第13讲 复数的几何意义（知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第13讲 复数的几何意义 目录 题型归纳 1 题型01 复数的坐标表示 2 题型02 在各象限内点对应复数的特征 2 题型03 实轴、虚轴上点对应的复数 3 题型04 判断复数对应的点所在的象限 4 题型05 根据复数的坐标写出对应的复数 4 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 5 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 9 知识点01复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 题型01复数的坐标表示 【例1】（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·湖南株洲·期中）复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）平行四边形中，点分别对应复数，则点对应的复数是 ． 【变式3】（23-24高一下·浙江台州·期中）已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 题型02 在各象限内点对应复数的特征 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】（21-22高一下·贵州黔东南·期中）已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 题型03 实轴、虚轴上点对应的复数 【例3】（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【变式1】（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【变式2】（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为 . 【变式3】（22-23高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 题型04 判断复数对应的点所在的象限 【例4】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限． 【变式3】（23-24高一下·吉林延边·期中）已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 题型05 根据复数的坐标写出对应的复数 【例5】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·陕西·期中）在复平面内，复数对应的点Z如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一下·湖北·期中）在复平面内，若，，点C所对应的复数为 . 【变式3】（21-22高一下·浙江宁波·期中）已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程． (1)求实数a的值； (2)若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 【例6】（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·湖北黄冈·期中）在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 5．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 6．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 三、填空题 7．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于 象限. 8．（23-24高一下·青海海南·期中）在复平面内，复数z对应的点为，则 ． 四、解答题 9．（23-24高一下·吉林白山·期中）已知复数，，． (1)若是纯虚数，求a的值； (2)若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 10．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）设复数，当取何实数时： (1)复数为纯虚数； (2)在复平面上表示的点位于第三象限； (3)表示的点在函数的图象上. 11．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 12．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数满足，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限． (1)求复数； (2)若复数，且是实数，求实数的值． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24高一下·天津红桥·期中）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 4．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 5．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知复数（是虚数单位），则下列正确的是（    ） A． B．z的虚部是3 C．若是实数，则 D．复数z的共轭复数为 6．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知复数（为虚数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（    ） A．在复平面内复数z所对应的点位于第四象限 B． C． D． 三、填空题 7．（20-21高一下·江苏南通·期中）设复数，，满足，，，则 ． 8．（23-24高一下·重庆·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 . 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (3)若复数满足，求的最小值． 10．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 11．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知复数，，满足：，且的实部为正. (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； (2)当时，、对应复平面内的点分别为、，为复平面原点，求证：. 12．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若，求的值； (4)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 复数的几何意义 目录 题型归纳 1 题型01 复数的坐标表示 2 题型02 在各象限内点对应复数的特征 4 题型03 实轴、虚轴上点对应的复数 6 题型04 判断复数对应的点所在的象限 8 题型05 根据复数的坐标写出对应的复数 10 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 13 分层练习 16 夯实基础 16 能力提升 23 知识点01复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 题型01复数的坐标表示 【例1】（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【分析】求出复数的实部、虚部可得答案. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·湖南株洲·期中）复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义直接得出结果. 【详解】由可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）平行四边形中，点分别对应复数，则点对应的复数是 ． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示 【分析】由题意结合点的坐标和中点坐标公式求解点D的坐标即可. 【详解】由题意可得：，，， 设平行四边形ABCD的对角线的交点为，点D的坐标为， 结合中点坐标公式可得： ，解得：，则点D的坐标为， 点D对应的复数是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·浙江台州·期中）已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 【答案】(1)5 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、复数的坐标表示 【分析】（1）设点坐标，计算可得，根据，借助于坐标运算可得结果； （2）由向量的夹角公式可求出，进而求出，由三角形的面积公式计算可得结果. 【详解】（1）设点坐标，对应复数. 由题意知，点坐标， ∴， ∵平行四边形中，， ∴,解得：，，∴点对应的复数为. （2）由题意可得：，， ， ∵，∴， ∴三角形面积 题型02 在各象限内点对应复数的特征 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算 【分析】先根据复数的几何意义求出，再根据复数的乘法运算即可得解. 【详解】因为复数对应的两个点关于虚轴对称，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式1】（21-22高一下·贵州黔东南·期中）已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法计算z再判断即可 【详解】由题，，故z在复平面内所对应的点位于第一象限 故选：A 【变式2】（23-24高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】在各象限内点对应复数的特征 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【详解】（1）是纯虚数， ， ． （2）在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 题型03 实轴、虚轴上点对应的复数 【例3】（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可. 【详解】由题意可设， 所以对应复数为，此复数为纯虚数， 故选：D. 【变式1】（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 【变式2】（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为 . 【答案】或 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】由条件可得，解出即可. 【详解】因为复数对应点在虚轴上， 所以，解得或 故答案为：或. 【变式3】（22-23高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 题型04 判断复数对应的点所在的象限 【例4】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点位于第一象限. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】先对化简，再结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】解：复数， 故复数在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：． 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】二 【知识点】复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】根据题意，， 所以在复平面内对应的点为，在第二象限． 故答案为：二 【变式3】（23-24高一下·吉林延边·期中）已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 【答案】(1)-1 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、判断复数对应的点所在的象限 【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；（2）利用复数的几何意义，根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，，解得； （2）利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则 题型05 根据复数的坐标写出对应的复数 【例5】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以. 故选：D. 【变式1】（22-23高一下·陕西·期中）在复平面内，复数对应的点Z如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据向量的几何意义求复数，再由复数的运算公式求. 【详解】因为点的坐标为 所以复数， 则． 故选：A. 【变式2】（21-22高一下·湖北·期中）在复平面内，若，，点C所对应的复数为 . 【答案】/ 【知识点】相等向量、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】设，由向量相等得出点的坐标，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由题意，设，则 由，则 ，解得，则点 所以点C所对应的复数为 故答案为： 【变式3】（21-22高一下·浙江宁波·期中）已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程． (1)求实数a的值； (2)若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】（1）得到复数z在复平面内对应的点的坐标，代入方程后进行求解；（2）求出向量的坐标，得到其在复平面坐标系中的位置，及旋转后对应的的位置，求出对应的复数. 【详解】（1）因为复数， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点满足方程， 所以， ∴ （2）∵向量与复数z对应， ∴， 则在第二象限角平分线上， 由题意可知，绕原点按顺时针方向旋转90°后得到， ∴ 题型06 根据复数对应坐标的特点求参数 【例6】（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数加减法的代数运算 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 【变式1】（22-23高一下·湖北黄冈·期中）在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数对应的点所在位置列不等式组求解. 【详解】复数所对应的点在第二象限， ， 解得. 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义求复数的对应点的坐标，由条件列不等式求的取值范围. 【详解】因为， 所以复数在复平面上的对应点的坐标为， 由已知可得，， 由可得， 由可得或， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数除法、乘法运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，复平面内对应的点为，在第一象限． 故选：A． 2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出复数即可得解. 【详解】由复数在复平面内所对应点的坐标为，得， 所以. 故选：B 3．（23-24高一下·吉林·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解. 【详解】，其在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 4．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】应用复数的乘除运算求复数，进而求模长. 【详解】由题设，则，所以. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 【答案】AB 【分析】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A,B;根据复数的几何意义，即可列出方程或不等式，进而可以判断C,D. 【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确； 对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确； 对于C，在复平面内对应的点为， 所以，即，解得或，C错误； 对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误. 故选：AB. 6．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 结合选项可知，实数的值可以是0或1． 故选：BC． 三、填空题 7．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于 象限. 【答案】第二 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案. 【详解】由， 得， 则. 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故答案为：第二 8．（23-24高一下·青海海南·期中）在复平面内，复数z对应的点为，则 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解． 【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以． 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一下·吉林白山·期中）已知复数，，． (1)若是纯虚数，求a的值； (2)若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解． 【详解】（1）由是纯虚数， 得， 即； （2）由在复平面上对应的点在第二象限， 得， 即． 10．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）设复数，当取何实数时： (1)复数为纯虚数； (2)在复平面上表示的点位于第三象限； (3)表示的点在函数的图象上. 【答案】(1)无解 (2) (3) 【分析】（1）根据复数的分类解出解集，判断即可； （2）根据复数的几何意义列出不等式组，解出解集； （3）根据点在直线上代入得，解得结果； 【详解】（1）由为纯虚数，则，该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数. （2）由表示的点位于第三象限，则，解得. （3）由表示的点在函数的图象上，则， 所以，解得. 11．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数为纯虚数，列出方程组求解即可得的值； （2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得的取值范围． 【详解】（1）. 因为为纯虚数，，解得， 所以. （2）由， 由复数在复平面内所对应的点位于第四象限，得，解得． 的取值范围为． 12．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数满足，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限． (1)求复数； (2)若复数，且是实数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由已知条件列方程求出的值，得复数； （2）由复数的乘法和复数的分类，求实数的值． 【详解】（1）设复数，由，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限， 则有，解得，即. （2）, 是实数，则有，解得. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上， 由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标，进而得到复数和. 【详解】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·天津红桥·期中）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算化简再结合复数对应复平面的点判断即可. 【详解】因为, 所以对应点为, 所以对应点在第一象限. 故选：A. 3．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出的对应点即可. 【详解】因为， 若z为纯虚数，则，即， 则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 4．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可. 【详解】设 ,, 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,   , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 二、多选题 5．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知复数（是虚数单位），则下列正确的是（    ） A． B．z的虚部是3 C．若是实数，则 D．复数z的共轭复数为 【答案】AB 【分析】对A，根据复数的模的计算公式即可判断；对B，根据复数虚部的定义即可判断；对C，根据复数的分类可判断；对D，根据共轭复数的定义即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，复数的虚部为3，故B正确； 对于C，因为是实数，则，即，故C错误； 对于D，复数的共轭复数为，故D错误. 故选：AB. 6．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知复数（为虚数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（    ） A．在复平面内复数z所对应的点位于第四象限 B． C． D． 【答案】AC 【分析】运用复数除法运算规则进行化简，再根据几何意义，共轭复数概念求解即可. 【详解】复数，在复平面内复数z所对应的点位于第四象限，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选:AC. 三、填空题 7．（20-21高一下·江苏南通·期中）设复数，，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值. 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为： 【点睛】结论点睛：复数的几何意义： （1）复数复平面内的点； （2）复数 平面向量. 8．（23-24高一下·重庆·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 . 【答案】 【分析】根据题意可得点的轨迹方程是为为圆心，1为半径的圆，则将问题转化为与圆上的点的最小值，从而可求得结果. 【详解】设，则由，得 ， 所以， 所以对应的点为点的轨迹方程为， 即为为圆心，1为半径的圆， 因为对应的点为点， 所以点与点之间距离的最小值为 . 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (3)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)4. 【分析】（1）由复数加法及结果特征求出，再利用复数乘法计算得解. （2）由复数乘方求出，再由对应点的特征列出不等式组，求解即得. （3）利用给定等式的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值问题求解即得. 【详解】（1）复数，，则，由是实数，得，解得， ，因此. （2），依题意，在第二象限，于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）显然是复平面内表示复数的点与表示复数的点的距离为1， 因此点在以点为圆心，1为半径的圆上，而是点到原点的距离， 而，即原点在上述的圆外，则， 所以的最小值是4. 10．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据时，可求出复数，再根据复数模的概念求模； （2）根据纯虚数的概念，可求出m 的值； （2）实部大于零且虚部小于零得出m的范围. 【详解】（1）因为，所以；则； （2）若是纯虚数，则，解得或且且，即； （3）若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得， 所以m的取值范围是. 11．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知复数，，满足：，且的实部为正. (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； (2)当时，、对应复平面内的点分别为、，为复平面原点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据复数对应的点所在象限建立不等式组即可得解； （2）求出，得到复数对应点的坐标，求解复数的模，利用勾股定理的逆定理得证. 【详解】（1）因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以， 解得. （2）设，则， 展开得， 则，解得或（舍去）， 所以， 当时，，故在复平面内，， 则，，， ，. 12．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若，求的值； (4)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) (4) 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）根据共轭复数的定义得出复数再应用复数相等求参； （4）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由，得， 解得或. （2）由是纯虚数，得 解得， 所以. （3）由，可知， 得到 解得， 所以. （4）由对应的点在第一象限，得. 解得且 所以的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$