广东省江门市棠下中学2025届高三下学期数学二轮复习周测限时训练（3月6日）

江门市棠下中学高三数学二轮复习周测限时训练3月6日 1、复数z是纯虚数的一个充分条件为（ ） A. B. D. C. 【变式1】： “复数z为实数”的充分不必要条件是（ ） A. 为实数 B. 为实数 C. D. 2、平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 【变式2】：在平面直角坐标系xOy中，设，，向量，其中，动点满足，则的最小值为_________． 3、设 ，若 ，则 的最大值等于_____. 【变式3】：若，求和ab的最值_____.． 4、若数列满足：，则的通项公式为___________． 【变式4】：设正项数列满足，，则数列的通项公式是__________． 5、若不等式对任意恒成立，则实数m的值为___________. 【变式5】：若不等式对任意恒成立，则实数的值为_________. 6、设x是实数，z是整数，若，则称z是“在数轴上与x距离最近的整数”． （1）若数列的通项公式是，求证：数轴上与距离最近的整数是n； （1）若数列满足：，当时，，若是在数轴上与距离最近的整数，求数列的前n项和． 7、已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 高三数学二轮复习周测限时训练3月6日参考答案 1、【答案】C 【详解】若 ，设 ，则 ， 由 可得 ，即 ，所以 ， 此时 为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若 ，设 ， 则 ，解得 ， 此时 ，当 时， 不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点 和点 的距离之和为 2 ， 而点 和点 之间的距离为 ， 所以点 在线段 上， 即 且 ，满足 且 ，所以 是纯虚数， 反之，若 是纯虚数，设 ， 则 ， 当 时， ， 所以 是复数 是纯虚数的一个充分条件，选项 C 正确. 若 ，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当 时， 不是纯虚数，所以选项D错误； 故选：C. 【变式1】：【答案】D 【详解】对于A， 为实数，可能是纯虚数，没有充分性，A错误； 对于B，同样若z是纯虚数，为实数，没有充分性，B错误； 对于C，若，表示z的虚部为0，z为实数，反之若z为实数，一定有z＝，所以是充分必要条件，C错误； 对于D，若|z|＝z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|＝z不成立，符合题意，D正确. 故选：D． 2、【答案】 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 【变式2】：【答案】 【详解】依题意，得， 则点在直线上运动， 设线段AB的中点为，则点在以为圆心，为半径的圆周上运动， 又点到直线的距离， 则．故答案为：． 3、【答案】 【详解】由题意可知椭圆的参数方程为：（为参数）， 所以， 所以，其中， 因此当时取最大值，最大值为. 故答案为：. 【变式3】：【答案】4 【详解】法一：由题意知，， ， ． 法二：， ． 答案：最小值为，ab最大值． 4、【答案】 【详解】已知数列满足递推关系（对于所有），且有和，递推式可变形为，则是一个常数列， 即. 所以数列是一个等差数列， ， 因此通项公式为. 故答案为：. 【变式4】：【答案】 【详解】对两边取以为底的对数得， 所以． 设，则，又， 所以，故， 所以． 答案：． 5、【答案】 【详解】解：不等式对任意恒成立， 对于方程，有两相等实数根，且或，方程的两根不相等， （根为）是方程的根， ，， 当时，在不恒成立，故舍去， 当时，在恒成立， 实数m的值为，故答案为：． 【变式5】：【答案】1 【详解】以为变量的原式等价为对恒成立， 因为二次项系数，所以对应的抛物线开口向上， 原式可以看成是两个因式相乘的一元二次不等式只有是完全平方才能恒成立， 则等价于：关于的方程或在上有相同的零点， 由得，则， 将代入方程，得， 即，解得或（舍去），所以． 故答案为． 6、【答案】（1）证明见解析（2） 【详解】 （1）设数轴上与距离最近的整数是， 由已知， 当时，可得； 当时，可得；当时，可得；猜想：， 又，所以； （2）由已知当时， ， 此时，，所以，又，所以，所以； 7、【答案】（1）单调增区间：；单调减区间：（2）存在，（3）证明见解析 【详解】（1），则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. （2）函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． （3）证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，，所以当时，，当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的单调性，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$