 对C，由题意，，故，故C正确； 对D，由题意，，故，故D错误； 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 3．（23-24高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 则. 故选：C 4．（25-26高三上·上海·单元测试）已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 【答案】B 【分析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情况． 【详解】由题意得，， 所以当增大时，减小， ， 所以在上随的增大而增大. 故选：B． 二、填空题 5．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知随机变量的分布为，则 . 【答案】7.64 【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解. 【详解】由题意可得, 所以, 故答案为：7.64 6．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量服从二项分布，且（），则 . 【答案】 【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以， 又， 即，解得， 所以. 故答案为： 7．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量的分布为如表所示，则 ． 【答案】 【分析】根据概率和为1计算得到，再根据公式计算数学期望即可. 【详解】， 故. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，得到，结合方差的公式，即可求解. 【详解】由题意知，随机变量服从二项分布， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 9．（22-23高二下·上海徐汇·期中）在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可.. 【详解】前6局中, 连赢六局的概率为， 前6局中, 连赢五局且第6局也赢的概率为， 前6局中, 连赢四局且第6局也赢的概率为， 前6局中, 连赢三局且第6局也赢的概率为， 所以第6局的获得2分的概率为： ， 第6局的获得分的概率为， 第6局的获得分的概率为， 所以第6局的获得的分数的数学期望是， 故答案为： 10．（23-24高二下·上海·期中）设随机变量的分布，则 . 【答案】2 【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以. 故答案为：2 11．（25-26高三上·上海·单元测试）设随机变量可能的取值为，．又的期望，则 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及期望公式计算即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【答案】5 【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果. 【详解】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 13．（2023·上海奉贤·二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ． 【答案】 【分析】由期望性质可得答案. 【详解】因，则. 又，则. 故选：. 14．（22-23高三下·上海虹口·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为 . 【答案】/1.2 【分析】设取到白米粽的个数为随机变量，求出对应的概率，利用期望公式求解. 【详解】设取到白米粽的个数为随机变量，则， 所以，， ，， 所以 故答案为： 15．（23-24高二下·上海·期中）从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，设所选3人中女生人数为X，则 . 【答案】1 【分析】先写出随机变量的所有可能取值，再由古典概率求出其概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】随机变量的所有可能取值为， ，，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 所以， 故答案为：1. 16．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 三、解答题 17．（23-24高三上·上海闵行·期中）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下 分组 A小区频数 B小区频数 18-40岁人群 60 30 41-70岁人群 80 90 其他人群 30 50 假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响． (1)从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率； (2)从、小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 （1）根据古典概型的概率公式计算计算即可； （2）首先求出、小区比较了解的概率，则的可取取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； 【详解】（1）设从小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件，则. （2）依题意可知小区比较了解的概率为，小区比较了解的概率为， 则的可取取值为，，， 所以，， ， 则的分布列为 所以. 18．（23-24高三上·上海虹口·期中）某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）． 【答案】(1)，事件不相互独立. (2)答案见解析 【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答； （2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答. 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，， 故，因此事件不相互独立， 所以，事件不相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰都异色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 300 200 100 奖金额的期望（元）. 19．（23-24高二下·上海·期中）小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，X表示他不交作业的次数. (1)若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率； (2)求X的分布列并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，Y表示小明这周的作业成绩，求. 【答案】(1) (2)X的分布见解析，分 【分析】（1）写出X所有可能值并求概率，利用互斥事件概率得及格的概率； （2）由（1）得X的分布和，得到Y与X的线性关系并利用期望的性质求解. 【详解】（1）由题可知X的可能值为0,1,2,3,4 则, , , , , 若，小明作业成绩就不及格，故小明作业成绩及格的概率; （2）由（1）可知X的分布列为        X       0       1        2        3       4        P                               则， 若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，则， 故分. 20．（24-25高三上·上海奉贤·期中）某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： (1)若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望. 【答案】(1)分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图，可得答案； （2）写出变量的可能取值，分别求得概率，写出分布列，利用期望公式，可得答案. 【详解】（1）成绩在区间的比例为：； 成绩在区间的比例为：， 因此分位数位于区间； 因此入围分数为：，因此入围分数应设为分. （2）在这六个人中，有两人的分数在分及以上，因此， ，，， 变量的分布列为： 所以的数学期望为. 21．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 随机变量的分布与特征 课程标准 学习目标 1. 掌握离散型随机变量的均值能解决与之相关的简单问题,有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平 2.掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。 1.通过实例理解离散型随机变量均值、方差与标准差的概念及性质，能计算简单离散型随机变量的均值、方差与标准差. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质.2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 3.掌握两点分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 5.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 6.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题． 知识点01 离散型随机变量及其分布列 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 【即学即练1】（24-25高三·上海·随堂练习）某地有四人先后感染了传染病，其中只有到过风险地区，是的密切接触者，后来被检测出感染了．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受和感染的概率都是．设表示被直接感染的人数． (1)写出的所有值？ (2)的分布是什么？ 知识点02 离散型随机变量的期望与方差 1.期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 2.期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 3.方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 4.方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 【即学即练2】（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则 . 题型一：利用随机变量分布列的性质解题 1．（2023·上海浦东新·三模）以下能够成为某个随机变量分布的是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则 . 3．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 题型二：由随机变量的分布列求概率 1.（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2.．（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，则 ， ． 题型三：计算条件概率 1.（21-22高二下·上海普陀·期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·上海嘉定·期末）某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则另外两个都是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知事件A、B是相互独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高三上·上海·阶段练习）在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 5．（25-26高三上·上海·单元测试）已知，则以下说法中正确的序号为 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 6．（23-24高三下·上海·阶段练习）甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中互不影响.已知甲、乙两人至少命中一次，则甲命中的概率为 . 7．（21-22高二下·上海杨浦·期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则 . 题型四：求离散型随机变量的均值 1.（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的分布为，设，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24高二上·上海·期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 5.（25-26高三上·上海·单元测试）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数的期望是 ． 6．（22-23高二下·上海长宁·期末）某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则 . 7.（22-23高二下·上海金山·期末）掷一颗骰子，则掷得点数的期望是 ． 8.（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 9．（25-26高三上·上海·单元测试）某校开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到题图所示的频率分布直方图： (1)求这1000名学生满意度打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关． 打分性别 不满意 满意 总计 男生 100 女生 60 总计 200 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型五：由离散型随机变量的均值求参数 1.（25-26高三上·上海·单元测试）离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 2.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个随机变量的分布为：，且，则 3．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的可能取值是，已知（其中），又，则 ． 4.（2023·上海黄浦·三模）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 题型六：二项分布的均值 1.（22-23高三下·上海·阶段练习）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X，则为（    ） A． B． C．2 D． 2.（23-24高三下·上海·阶段练习）设服从二项分布，则 . 3．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则 . 4.（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，求m的值． 5．（23-24高三上·上海·期中）小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟． (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率； (3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差． 题型七：离散型随机变量的方差与标准差 1.（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，且，又已知，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知X是一个随机变量，则“X是常数随机变量”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3.（25-26高三上·上海·单元测试）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求： (1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的期望与方差． 4．（22-23高二下·上海金山·期末）一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·单元测试）已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 二、填空题 5．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知随机变量的分布为，则 . 6．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量服从二项分布，且（），则 . 7．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量的分布为如表所示，则 ． 8．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 9．（22-23高二下·上海徐汇·期中）在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是 ． 10．（23-24高二下·上海·期中）设随机变量的分布，则 . 11．（25-26高三上·上海·单元测试）设随机变量可能的取值为，．又的期望，则 ． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 13．（2023·上海奉贤·二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ． 14．（22-23高三下·上海虹口·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为 . 15．（23-24高二下·上海·期中）从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，设所选3人中女生人数为X，则 . 16．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 三、解答题 17．（23-24高三上·上海闵行·期中）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下 分组 A小区频数 B小区频数 18-40岁人群 60 30 41-70岁人群 80 90 其他人群 30 50 假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响． (1)从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率； (2)从、小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 18．（23-24高三上·上海虹口·期中）某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）． 19．（23-24高二下·上海·期中）小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，X表示他不交作业的次数. (1)若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率； (2)求X的分布列并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，Y表示小明这周的作业成绩，求. 20．（24-25高三上·上海奉贤·期中）某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： (1)若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望. 21．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$