精品解析：2025年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学一模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级二月调研数学学科 说明：全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面观察几何体所得到的图形，据此求解即可． 【详解】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径． 故选B． 2. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即m的取值范围为且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：画树状图得： 所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=． 故选：C． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 如图，为了估算河宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 5. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ， 这枚火箭此时的高度为， 故选：D． 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 7. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方形ABCD的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 【详解】∵，， ∴正方形ABCD的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为3． 10. 已知反比例函数的图象经过点和，则_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后求得，，代入即可求解，正确利用反比例函数解析式求解是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和， ， ，， ． 故答案：24． 11. 二次函数，当时，的最大值和最小值的和是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【详解】抛物线的对称轴是x＝1， 则当x＝1时，y＝1−2−3＝−4，是最小值； 当x＝3时，y＝9−6−3＝0是最大值． 的最大值和最小值的和是-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键． 12. 研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走_____米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 13. 如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、实数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质、二次根式的性质，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 则， ． （2）解：原式 ． 15. 美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为______； （2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种， 他抽到的卡片是．《千里江山图》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种， 小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率为． 16. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）则 ， ； （2）该二次函数图象的顶点坐标为 ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入函数解析式进行计算即可． （2）根据（1）中所求，的值，得出函数解析式即可解决问题． （3）根据题意，画出二次函数图象即可． （4）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点和代入得， ， 解得． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知， 抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：二次函数图象如图所示， 【小问4详解】 解：由函数图象可知， 因为， 当时，；当时，， 所以的取值范围是：． 故答案为：． 17. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元 （2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元 【解析】 【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可； （2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可． 【小问1详解】 解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得， ， 即 解得：， 答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元 【小问2详解】 解：， 即 ∵，原方程无解， ∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”． 18. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的性质可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴. 19. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为 （2）慈氏塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 20. 【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ； （2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ． 【答案】（1）；；（2）结论仍然成立，见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）通过证明，可得，即可求解； （2）通过证明，即得，可得结论； （3）分两种情况讨论，先求出，的长，用（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）如图： ， ， ， 如图2： 绕点B按逆时针方向旋转， ， ， ， ， 故答案：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图， 绕点B按逆时针方向旋转， ， ， ， ； （3）当点E在的上方时，如图： ，点E是边的中点，， ， ， ， D、E、F三点共线， ， ， ， 由（2）可得：， ， ； 当点E在AB的下方时，如图： 同理可求：， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级二月调研数学学科 说明：全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 4. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A B. C. D. 5. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）． A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 8. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 10. 已知反比例函数的图象经过点和，则_______． 11. 二次函数，当时，的最大值和最小值的和是_______． 12. 研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走_____米（结果保留根号）． 13. 如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解方程：； （2）计算： 15. 美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为______； （2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率． 16. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）则 ， ； （2）该二次函数图象顶点坐标为 ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当时，y取值范围是 ． 17. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 18. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求线段的长． 19. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 20. 【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ； （2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $