第10讲 随机变量的分布与特征（知识清单+7题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二下学期数学沪教版选择性必修第二册重难点讲义与测试

第10讲 随机变量的分布与特征 知识清单 知识点01：离散型随机变量及其分布列 知识点02：离散型随机变量的期望与方差 题型讲解 （举一反三） 题型1：利用随机变量分布列的性质解题 题型2：由随机变量的分布列求概率 题型3：计算条件概率 题型4：求离散型随机变量的均值 题型5：由离散型随机变量的均值求参数 题型6：二项分布的均值 题型7：离散型随机变量的方差与标准差 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 离散型随机变量及其分布列 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 知识点02 离散型随机变量的期望与方差 1.期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 2.期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 ． 3.方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 4.方差的性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 题型1：利用随机变量分布列的性质解题 【例1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）以下各项中是分布的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分布列中各项概率大于，且概率之和为，从而得到正确答案. 【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为， 显然AC选项不满足概率之和为， D选项不满足各项概率大于，B选项满足要求. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）已知离散型随机变量的分布为，则_____. 【答案】 【分析】根据分布列性质求，再由互斥事件概率和公式求解即可. 【详解】由题意可知， 则. 故答案为： 【变式1-3】从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列的性质，列出方程，即可求解； （2）结合表格中的数据，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】（1）解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得： ，解得. （2）解：事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥， 所以， 所以至少遇到4个红灯的概率为. 题型2：由随机变量的分布列求概率 【例2-1】设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【详解】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 【变式2-1】某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率和为可求解，即为所求. 【详解】由题意知，， 则，解得， 即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，则__________，__________． 【答案】 0.1/ 0.55/ 【分析】直接由分布列第二行概率之和为1即可求出，再利用概率的可加性可得. 【详解】由题意，. 故答案为：0.1；0.55. 【变式2-3】设随机变量的分布为，则______． 【答案】/0.4/ 【分析】利用题意得到的分布，然后利用概率之和为1得到，即可求出答案 【详解】解：由题意知，的分布为， 所以，解得， 所以， 故答案为：． 题型3：计算条件概率 【例3-1】（24-25高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 则. 故选：C 【变式3-1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）掷一颗骰子所得的样本空间为．令事件，．则__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【答案】/0.375 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案． 【详解】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 故答案为： 【变式3-3】将一枚质地均匀的硬币抛掷次，设事件为“第一次出现正面”，事件为“第二次出现正面”.求与. 【答案】， 【分析】列举出事件、、所包含的基本事件，利用条件概率公式可求得与的值. 【详解】解：由题意可知，事件包含的基本事件有：正正、正反，事件包含的基本事件为：正正、反正， 事件所包含的基本事件为：正正， 所以，，. 题型4：求离散型随机变量的均值 【例4-1】（24-25高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 【变式4-1】设随机变量的分布，则_________. 【答案】2 【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以. 故答案为：2 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期中）从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，设所选3人中女生人数为X，则_________. 【答案】1 【分析】先写出随机变量的所有可能取值，再由古典概率求出其概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】随机变量的所有可能取值为， ，，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 所以， 故答案为：1. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·课后作业）编号为l、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐一人.座位编号和学生编号一样时称为一个配对.用X表示配对数，求. 【答案】1 【分析】根据X的可能取值，运用计数原理及列举法和古典概型逐项分析计算即可. 【详解】X的可能取值为0,1,2,4，全排列为， 当X=0时，先安排的第一人由3种选择，比如说先安排“1”号人，可以选择2,3,4座位， 如果安排“1”号人在2号位这四人的安排方法有：2143，3142，4123， 如果安排“1”号人在3号位这四人的安排方法有：2413，4312，3412， 如果安排“1”号人在4号位这四人的安排方法有：2341，3421，4321， 所以有种排法，； 当X=1时，先从4人中选一人安排在对应的位置上，由种选法， 比如选“1”号人安排在1号位，这四人的安排方法只有1423，1342两种，所以共有种排法，； 当X=2时，先从4人中选2人安排在对应的位置，有种选法，另外两人只有一种安排方法，所以总共有6种排法，； 当X=4时，只有1234这1种排法，； 所以分布列为 其数学期望为； 题型5：由离散型随机变量的均值求参数 【例5-1】（25-26高二·全国·寒假作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期中）已知，，随机变量的分布列如下： 若．则______． 【答案】 【分析】由分布列的性质以及期望的计算公式，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且， 即，所以. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二下·上海·月考）已知一个随机变量的分布为：，且，则_______ 【答案】/ 【分析】根据概率和为得到，再由数学期望的计算得到，联立解出、的值即可得到的值. 【详解】由得， 由，得， 联立，解得，所以. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课后作业）设某射手打靶环数X的分布为，已知期望.求a、b的值. 【答案】 【分析】根据分布列性质和期望公式列方程组求解可得. 【详解】由分布列性质和期望公式可得： ，即， 解得. 题型6：二项分布的均值 【例6-1】经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，根据题意分析即可；对B，根据5件里面有2件合格，3件不合格求解即可；对C，根据二项分布的数学期望公式求解即可；对D，根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】对A，从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则的可能取值为0、1、2、3、4、5，故A错误； 对B，任取5件，里面有2件合格，3件不合格，则，故B错误； 对C，由题意，，故，故C正确； 对D，由题意，，故，故D错误； 故选：C 【变式6-1】（24-25高三·上海·随堂练习）一个盒子里6个球，除颜色外完全相同，其中红球白球若干，黄球有个，每次从盒子中拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为，若取球过程是有放回的，且，则________． 【答案】 【分析】依题意可得随机变量服从二项分布，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】根据题意可知，每次拿到黄球的概率，则随机变量服从二项分布， 所以，解得． 故答案为： 【变式6-2】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则________. 【答案】 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二下·上海·月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品. (1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望； (2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)4；216 【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）求出比赛中得分与的关系，再利用期望、方差的性质求解. 【详解】（1）依题意，制作一件优秀作品的概率为， 该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为，， ，，， ，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （2）设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则， 由（1）知，， 则， ， 所以该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差分别为和. 题型7：离散型随机变量的方差与标准差 【例7-1】（24-25高二下·上海·月考）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量， 且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均， 所以设爬行后小虫一共向能爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB的分布列为： ，所以A正确； 因为 ， 所以 ，所以B错误； 对于C，因为， 所以，所以，所以C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：B． 【变式7-1】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质和期望可得，进而可得，结合方差的性质即可得结果. 【详解】由题意可得：，解得， 可得， 又因为，所以. 【变式7-2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量ξ的分布为：． (1)求E[ξ]，D[ξ]； (2)设，求E[η]，D[η]． 【答案】(1)， ； (2)，． 【分析】（1）根据分布列的期望和方差公式计算出E[ξ]，D[ξ]. （2）根据均值与方差的关系计算结果 【详解】（1）由期望的公式，可得， 又由方差的公式，可得； （2）因为， 所以， ． 【变式7-3】（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 一、填空题 1．（24-25高三上·上海宝山·期末）已知随机变量的分布为，则__________. 【答案】7.64 【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解. 【详解】由题意可得, 所以, 故答案为：7.64 2．（24-25高二下·上海·期中）已知随机变量的分布为，，2，3，则________． 【答案】 【分析】根据给定的分布列，利用期望、方差的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 3．（24-25高三下·上海静安·期中）设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______． 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】第一次没有摸到黑球，则还剩下一个黑球，一个不是黑球，共两个球， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·期中）设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答） 【答案】3.2 【分析】根据超几何的期望公式即可求解. 【详解】由于服从超几何分布，且，故, 故答案为：3.2 5．掷一颗骰子，则掷得点数的期望是______． 【答案】 【分析】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、，分析可得出，进而可求得的值. 【详解】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、， 则， 因此，. 故答案为：. 6．已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________. 【答案】/ 【分析】根据题意，由二项分布的期望方差公式，即可得到结果. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则，， 解得. 故答案为： 7．（24-25高三上·上海·月考）已知随机变量的分布列为：，若，且，则______. 【答案】5 【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果. 【详解】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 8．（24-25高二上·上海·月考）已知随机变量的分布为，且，则______. 【答案】/ 【分析】先求出，再根据线性关系公式求出 【详解】由题意得， 故. 故答案为： 9．（24-25高三·上海·随堂练习）已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为________． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解. 【详解】由分布列的性质得，且， 即可解出． 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海·期中）已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________． 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】依题意，抽取第二本书有5个不同结果，第二本抽取的是数学书有2个结果， 所以所求概率为. 故答案为： 11．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______． 【答案】 【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率公式计算得到答案. 【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为， 则，. . 故答案为： 12．某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则______. 【答案】 【分析】由题意选出女生的人数可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，代入期望公式即可求解． 【详解】由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动， 选出女生的人数可能为0，1，2，3， 则. 故答案为：． 二、单选题 13．已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数学期望的公式进行求解即可。 【详解】因为随机变量的分布为， 所以， 故选：C 14．（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，且，又已知，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】直接根据期望、方差公式列方程，求出即可得解. 【详解】由题意，，， 解得，从而. 故选：C. 15．（24-25高二上·上海·月考）已知随机变量的分布为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的期望公式求出，再根据公式求得结果. 【详解】由题意知， ， 故选：D. 16．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，求m的值． 【答案】14 【分析】利用二项分布的均值公式计算即可. 【详解】由题意，知， 则，解得. 18．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 19．（25-26高二下·上海松江·月考）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)X的分布列为： X 0 1 2 P 【分析】（1）先判断两球结束比赛等价于甲或乙连胜两球，再分别计算甲连胜、乙连胜的概率，利用互斥事件加法求总概率，再依据条件概率公式，用乙连胜概率除以比赛结束概率，得到乙获胜的条件概率. （2）先确定甲新增得分的可能取值为，再按“两球都不得分、恰好得1分、两球都得分”分类计算对应概率，列出离散型随机变量的分布列，最后代入期望公式计算数学期望. 【详解】（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件A为“打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”， 则，， 故 （2）依题意X的可能取值是， 所以(甲两次均不得分)， (甲第一次得分第二次失分或第一次失分第二次得分)， (甲两次均得分)， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以 20．（25-26高二下·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 21． “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 随机变量的分布与特征 知识清单 知识点01：离散型随机变量及其分布列 知识点02：离散型随机变量的期望与方差 题型讲解 （举一反三） 题型1：利用随机变量分布列的性质解题 题型2：由随机变量的分布列求概率 题型3：计算条件概率 题型4：求离散型随机变量的均值 题型5：由离散型随机变量的均值求参数 题型6：二项分布的均值 题型7：离散型随机变量的方差与标准差 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 离散型随机变量及其分布列 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 知识点02 离散型随机变量的期望与方差 1.期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 2.期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 ． 3.方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 4.方差的性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 题型1：利用随机变量分布列的性质解题 【例1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）以下各项中是分布的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）已知离散型随机变量的分布为，则_____. 【变式1-3】从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率. 题型2：由随机变量的分布列求概率 【例2-1】设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，则__________，__________． 【变式2-3】设随机变量的分布为，则______． 题型3：计算条件概率 【例3-1】（24-25高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）掷一颗骰子所得的样本空间为．令事件，．则__________． 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【变式3-3】将一枚质地均匀的硬币抛掷次，设事件为“第一次出现正面”，事件为“第二次出现正面”.求与. 题型4：求离散型随机变量的均值 【例4-1】（24-25高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设随机变量的分布，则_________. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期中）从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，设所选3人中女生人数为X，则_________. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·课后作业）编号为l、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐一人.座位编号和学生编号一样时称为一个配对.用X表示配对数，求. 题型5：由离散型随机变量的均值求参数 【例5-1】（25-26高二·全国·寒假作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期中）已知，，随机变量的分布列如下： 若．则______． 【变式5-2】（24-25高二下·上海·月考）已知一个随机变量的分布为：，且，则_______ 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课后作业）设某射手打靶环数X的分布为，已知期望.求a、b的值. 题型6：二项分布的均值 【例6-1】经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三·上海·随堂练习）一个盒子里6个球，除颜色外完全相同，其中红球白球若干，黄球有个，每次从盒子中拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为，若取球过程是有放回的，且，则________． 【变式6-2】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则________. 【变式6-3】（24-25高二下·上海·月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品. (1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望； (2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差. 题型7：离散型随机变量的方差与标准差 【例7-1】（24-25高二下·上海·月考）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【变式7-2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量ξ的分布为：． (1)求E[ξ]，D[ξ]； (2)设，求E[η]，D[η]． 【变式7-3】（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 一、填空题 1．（24-25高三上·上海宝山·期末）已知随机变量的分布为，则__________. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知随机变量的分布为，，2，3，则________． 3．（24-25高三下·上海静安·期中）设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______． 4．（24-25高二下·上海·期中）设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答） 5．掷一颗骰子，则掷得点数的期望是______． 6．已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________. 7．（24-25高三上·上海·月考）已知随机变量的分布列为：，若，且，则______. 8．（24-25高二上·上海·月考）已知随机变量的分布为，且，则______. 9．（24-25高三·上海·随堂练习）已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为________． 10．（24-25高二下·上海·期中）已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________． 11．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______． 12．某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则______. 二、单选题 13．已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 14．（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量的分布为，且，又已知，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 15．（24-25高二上·上海·月考）已知随机变量的分布为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，求m的值． 18．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 19．（25-26高二下·上海松江·月考）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 20．（25-26高二下·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 21． “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $