2024-2025学年度北师大八年级数学下册第一次月考试卷 考试范围： 三角形的证明、 一元一次不等式和一元一次不等式组；2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

2024-2025学年度北师大八年级数学下册第一次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 三角形的证明、 一元一次不等式和一元一次不等式组； 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是　　 A． B． C．a：b：：4：5 D．：：：4：5 2．（本题3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 3．（本题3分）等腰三角形一个底角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）关于的不等式组的解集为，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（本题3分）已知等腰三角形的两边长为和．且、满足，则这个三角形的三边长分别是（    ） A．7，7，3 B．3，3，7 C．7，7，3或3，3，7 D．无法计算 6．（本题3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当时，；当时，． 例如：．参照上面的材料，则，则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若（、均不为0），则 D．若，则 9．（本题3分）如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 10．（本题3分）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 评卷人 得分 二、填空题（共16分） 11．（本题2分）不等式组的解集为 ． 12．（本题2分）如图，是直线上一点，，，，交于点，则 ． 13．（本题2分）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 14．（本题2分）如图，射线平分，，于点，，，则等于 ． 15．（本题2分）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为________． 16．（本题2分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P(m，3)．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 ． 17．（本题2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于 度 18．（本题2分）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在、上，且，连、，当最小时，则 ， ． 评卷人 得分 三、解答题（共54分） 19．（本题6分）解不等式组，并在数轴上画出解集． 20．（本题6分）如图，为了促进当地旅游发展､某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 21．（本题6分）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 22．（本题6分）已知一次函数． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数的最大值3，求的函数表达式； (3)对于一次函数，若对一切实数x，都成立，求k、a满足的数量关系及k的取值范围． 23．（本题6分）如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 24．（本题8分）一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利120元，生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利130元． (1)求生产1个甲种零件，1个乙种零件分别获利多少元？ (2)若该汽车零件制造车间共有工人30名，每名工人每天可生产甲种零件6个或乙种零件5个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2800元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？ 25．（本题8分）两个村庄C、D在河的同侧，已知，C、D两村到河的距离分别为，．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，铺设水管的费用为每千米2万元，请在上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等． (1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求铺设水管的总费用． 26．（本题8分）如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图，连接连交于，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度北师大八年级数学下册第一次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 三角形的证明、 一元一次不等式和一元一次不等式组； 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是　　 A． B． C．a：b：：4：5 D．：：：4：5 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可． 【详解】解：A、，是直角三角形，故此选项不合题意； B、 ， ， ∴ 是直角三角形，故此选项不合题意； C、，∴ 是直角三角形，故此选项不合题意； D、，则 ，不是直角三角形，故此选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，解题的关键是正确掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 2．（本题3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：解不等式x+2＞1得：x＞﹣1；解不等式得：x≤2，所以次不等式的解集为：﹣1＜x≤2．故选A． 考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组． 3．（本题3分）等腰三角形一个底角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等腰三角形的一个底角是，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是，根据三角形的内角和是，用“”，即可求出顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是，则另一个底角也是， ∴顶角为：， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解决本题的关键是明确等腰三角形的2个底角相等，三角形的内角和是． 4．（本题3分）关于的不等式组的解集为，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分别解两个不等式，求得解集，与已知条件对比即可求得的值 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为 原不等式组有解，解集为： 故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组解集的概念是解题的关键． 5．（本题3分）已知等腰三角形的两边长为和．且、满足，则这个三角形的三边长分别是（    ） A．7，7，3 B．3，3，7 C．7，7，3或3，3，7 D．无法计算 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∴当3为等腰三角形的腰时，3+3<7，不满足三角形的三边关系； 当7为等腰三角形的腰时，符合题意，此时三角形的三边为：3、7、 7． 故选：A． 【点睛】本题考查的是非负数的性质、解二元一次方程组、等腰三角形的定义、三角形三边的关系，注意分类讨论思想的应用，也不要忘记验证是否符合构成三角形的条件． 6．（本题3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接C，交BD于点M，过点D作DH⊥B于点H，由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，证△AD为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BM中，利用勾股定理求出B的长，在△BD中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，连接C，交BD于点M，过点D作DH⊥B于点H， ∵AD＝A＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C， ∴D＝D＝2，BC＝B，CM＝M， ∴AD＝A＝D＝2， ∴△AD为等边三角形， ∴∠AD＝∠AD＝∠AC＝60°， ∵DC＝D， ∴∠DC＝∠DC＝12×60°＝30°， 在Rt△DM中， ∠DC＝30°，D＝2， ∴DM＝1，M＝DM＝， ∴BM＝BD−DM＝3−1＝2， 在Rt△BMC'中， B＝， ∵S△BDC'＝B•DH＝BD•CM， ∴DH＝3×， ∴DH＝， ∵∠DCB＝∠DB， ∴点D到B的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 7．（本题3分）对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当时，；当时，． 例如：．参照上面的材料，则，则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式;分当，即时，当，即时，两种情况根据新定义建立不等式求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∴； 当，即时， ∵， ∴， 解得，此时无解； 综上所述，． 故选：C． 8．（本题3分）下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若（、均不为0），则 D．若，则 【答案】D 【分析】用等式的性质可进行判断，即可得出答案． 【详解】A、由，可得出，故A选项不正确，不符合题意； B、由，可得出，故B选项不正确，不符合题意； C、由（、均不为0），无法判断的大小，故C选项不正确，不符合题意； D、由，可得出，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了等式的性质，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式;等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 9．（本题3分）如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，由三角形的周长公式计算即可. 【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA=EB， 则的周长 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 10．（本题3分）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质可证明，从而得，，则可判定①与②；证明，得，则可判定③；过点C作，垂足分别为M，N，则可证明，则有，从而可判定④，则最后可确定答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形； 故③正确； 如图，过点C作，垂足分别为M，N， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴平分； 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 评卷人 得分 二、填空题（共16分） 11．（本题2分）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】解出每个不等式，再取公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法． 12．（本题2分）如图，是直线上一点，，，，交于点，则 ． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角性质可得的度数，然后根据三角形的外角性质、垂直的定义即可得． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、垂直的定义，掌握理解各性质与定义是解题关键． 13．（本题2分）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）如图，射线平分，，于点，，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质；作于，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：作于， 平分，，， ， 平分，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（本题2分）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】取的中点F，连接、、，则可证明，则有，从而，即当点M在线段上时，值最小，且最小值为线段的长，则此时，由等腰直角三角形知可求得的度数． 【详解】解：取的中点F，连接、、，如图所示： 则， ，点为的中点，点为的中点，， ，， ，， ， ， ， ， 即当点M在线段上时，值最小，且最小值为线段的长； ，， 是等腰直角三角形 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，通过构造全等三角形把求的最小值转化为求的最小值，是解题的关键与难点． 16．（本题2分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P(m，3)．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 ． 【答案】x≥1 【分析】将点P的坐标代入直线y＝x+2，解出m的值，即得出点P的坐标，数形结合，将不等式x+2≥ax+c的解集转化为直线y＝x+2与直线y＝ax+c的交点以及直线y＝x+2图像在直线y＝ax+c图像上方部分x的范围即可． 【详解】把P（m，3）代入y＝x+2得：m+2＝3， 解得：m＝1， ∴P（1，3）， ∵x≥1时，x+2≥ax+c， ∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，将不等式的解集转化为一次函数的图像问题是解题关键． 17．（本题2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于 度 【答案】100 【分析】由等腰三角形的性质可知∠C=40°，可求得∠A，又由平行可知∠BED=∠A，可求得答案． 【详解】∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠C=40°， ∴∠A=180°-40°-40°=100°， ∵DE∥AC， ∴∠BED=∠A=100°， 故答案为100． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 18．（本题2分）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在、上，且，连、，当最小时，则 ， ． 【答案】 【分析】①过点C作，使得，证明，得到，那么当，，三点共线时，最短，求出此时的度数即可； ②过点N作于K，于G，设 ，等边的边长为，利用30度所对的直角边等于斜边的一半以及等腰直角三角形的性质，分别用和表示出和，然后利用三角形的面积公式表示两个三角形的面积，化简即可得出答案． 【详解】 解：如图1，过点C作，使得，连接，． 是等边三角形，，， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ，， ， ∴当的值最小时，； 如图3，过点N作于K，于G，设 ，等边的边长为， 则，， ， ， 在中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：， ，， 在中，， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积公式等知识点，学会添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题（共54分） 19．（本题6分）解不等式组，并在数轴上画出解集． 【答案】﹣1＜x＜2，数轴上表示见解析 【分析】分别解两个不等式，求得x的取值范围，然后在数轴上画出即可. 【详解】解： ∵解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2， 在数轴上表示为： ． 【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，属于基础题型. 20．（本题6分）如图，为了促进当地旅游发展､某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 【答案】度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 21．（本题6分）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 22．（本题6分）已知一次函数． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数的最大值3，求的函数表达式； (3)对于一次函数，若对一切实数x，都成立，求k、a满足的数量关系及k的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)，且 【分析】（1）直接将点代入函数表达式中求解即可； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况求解即可； （3）整理，将对一切实数x，都成立转化为，且直线在直线的上方，可得到，且，进而可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴，解得； （2）解：当即时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为3，由得， ∴； 当即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为3，由得， ∴； （3）解：整理得， ∵对一切实数x，都成立， ∴，且直线在直线的上方， ∴，且， ∴，且， 解得，又， ∴k的取值范围为且． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的性质，（2）注意分类讨论思想的运用，（3）得到，且直线在直线的上方是解答的关键． 23．（本题6分）如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可． （2）设CD=x，则AD=BD=16-x，在Rt△BCD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）如图直线MN即为所求． （2）∵MN垂直平分线段AB， ∴DA=DB， 设CD=x，则AD=BD=16-x， 在Rt△BCD中，∵BD2=BC2+CD2， ∴， 解得， ∴CD=6． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质,勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．（本题8分）一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利120元，生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利130元． (1)求生产1个甲种零件，1个乙种零件分别获利多少元？ (2)若该汽车零件制造车间共有工人30名，每名工人每天可生产甲种零件6个或乙种零件5个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2800元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？ 【答案】(1)生产1个甲种零件获利15元，生产1个乙种零件获利20元 (2)至少要派11名工人去生产乙种零件 【分析】（1）设生产1个甲种零件获利元，生产1个乙种零件获利元，根据“生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利120元，生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利130元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得到答案； （2）设要派名工人去生产乙种零件，则名工人去生产甲种零件，根据“要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2800元”，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设生产1个甲种零件获利元，生产1个乙种零件获利元， 根据题意得：， 解得：， 答：生产1个甲种零件获利15元，生产1个乙种零件获利20元； （2）解：设要派名工人去生产乙种零件，则名工人去生产甲种零件， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为11， 答：至少要派11名工人去生产乙种零件． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25．（本题8分）两个村庄C、D在河的同侧，已知，C、D两村到河的距离分别为，．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，铺设水管的费用为每千米2万元，请在上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等． (1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求铺设水管的总费用． 【答案】(1)见解析 (2)铺设水管的总费用80万元． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，垂直平分线的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）连接，根据题意作出的垂直平分线交于点E，即为所求； （2）设，则，首先根据勾股定理列方程求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，点E即为所求； （2）设，则 ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴， ∴（万元）． ∴铺设水管的总费用80万元． 26．（本题8分）如图，在等腰中，，平分，且与相交于点．过作于，交于，过作交的延长线于，交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图，连接连交于，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，，因为于，所以，而，可求得，，即可证明； （）先证明，得，再证明，得，所以； （）作于点，则，所以，则，由，求得，再根据三角形的中位线定理证明，则，所以，则，所以，求得． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵于， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵交的延长线于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：如图，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，点在上，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$